幾種頻譜分析細化方法簡介

1、.高分辨率頻譜分析算法實現(xiàn)【摘要】隨著電子技術(shù)的迅速發(fā)展，信號處理已經(jīng)深入到很多的工程領域，信號頻域的特征越來越受到重視。在信號通信、雷達對抗、音頻分析、機械診斷等領域，頻譜分析技術(shù)起到很大的作用。基于數(shù)字信號處理（DSP）技術(shù)的頻譜分析，如果采用傳統(tǒng)的快速傅里葉（FFT）算法則只能比較粗略的計算頻譜，且分辨率不高；但是采用頻譜細化技術(shù)就能對頻域信號中感興趣的局部頻段進行頻譜分析，就能得到很高的分辨率。常見的方法有基于復調(diào)制的ZoomFFT 法、Chirp-Z 變換、Yip-ZOOM 變換等，但是從分析精度、計算效率、分辨率、靈活性等方面來看，基于復調(diào)制的ZoomFFT 方法是一種行之有效的方

2、法。實驗結(jié)果表明該方案具有分辨率高、速度快的特點,具有較高的工程應用價值?！娟P(guān)鍵字】頻譜分析;頻譜細化;Z變換【Abstract】With the rapid development of electrical technology, signal processing has been widely used in many engineering fields and special attention has been paid to the characteristic of signal frequency. The spectrum analyzer technology take

3、s a great part in the fields like signal communication, rador countermeasures, audio analysis, mechanism diagnose. Based on digital signal processing (DSP) technology, the spectrum analysis system, while the use of the fast Fu Liye traditional (FFT) algorithm can calculate the frequency spectrum is

4、rough, and the resolution is not high; but using spectrum zoom technique can analyze the frequency spectrum of the local frequency segment interested in frequency domain signal, can get very high resolution. A common method of complex modulation ZoomFFT method, Chirp-Z transform, Yip-ZOOM transform

5、based on, but from the analysis accuracy, computational efficiency, resolution, spirit Active perspective, Zoom-FFT method based on the polyphonic system is a kind of effective method. Simulation results show that this method is featured by high resolution and high speed, and has high application va

6、lue.【Key words】signal processing; spectrum analysis; spectrum zooming; Z-transformation目錄1 緒論11.1 課題研究背景和意義11.2 國內(nèi)外的各種研究現(xiàn)狀12 信號的采集和處理32.1 總體方案32.2 FFT算法處理42.3 FFT算法分析52.3.1 頻率分辨率62.3.2 能量泄露62.3.3 柵欄效應73 幾種頻譜細化分析方法的原理、特性83.1 Zoom-FFT算法83.2 CZT算法103.2.1 CZT算法的基本工作原理103.2.2 CZT的快速算法103.3 小波分析的細化原理124 Z

7、oom-FFT算法的設計和實現(xiàn)145 關(guān)于Zoom-FFT的一些后續(xù)改進17.1 緒論1.1 課題研究背景和意義自然界的萬物都有著自己的固有頻率，只要抓住認識到這些頻率，了解認知它們的頻率，才可以掌握并加以控制。生活中有很多的真實感觸都是由于頻率的變化而感受到的，例如人們聽到的歌聲，用眼睛看到的美麗景色，這都是人體器官對聲音和光的頻率的感知來呈現(xiàn)的。頻率看不著，摸不到，但是它卻一直充斥著我們的生活，并且深刻的影響這我們的生活。 隨著科技日益進步，信號處理幾乎已經(jīng)深入到所有工程領域和生活領域。目前工業(yè)控制領域的測試對象越來越多，并且對于系統(tǒng)的性能要求也越來越高，工業(yè)測控領域?qū)τ陬l譜分析的需求越來

8、越大。通過頻譜分析可以快速的分析出如速度、壓力、噪聲等測量參數(shù)，并且可以根據(jù)系統(tǒng)運作時的頻譜判斷系統(tǒng)的運行情況。頻譜分析儀是只是硬件載體，是對信號分析的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)，核心內(nèi)容是是信號處理的各種算法，因此詳細的研究各種頻譜分析的方法和其理論是十分有必要和意義的，能夠幫助我們解決大量的問題。1.2 國內(nèi)外的各種研究現(xiàn)狀隨著現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)力以及無線電方面的迅速發(fā)展，使得信號處理已經(jīng)成為了很多工作的核心任務，信號主要包含了時域的信息和頻域的信息，如時域主要是包含幅度、周期等，頻域主要包含頻率、功率等。在 19 世紀 60 年代中期，J.W.庫利和 J.W.圖基在計算數(shù)學雜志上發(fā)表了快速傅里葉變換(FFT)算

9、法，這篇文章為復雜繁瑣的頻域計算提供了簡便的算法，可以說為今后的頻譜計算奠定了理論基礎。 在數(shù)字信號處理領域, 基于傅里葉變換的頻譜分析是最基本的方法, 隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展, 快速傅里葉變換已廣泛的應用到各個學科, 并在工程中得到了廣泛的應用。盡管如此, 人們?nèi)匀辉谔剿餍碌姆椒? 以提高譜分析的精度和計算速度，例如, 現(xiàn)代頻譜分析技術(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡頻譜分析方法等。如何提高FFT譜分析的分辨率, 仍然是研究的一個重要方向, 基于傅里葉變換的譜分析方法是目前最常用的方法, 標準FFT( 基帶FFT) 分析的結(jié)果, 其譜線是從零頻率到乃奎斯特截止頻率范圍內(nèi)均勻分布的。 在頻譜細化方面, 目前已有多

10、種改進方法, 這些方法主要有復調(diào)制細化法、Chirp-z 變換法、YIP -Zoo m變換, 相位補償法，Zoom-FFT 變換方法等, 這些方法在處理精度、計算效率, 細化的能力, 頻譜的等效性各不相同, 在不同的情況下采用的不同。小波理論是近年來最新發(fā)展起來的進行信號處理的有力工具，其發(fā)展非常迅速，在很多方面體現(xiàn)出其巨大的優(yōu)越性。小波具有良好的時頻局部化特性, 利用小波的頻域帶通特性, 可以把要分析的頻帶信號分離出來,這是一種比較理想的方法, 在性能方面優(yōu)于復調(diào)制細化譜。2 信號的采集和處理2.1 總體方案所謂頻譜分析，就是對信號的一種處理方法。其必須先獲得信號，然后才能處理，在實際應用中

11、整個過程是由頻譜分析儀來完成的。了解頻譜分析儀的原理，對于頻譜細分技術(shù)的學習是十分有益的。一個好的算法，如果無法應用到實踐中，或者所需要的硬件平臺太復雜，成本過高，這個算法的應用必將受到限制。隨著微處理器的處理速度越來越快, 現(xiàn)在利用計算機對信號進行處理已成為一種趨勢。整個過程是將待測信號通過模數(shù)轉(zhuǎn)換變成數(shù)字信號然后輸入處理器, 然后通過FFT ( 快速傅里葉變換) 轉(zhuǎn)成頻域信號, 再通過顯示設備顯示出來。在整個過程中，其一般分為四個模塊：輸入調(diào)理模塊，模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊，數(shù)字信號處理模塊，外圍存儲模塊。(1) 輸入調(diào)理模塊：由于輸入信號的不確定性可能引起模數(shù)轉(zhuǎn)換的困難，所以需要將輸入信號進行放大或

12、幅度限制，使得輸入信號在進入模數(shù)轉(zhuǎn)換器 AD 時，電壓處在安全范圍內(nèi)。(2) 模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊：模數(shù)轉(zhuǎn)換主要是將連續(xù)模擬信號進行采樣與量化，將模擬信號變成 DSP 可以識別的數(shù)字信號。 (3) 數(shù)字信號處理模塊：產(chǎn)生整個系統(tǒng)的時鐘，控制所有模塊的邏輯與時序，并且完成信號的數(shù)字處理算法，該模塊是整個系統(tǒng)的大腦。(4) 外圍存儲模塊：由于計算量大，所以芯片自己的存儲資源有限，外圍的存儲模塊可以用來存儲采樣得到的大量數(shù)據(jù)和計算后的數(shù)據(jù)。這是對頻譜分析儀的這個簡單情況介紹，前面數(shù)據(jù)的采集直接影響到這個頻譜細化分析的結(jié)果，其是非常重要的，但是我們在這個論文里對于其他模塊不做介紹，僅僅分析對數(shù)據(jù)的處理過程。希

13、望能夠通過這個環(huán)節(jié)給大家?guī)硪稽c有益的思考。同時作為基礎知識這里對FFT算法給予簡單的介紹，這是為了后面更好的闡述下面的論述。2.2 FFT算法處理FFT算法是在DFT算法的基礎上得來的，根據(jù) DFT 的奇、偶、實、虛等特性對其進行改進而得到的新的算法。FFT與DFT相比減少了運算量，在現(xiàn)代社會上的得到廣泛應用。根據(jù)DFT的定義，設x(n)為N點有限長數(shù)列，則可以得到公式：xk=n=0N-1xnWNnk, k=0,1,2,N-1; （2-1）其反變換為:xn=1nk=0N-1XkWN-nk, n=0,1,N-1; （2-2）通常情況下，x(n)和WNnk都是復數(shù)，因為X（k）也是一個復數(shù)，因此

14、在計算一個X（k）時，要N次復數(shù)的計算，同理（x(n)和WNnk相乘），另外N-1次的復數(shù)加法。而X（k）有N個點。我們需要完成N2次復數(shù)的乘法及N ( N - 1)次復數(shù)加法。我們可以用實數(shù)運算完成復數(shù)的計算過程。所以式（1）可以寫作如下形式：Xk=xk=n=0N-1xnWNnk=n=0N-1Rexn+jImxnReWNnk+ImWNnk （2-3）=n=0N-1RexnReWNnk-jImxnImWNnk+jRexnImWNnk+ReWNnkImxn （2-4）由式(2-4)可知，完成一次復數(shù)的乘法需要四次實數(shù)的乘法和二次實數(shù)的加法；一次復數(shù)的加法需要二次實數(shù)的加法。因此每運算一個 X (

15、 k )需4N次實數(shù)的乘法及2 N+ 2( N -1) +2(2 N-1)次實數(shù)的加法。這個過程需要共需要4N2次實數(shù)的乘法與2 N (2 N-1)次實數(shù)的加法。因而，不加處理的直接進行 DFT 的計算，加法和乘法的次數(shù)都是正比于N2 ，當 N 很大時，運算量是非常大的，例如當 N=8時，運算DFT需64次復乘，而當 N=1024時，DFT 所需復乘位 1048576 次，即一百多萬次復乘運算，由以上的數(shù)據(jù)可以知道，當信號具有很強的實時性時，在對信號進行處理時，對計算速度要求非常高。因此提出了快速的FFT運算法。快速的FFT算法，只要是根據(jù)系數(shù)WNnk的對稱性，可約性和周期性合并某些項，將長序

16、列的DFT變換成短序列的DFT計算。基于這種思路發(fā)展出來的FFT算法，可以分為兩大類，即時間抽選和頻率抽選。它們的基本處理思想是一樣的，先以時間抽選為例說明FFT算過程法的實現(xiàn)過程。假設序列點數(shù)為N=2L（不夠的話用0補齊），這種N稱為2的整數(shù)冪的FFT，也叫做時間抽選法。式（1），我們按照奇偶關(guān)系的分解合一得到：Xk=m=0N2-1X2mWN2mk+m=0N2-1X2m+1WN2m+1k (2-5)假如我們令X2m=am,X2m+1=b(m),因為WN2mk=WN/22mk,則Xk=m=0N2-1a(m)WN2mk+WNkm=0N2-1b(m)WN2mk; (2-6)再令A=m=0N2-1a

17、(m)WN2mk，B=m=0N2-1b(m)WN2mk，WNr=WNk，則：我們可以得到如下形式：X（k）=A+BWNr , Xk+N2=A-BWNr. (2-7) 這兩個公式一般稱為蝶形信號流。根據(jù)時間抽選法，運用數(shù)值的計算方法表示的蝶形運算公式如下所說：Xml*2m+k=Xm-1l*2m+k+WNPXm-1l*2m+k+2m-1 (2-8)Xml*2m+k+2m-1=Xm-1l*2m+k-WNPXm-1l*2m+k+2m-1 (2-9)以上兩個式中物理意義為：l為級數(shù)表示運算到第幾級；m為分組數(shù)表示每一級內(nèi)運算到了第幾組；k為每組內(nèi)的運算次數(shù)。對于時間抽選法FFT可知，當N=2L時，共有L

18、級蝶形，每級都有N/2個蝶形運算，每個蝶形有一次復乘、二次復加，因而每級運算都需 N 2次復乘和N次復加，這樣L級運算總共需要：復乘數(shù) mF=N/2L=N/2log2N復加數(shù) aF=NL=Nlog2N我們可以發(fā)現(xiàn)，直接的DFT算法的計算次數(shù)是N2，F(xiàn)FT算法的運算次數(shù)是N/2log2N。運算量得到很大的減少。2.3 FFT算法分析通過對信號進行采樣，獲得離散的信號序列，才能對連續(xù)變化的信號進行頻譜分析。如果信號x(t)的頻譜X(f)是的上限頻率fHfs/2，則采樣后的頻譜不是X(f)的周期重復，頻譜上將會有重迭的部分。對于這種頻譜混迭現(xiàn)象，在實際應用中對所測信號進行頻譜分析時，采樣頻率fs一定

19、要高于被分析信號上限頻率的2倍以上。2.3.1 頻率分辨率應用FFT進行數(shù)字頻譜分析時，需要確定的參數(shù)主要有:截取信號長度tp、采樣頻率fs、采樣周期T和采樣點數(shù)N。他們之間的關(guān)系可以有下面的式子來表示：tp=NT, f=fs/N=1/NT=1/tp?？梢缘玫椒治龅念l率范圍為0（fs/2）,頻率分辨率為f=（fs/N）,頻譜線數(shù)f為N/2。提高頻率分辨率的方法有兩種：第一種方法是降低采樣頻率f，f不能過小，過小會發(fā)生頻譜混疊，會使分析范圍減少。第二中方法是增加數(shù)據(jù)長度，這樣必然使計算量增大，并且占用大量的內(nèi)存空間。運算量的指數(shù)級增加，使算法的時間增大，效率降低，對于具有實時性要求的應用系統(tǒng)來講

20、, 是不可接受的。無論是通過減小頻率，還是增大數(shù)據(jù)長度，這種處理結(jié)果顯然不是我們想要的。2.3.2 能量泄露 按照傅里葉變換的原理，計算一個信號的頻譜，所觀測的信號長度是無限的，Xf=-+X(t)e-j2ftdt.對于余弦波信號Xt=Acos(2ff0t);得到如下圖所示的頻譜，但是在實際工程中無限長的觀測區(qū)間是做不到的，只能從某時刻開始測取有限時間長度T的一段這就相當于用一個窗函數(shù)對信號進行截斷。Xtt=Xt*u(t) (2-10)式中u（t）成為窗函數(shù)，階段后信號的頻譜為： Xsf=Xf*Uf=Uf-f0+U(f+f0) (2-11)測試信號的頻譜以fn為中心向兩邊擴展，能量泄露到整個頻帶

21、中如圖所示，這就是能量泄露。對于能量泄露通過改變窗長和窗函數(shù)類型可以達到控制能量泄露的目的。0tX(t)fX(f)f0-f0圖2-1X(f)U(f)ff00-f0t0 x(t)u(t)圖2-22.3.3 柵欄效應在實際應用中，信號頻譜通常采用FFT算法計算，其最大分析頻率fms為信號采樣頻率fs的一半，線數(shù)N為FFT數(shù)據(jù)長度M的一半，有df=fs/M。取樣后只能得到各離散頻率點0，df，2df，Ndf的值，其余頻率點相當于被取樣的柵欄給擋住看不見，若信號中的頻率分量f與某取樣頻率點重合f=idf，則我們能夠得到該頻率分量的精確值Xsf=Xsi*df=Xi*df; （2-12）如果信號中的頻率分

22、量f與頻率取樣點不重合f=idf+f，則只能按四舍五入的原則，取相鄰的頻率取樣點譜線值代替，這種真實值與近似值之間的差就叫做柵欄效應。頻譜的離散取樣造成了柵欄效應，譜峰越尖銳，產(chǎn)生誤差的可能性就越大當信號頻率值與頻譜離散取樣點不相等時，在頻譜上該頻率分量根本看不見，柵欄效應的誤差為無窮大。在實際應用中，由于信號時域截斷的原因，產(chǎn)生了能量泄漏誤差，正弦波信號能量以其頻率為中心向兩邊泄漏由于能量泄漏的原因，即使信號頻率與頻譜離散取樣點不相等，我們也能得到該頻率分量的一個近似值。從這個意義上來說，能量泄漏誤差不完全是有害的。如果沒有信號時域截斷產(chǎn)生的能量泄漏誤差，頻譜離散取樣造成的柵欄效應誤差將是不

23、能接受的。因此在FFT變換的基礎上，進行優(yōu)化和設計時十分必要的，下面對一些今年來一些發(fā)展應用比較迅速的算法，進行介紹，他們都有自己不同特點。3 幾種頻譜細化分析方法的原理、特性3.1 Zoom-FFT算法其實在實際的測量過程中，我們需要了解的往往只是信號中某一段的頻率，只要對這一頻段的信號進行分析即可?；趶驼{(diào)制的Zoom-FFT算法可以實現(xiàn)在較窄的頻段內(nèi)擁有較高的分辨率，這種折中的方法在特定領域內(nèi)得到了廣泛的應用。Zoom-FFT (又稱游標FFT )的基本原理是, 先對時間上連續(xù)但不重疊的等長度分段信號采樣序列進行FFT,得到第一批分段粗FFT譜. 然后在分段粗FFT譜中感興趣的粗頻點上對

24、這些分段FFT的粗頻點所構(gòu)成的新序列(稱為時域二次采樣)進行第二批次FFT處理, 從而得到粗頻點處的FFT細節(jié)譜。復調(diào)制細化譜分析方法采用：移頻（復調(diào)制）低通數(shù)字濾波重新抽樣FFT 頻譜分析頻率調(diào)整，這樣一個過程，其原理過程如圖2-1 所示?？够殳B濾波A/D采樣低通數(shù)字濾波器重采樣（fs/D）FFT分析頻率調(diào)整Exp（-2fe/fs）X(n)輸出X(k)X(n)輸入信號X(t)圖3-1設模擬信號為x ( t )，經(jīng)過A / D采樣后，得到離散的序列x 0 ( n )，( n = 0 , 1N-1)，fs為采樣頻率，fe為需要細化頻帶的中心頻率，D為細化倍數(shù)，N為FFT的點數(shù)，X(k)為輸出的序

25、列。具體的算法過程可歸納為以下幾個步驟：(1)復調(diào)制復調(diào)制移頻指的是將頻域坐標向左或向右移動，使得被觀察的頻段的起點移動到頻域坐標的零頻位置。模擬信號x(t)經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換后，得到離散的信號x0(n)，假設要觀測的頻帶為f1f2，則在此頻帶范圍內(nèi)進行細化分析，觀測的中心頻率為fe=(f1+f2)/2對x0(n)以e-j2fefs進行復調(diào)制，得到的頻移信號：xn=x0（n）e-j2fefs=x0cos(2nL0/N)-jx0(n)sin(2L0/N) （3-1）式中fs=Nf為采樣頻率，f為譜線間隔，L0=fe/f為頻率的中心移位，也是在全局頻譜顯示中所對應中心頻率fe的譜線序號，則fe=L0f

26、。由此可得出，復調(diào)制使x0(n)的頻率成分fe移到x(n)的零頻點，也就是說X0(k)中的第L0條譜線移到X(k)中零點頻譜的位置。為了得到X(k)零點附近的部分細化頻譜，可重新抽樣把頻率降到fs/D，D為細化倍數(shù)。為了是抽樣后的頻率不發(fā)生頻譜混疊，需要在抽樣前進行低通濾波。(2) 數(shù)字低通濾波為了保證重新采樣后的信號在頻譜分析時不發(fā)生頻譜混疊，需進行抗混疊濾波，濾出需要分析的頻段信號，設細化倍數(shù)為D，則數(shù)字低通濾波器的截止頻率fCfs/2D(3)重新抽樣信號經(jīng)過移頻、低通濾波后，分析信號點數(shù)變少，但再以較低的采樣頻率進行重新采樣，在通過補零保證相同的采樣點數(shù)時，樣本的總長度加大，頻譜的分辨率

27、也就得到了提高。設原采樣頻率為fs，采樣點數(shù)為N，則頻率分辨率為fs/N，現(xiàn)重采樣頻率為fs/D,當采樣點數(shù)仍是N是，其分辨率為fs/(D*N)，分辨率提高了D倍。這樣就在原采樣頻率不變的情況下得到了更高的頻率分辨率。(4)復數(shù)FFT重新采樣后的信號實部和虛部是分開的，需要對信號進行N點復FFT，從而得出N條譜線，此時分辨率為f=fs/N=fs/ND=f/D，可見分辨率提高了D倍。 (5)頻率調(diào)整經(jīng)過算法運行后的譜線不為實際頻率的譜線，需要將其反向搬移，轉(zhuǎn)換成實際頻率，進而得出細化后的頻率?？偨Y(jié)可以得知：Zoom-FFT在不增大FFT點數(shù)N的情況下降低了采樣頻率，提高了在細化頻譜分析中有很重要

28、的作用，可以通過此算法得到欲觀測的頻段局部頻譜特性。對于計算量小的情況來說， Zoom-FFT是一個行之有效的解決局部頻段分析的方法。3.2 CZT算法3.2.1 CZT算法的基本工作原理采用線性調(diào)頻Z變換算法在某些場合是比較有效的，比如需要計算某一段范圍內(nèi)較密集采樣點的頻譜，非等間隔取樣點的頻譜，不在單位圓上而在螺旋線上的取樣點的頻譜，對于這些無法使用離散傅里葉的情況。CZT 算法是計算輸入序列x ( n ) ( n = 0 (N -1) )在給定點zk ( k= 0 (M - 1) )上的復頻譜X ( z ) |z= zk。其中zk = AW- k, k = 0, 1, 2M - 1, 這

29、里A = A0 ej、W = W0 ej是均勻分布在Z 平面一條螺旋線上的M 個點。對于頻譜細化分析, zk = AW- k( k=0, 1, 2, , M - 1)是分布在單位圓上一段密集頻率點, A =A0 ej確定了頻譜分析的起始點z0, W = W0 ej決定譜線的分布間隔。CZTx (n) = X (z k) = n-0N-1x(n)zk-n=n=0N-1x（n）A-nWkn （3-2）3.2.2 CZT的快速算法A-ny（n）Wn2/2x(n)X（n）Wn2/2y（n）*h(n)h（n）Wn2/2Wk2/2X（zk）圖3-2由kn =12 n 2+ k2 - ( k- n)2可得:

30、X zk =Wk22n=0N-1 xnA-nWn22*W-(k-n2/2) （3-3）令y(n)= xnA-nWn22, h(k-n)= W-(k-n2/2)則可以得到：X（zk）=Wk2/2y(n)*h(n) （3-4）通過以上變換, 可以得到CZT算法的卷積形式,然后可以利用FFT 快速算法實現(xiàn)CZT的快速變換。為了用FFT 計算線性卷積, 需要將序列延長,以便實現(xiàn)循環(huán)卷積。延長選擇運算點數(shù)為L =N +(M 1), 則延長:當（0=n=N-1）時，yn= xnA-nWn22；當（N=n=L-1）時，y（n）=0；當（0=n=M-1）時，h（n）=Wn22；當（M=n=L-1）時，h(n)

31、=W-(L-n2/2);則：y ( n )* h ( n)= IFFT FFT x n * FFT h ( n ) （3-5）3.2.3 利用CZT實現(xiàn)頻譜細化 對于一個N點的輸入序列x（n），其采樣頻率為fs 。由于CZT應在單位圓上實現(xiàn)，為了得到x（n）的頻譜，因此A0，W0都必須取為1。單位圓上幅角0 rad對于的是頻率軸上0 fs/2的頻率。若我們假設將要細化的頻帶為0 f1 f2fs/2，有M條獨立譜線，其對應的單位圓上的幅角范圍為：2f1 /fs 2f2/fs 。而M條獨立譜線對應的是圓弧上的M點取值。 有上面的分析我們可知，CZT 的路徑為單位圓上起點為z0 = ej2f1/fs

32、 ，終點為zM1 = ej2f2/fs ，間隔為z =ej2( f2f1) /( M1) fs 的一段圓弧。由此得到利用CZT 實現(xiàn)頻譜細化的條件:A0 = W0 = 1 ，= 2f1 /fs= 2( f2 f1) /( M 1) fs （3-6） 直接利用DFT 計算x( n) 的頻譜時，在0 fs /2的頻率范圍內(nèi)獨立譜線條數(shù)是N/2 ，頻率分辨率為f= fs /N 。利用CZT改進細化后，在f1f2的頻率范圍內(nèi)會有M 條獨立譜線，頻率分辨率提高為f = ( f2 f1) /( M1) 。由此可以得出: 細化頻帶越窄，CZT 輸出點數(shù)就越多，細化倍數(shù)就越高。 我們可以歸納出利用CZT方法實

33、現(xiàn)頻譜細化的一般步驟是：1）在細化之前確認細化頻帶和輸出點數(shù)；2）確定CZT的路徑，主要是確定起止點和間隔點的位置，即將細化頻帶轉(zhuǎn)換為單位圓上的一段圓弧；3）計算得出路徑上的CZT；4）由細化頻段內(nèi)頻率點位置和CZT的的結(jié)果，得到相應的細化譜。我們在分析總結(jié)了大量的工程實驗后我們分析出，Zoom-FFT和CZT都可以到達頻率細化分析的地步，但是Zoom-FFT比較實用于精細化倍數(shù)比較低的場合。3.3 小波分析的細化原理 如果（t）L2（IR）是滿足“容許性條件”C=-+2/d的基本小波，那么經(jīng)平移和伸縮可得到一族小波：_(a,b) (t)=(t-b)/a), （3-7） 對于任一函數(shù)x（t），

34、其積分小波變換為：Wa,bxt=1/a _(-)(+)x(t) * (t-b)/a)dt （3-8） 其中：b為平移參數(shù)，a為伸縮參數(shù)，*為的共軛函數(shù)，同時為了說明小波變換的時頻特性，在前人工作的基礎上，定義(t) 函數(shù)的時頻參數(shù)(時域中心t* , 時域?qū)? t, ，頻域中心* , 頻域?qū)?。, 則可以得到a,bt的時域中心和時域?qū)挾确謩e為b+at*、2at，_(a,b) (t)的頻域中心和頻域?qū)挾确謩e為：*/a和2/a。 由小波的時、頻域特性可以看出（12) 式的積分變換僅對時間窗b+at*-at, b+at*+at里的信號進行處理，由于_(a,b) ()的帶通特性，式(7)的結(jié)果僅含有：*

35、/a-/a,*/a+/a頻率的信息，即“頻域局部化特性”。平移參數(shù)b 對應于小波在時域的位置, 尺度參數(shù)a 的變化對應于改變時域和頻域的寬度, a 變大則頻域變窄, 而時域變寬;a 變小時, 頻域變寬而時域變窄。在(2) 式中, 如果b 是連續(xù)變化的那么就可以得到在頻段*/a-/a,*/a+/a內(nèi)的信號隨時間變化的清況。通常需要根據(jù)分析的問題的需要，選擇和構(gòu)造不同的小波，其中常用的小波有高斯小波、樣條小波、二進小波和正交小波等。 用小波變換的方法對我們感興趣的頻段進行分析的話，先給（t）乘以移頻因子ej0t,我們可以得到新的小波變換為：Wa,bxt=1a-+xt* t-baej0t/adt （

36、3-9）因為上式3-9提前了x(t)在頻帶范圍內(nèi)的信息，所以選擇適當?shù)膮?shù)0和a使（*+ 0）/a為我們所要了解的頻帶中小就可以了。在設備狀態(tài)監(jiān)測中，常對某些頻率成分感興趣，因此, 可利用小波變換這種帶通濾波特性得到足夠窄帶的信號, 以此了解設備狀態(tài)的變化情況。在實際的應用中由于單一小波的頻譜是個兩邊下降很快的曲線，這種特性有助于分析曲線中間頻率是非常有益的，但是去兩邊的曲線衰減很快，使得我們很難得到某頻段的真實頻譜。這時才情 多個小波組合是一個很好的解決方案。設小波a（t）的中心為f=0，那么a（t）ej2fit的中心為fi，選擇不同的中小可以得到組合小波：t=t*(ej*2fLt+ej*2

37、fL+kft+ej*2fHt） （3-10）（k=0，1，2，,n,fH=fL+n*f）其中fL，fH為組合小波的通頻帶上限和下限頻率, f 為各小波中心頻率的間距。從實質(zhì)上說，上式就是各個小波段頻譜的疊加而得出的的。選擇適當?shù)膄就可以得到平頂?shù)哪骋欢握鎸嵉念l譜結(jié)果。通常需要根據(jù)分析的問題的需要，選擇和構(gòu)造不同的小波，其中常用的小波有高斯小波、樣條小波、二進小波和正交小波等。然后利用式進行組合小波可以很方便的構(gòu)成所需的帶通濾波器。根據(jù)以上的小波變換細化譜原理可知, 其思路與復調(diào)制細化譜方法相同, 區(qū)別在于提取細化頻段的信息。從濾波角度考慮, 小波變換細化譜方法避免了復調(diào)制Zoom 一FFT方法

38、的濾波器設計, 只要改變組合小波參數(shù)即可構(gòu)造出所需組合小波, 并以小波變換提取細化頻段的信息; 從細化角度看, 在相同細化倍數(shù)下, 可得到比復調(diào)制Zoom-FFT 更清楚的譜; 從計算量來說, 它比復調(diào)制細化譜方法大一些。由于小波及小波變換的特性, 它不僅可用于細化譜, 而且可廣泛應用于信號處理的各個方面。4 Zoom-FFT算法的設計和實現(xiàn)根據(jù)前面的公式，我們已經(jīng)得到了復調(diào)制移頻的一些基本算法，現(xiàn)在對這個算法進行仿真，對于低通數(shù)字濾波和重新采樣、復FFT處理、和頻率調(diào)整在作詳細的論述，然后我們必須結(jié)合以前的實驗結(jié)果對整個算法進行分析。我們在這里對低通數(shù)字濾波和重新采樣、復FFT處理、和頻率調(diào)

39、整的結(jié)合第二章的內(nèi)容進行論述，盡量減少文章的重復內(nèi)容。對于低通數(shù)字濾波，我們可以知道此時濾波器的輸入為：Yk=XkHk=X0(k+L0); (k=0,1,2,N/2N-1) ; (4-1)式中y(n)=(1N)k=0N-1Y(k)WN-nk=Hkk=0N-1Y(k)WN-nk ; (4-2) 在對原采樣點每隔D點再抽樣一次，采樣的時間間隔為Dt，我們有次可以得到時域信號的表達式為：g（m）-y（Dm），由此我們可以得到新的式子：gm=1NpN2-1XoP+L0W-pm+p-N/2N-1X0(P-N+L0)W-pm （4-3）經(jīng)過DFT公式我們可以得到g(m)的頻譜函數(shù)如下：Gk=m=0N-1g

40、mWNmk （4-4）當k=0，1,2，N/2-1時：Gk=（1/D）X0(k+L0);當k=N/2,N-1時：Gk=（1/D）X0(k+L0-N)； （4-5）將上述譜線移到實際頻率處即得到細化后的頻段：則當k=L0,L0+1L0+N/2-1時：Xok=Xk-L0=D*G(k-L0);當k=L0-N/2,L0-1時；Xok=Xk-L0=D*G(k-L0+N)；（4-6）結(jié)合前面的論證，根據(jù)以前實驗我們對Zoom-FFT進行簡單的仿真，以便我們真正的了解其特性。我們利用的是市場上廣泛應用的S T M 3 2芯片，在芯片上運行Zoom-FFT算法程序，可直接調(diào)用STM32固件庫，程序簡單、穩(wěn)定可

41、靠、結(jié)構(gòu)性強。STM32固件庫有FIR濾波器，只要求出所需濾波器參數(shù)的系數(shù)，調(diào)用固件庫的函數(shù)即可，計算既快又穩(wěn)定，效率很高。FFT的實現(xiàn)是通過C語言編的FFT子函數(shù)，只要得到輸入序列和FFT點數(shù)，調(diào)用FFT子函數(shù)就可求出FFT的輸出序列。部分核心ZoomFFT的C語言程序如下：/頻譜搬移至零點附近/for(i=0;i1024;i+)xri=x0i*cos(w*i); / 低通濾波 /for(i=0;i1024;i+)bri=(short)(xri);fir(ar, br); / D倍抽樣 /N1 = O/D;for(i=0;iN1;i+)adri=(float)(arD*i/1000.0);

42、/ 復數(shù)FFT /mrelfft(adr,adi,N,-1); / /求幅頻特性/for(k=0;kN;k+)p=pow(adrk,2)+pow(adik,2);fftk=sqrt(p); /頻率調(diào)整可通過公式實現(xiàn)f=fe+i*(fs/(D*1024.0);圖4-1通過函數(shù)信號發(fā)生器加頻率為55000Hz、幅值為1V和頻率為55030Hz、幅值為0.7V的實際信號，得到的頻譜如上圖所示。通過實驗得出，未經(jīng)過Zoom-FFT的信號，兩個很接近的頻率疊加到了一起，而經(jīng)過Zoom-FFT后的頻譜在分辨率內(nèi)可以分別，通過分析可得出Zoom-FFT得到的信號頻率比直接FFT得到的頻率更真實，分辨率高、誤

43、差小、穩(wěn)定性好。 由實驗我們可以看出，函數(shù)信號發(fā)生器的信號是理想信號，測得頻譜均為一根譜線，而實際測量中，由于有噪聲的存在，測量的頻譜不是一根譜線，而是一個峰，但峰頂?shù)奈恢煤蛯嶋H頻率一致，稍微的運動就可以從峰頂?shù)奈恢梅磻鰜怼Ｎ覀冊谶@里驗證了Zoom-FFT在不增大FFT點數(shù)N的情況下降低了采樣頻率，提高了在細化頻譜分析中有很重要的作用，可以通過此算法得到欲觀測的頻段局部頻譜特性。由于計算量小，在實際應用中不需要用高速處理芯片。 5 關(guān)于Zoom-FFT的一些后續(xù)改進在經(jīng)典Zoom-FFT 文獻中, 只建立了上述連續(xù)分段序列Zoom-FFT方法.但是在 在信號采樣與處理的硬件實現(xiàn)中, 還需要在

44、第一批FFT 窗口長度N 固定的情況下, 為在較少的數(shù)據(jù)量以保持較高的分析速度的條件下獲得較高的頻譜分辨力而加大信號時域二次采樣窗口長度. 這時, 連續(xù)時間段序列Zoom-FFT 方法就不能滿足要求. 在現(xiàn)階段人們提出了，Zoom-FFT 的頻譜反演計算公式, 它同時適用于連續(xù)分段序列和間斷分段序列Zoom-FFT.5.1 時間間斷分段序列Zoom-FFTZoom-FFT中, 1個信號序列段長度N 與相鄰2個信號序列段起點間的間隔長度L 之比, 稱為Zoom-FFT的時域二次采樣占空比(簡稱占空比)Rms. 即Rms =N/L；其中N為序列時間段長度，L為相鄰時間段起點間隔。 間斷分段序列Zo

45、om-FFT 的基本原理是, 在經(jīng)典Zoom-FFT 中, 將占空比Rms改為小于1的某個值,如Rms = 0. 5. 因此, 由Rms的定義, 可將連續(xù)分段序列與間斷分段序列的Zoom-FFT分別歸結(jié)為Rms = 1的Zoom-FFT 和Rms1的Zoom-FFT.間斷分段序列Zoom-FFT 算法與經(jīng)典Zoom-FFT 算法的主要區(qū)別是, 需根據(jù)期望得到的精細頻譜頻點間隔f d-zoom確定占空比Rms以及其值不等于第一批FFT 窗口長度N 的相鄰2個信號序列段間隔長度L, 以及據(jù)此改變AD采樣方式. 具體算法如下:1)確定FFT 頻譜的粗頻點間隔f 和間斷分段序列Zoom-FFT細頻點間隔fd- zo om ;2)確定占空比Rms, 并由式( 1)得到相鄰2個信號序列段間隔長度L;3)根據(jù)AD采樣速率fs 和所確定的f 和fd-zoom, 分別確定第一批FFT 長度N 和Zoom-FFT 長度M. 4)令m = 0和n= 0(m 與n 分別為子序列及其內(nèi)部的序列值序號);5)用A