23845數(shù)學(xué)奧林匹克題解C幾[共3頁]

1、C5031 求與拋物線yx2相切的拋物線yx2bxc的頂點(diǎn)的軌跡【題說】 第十七屆（1991年）全俄數(shù)學(xué)奧林匹克九年級(jí)題1【解】 拋物線yx2與yx2bxc相切的充要條件是2x2bxc0有唯一解，即b28c0所以cb2/8拋物線yx2bxb2/8的頂點(diǎn)為xb/2b/2，yb2/8消去b得所求的軌跡：仍是一條拋物線C5032 在坐標(biāo)平面上，設(shè)方程y2x32691x8019所確定的曲線為E，連接該曲線上的兩點(diǎn)（3，9）和（4，53）的直線交曲線E于另一點(diǎn)，求該點(diǎn)的橫坐標(biāo)【題說】 1992年日本數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選賽題3【解】 容易求得所給直線的方程為y44x123，將它代入曲線方程并整理得由方程根與系

2、數(shù)的關(guān)系可知，所求的橫坐標(biāo)為1936（34）1929C5033 已知圓的方程為x2y24，試在坐標(biāo)平面上求兩點(diǎn)A（s，t）、B（m，n），使下列兩條件滿足：（1）圓上任一點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之比為定值k；（2）sm，tn，且m、n均為正整數(shù)【題說】 1993年江蘇省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一試題4【解】 設(shè)圓上任意一點(diǎn)為P（x，y）則取P1（2，0），P2（2，0），得從而 sk2m再取P3（0，2），P4（0，2）又得tk2n （3）化簡為 k2（m2n2）40所以 mn1，k22，所求點(diǎn)為（2，2），（1，1）C5034 設(shè)P（x，y）為|5xy|5xy|20上一點(diǎn)求x2xyy2之最大、最小值

3、【題說】 第三屆（1993年）澳門數(shù)學(xué)奧林匹克第一輪題4【解】 方程圖像，即x2，x2，y10，y10四直線圍成的矩形，其頂點(diǎn)為A（2，10），B（2，10），C（2，10），D（2，10）由對(duì)稱性僅需在AB、BC邊考慮在AB上，Qx2xyy242yy23（1y）2所以 3Q124（3（110）2）同理，在BC上，84Q124所以Q最大124，Q最小3C5037 已知實(shí)數(shù)a滿足：有且僅有一個(gè)正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線yx3ax上，試求該正方形的邊長【題說】 1993年德國數(shù)學(xué)奧林匹克（第二輪）題2【解】 設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為 A、B、C、D，那么ABCD的中心為原點(diǎn)O否則，由于yx3ax為奇函

4、數(shù)，因此A、B、C、D關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A、B、C、D也在曲線上，且ABCD也是正方形，與題設(shè)矛盾設(shè)四點(diǎn)為A（x0，y0），B（y0，x0），C（x0，y0），D（y0，x0），其中x00，y00，則（1）x0（2）y0，得（1）y0（2）x0，得由（3）、（4）得ar2（12sin2cos2）消去r2，得關(guān)于sin2的方程（1a2）（sin22）2（4a2）sin2240因sin22在（0，1）內(nèi)只有一個(gè)根，所以（a24）216（1a2）a48a20C5038 在圓C（x1）2y22上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A和B，且滿足條件AOB90（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求以O(shè)A、OB為鄰邊的矩形OAPB的頂點(diǎn)P的軌跡方程【

5、題說】 1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北省預(yù)賽一試題3【解】 設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）依題意，由（1）（2）得因?yàn)镺APB是矩形，有x1x2x （5）將（4）和（5）代入（3）得別解 設(shè)圓心為D，矩形OAPB的中心為Q，則由平行四邊形性質(zhì)2（DP2DO2）OP24DQ2AB24DQ22（DA2DB2）從而DP22DA2DO222123（x1）2y23C5039 已知P點(diǎn)在圓x2（y4）21上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢【題說】 1994年四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題二（5）【解】 如圖，先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時(shí)，|PQ|最大，因而欲求|PQ|的最大值，即求|O

6、1Q|的最大值設(shè)Q的坐標(biāo)為（x，y），則|O1Q|2x2（y4）2 （1）x29（1y2） （2）（2）代入（1）得|O1Q|28y28y25C5040 在平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中任意3點(diǎn)不共線將5點(diǎn)中的每兩點(diǎn)連接起來，共得10條線段，已知其中9條線段長的平方是有理數(shù)，求證：余下的1條線段長的平方也是有理數(shù)【題說】 1994年日本數(shù)學(xué)奧林匹克題2【解】 設(shè)五個(gè)點(diǎn)為O、A、B、C、D，除CD外，其余9條線段長的平方均為有理數(shù)以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)備點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），A（x2，0），B（x3，y3），C（x4，y4），D（x5，y5），其x20，y3y4y50，則BC2（x4x3）2（y4y3）2BD2（x5x3）2（y5y3)2均為有理數(shù)由AB2OA2OB22x2x3知x2x3是有理數(shù)同理可