一元一次不等式組(基礎(chǔ)) 知識講解(教師版)

1、一元一次不等式組（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解不等式組的概念；2.會解一元一次不等式組，并會利用數(shù)軸正確表示出解集；3.會利用不等式組解決較為復(fù)雜的實(shí)際問題，感受不等式組在實(shí)際生活中的作用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、不等式組的概念定義：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組如，等都是一元一次不等式組 要點(diǎn)詮釋： (1)這里的“幾個”不等式是兩個、三個或三個以上 (2)這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù)要點(diǎn)二、解一元一次不等式組1. 一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個不等式的解集的公共部分叫做這個一元一次不等式組的解集要點(diǎn)詮釋：(1)找?guī)讉€不

2、等式的解集的公共部分的方法是先將幾個不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，然后找出它們重疊的部分(2)有的一元一次不等式組中的各不等式的解集可能沒有公共部分，也就是說有的不等式組可能出現(xiàn)無解的情況2.一元一次不等式組的解法解一元一次不等式組的方法步驟：（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分即這個不等式組的解集要點(diǎn)三、一元一次不等式組的應(yīng)用列一元一次不等式組解應(yīng)用題的步驟為：審題設(shè)未知數(shù)找不等關(guān)系列不等式組解不等式組檢驗(yàn)答要點(diǎn)詮釋： (1)利用一元一次不等式組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找不等關(guān)系 (2)列不等式組解決實(shí)際問題時，求出不等式組的解集后，要結(jié)合問題的實(shí)

3、際背景，從解集中聯(lián)系實(shí)際找出符合題意的答案，比如求人數(shù)或物品的數(shù)目、產(chǎn)品的件數(shù)等，只能取非負(fù)整數(shù)【典型例題】類型一、不等式組的概念1某小區(qū)前坪有一塊空地，現(xiàn)想建成一塊面積大于48平方米，周長小于34米的矩形綠化草地，已知一邊長為8米，設(shè)其鄰邊為x，請你根據(jù)題意寫出x必須滿足的不等式【思路點(diǎn)撥】由題意知，x必須滿足兩個條件面積大于48平方米周長小于34米故必須構(gòu)建不等式組來體現(xiàn)其不等關(guān)系【答案與解析】解：依題意得：【總結(jié)升華】建立不等式組的條件是：當(dāng)感知所求的量同時滿足幾個不等關(guān)系時，要建立不等式組，建立不等式組的意義與建立方程組的意義類似舉一反三：【變式】直接寫出解集：(1)的解集是_；(2)

4、的解集是_；(3)的解集是_；(4)的解集是_【答案】（1）；（2）；（3）；（4）空集類型二、解一元一次不等式組2.（2016莆田）解不等式組：【思路點(diǎn)撥】解不等式組時，要先分別求出不等式組中每個不等式的解集，然后畫數(shù)軸，找它們解集的公共部分，這個公共部分就是不等式組的解集【答案與解析】解：解：由得x1；由得x4；所以原不等式組的解集為：x1【總結(jié)升華】確定一元一次不等式組解集的常用方法有兩種：(1)數(shù)軸法：運(yùn)用數(shù)軸法確定不等式組的解集，就是將不等式組中的每一個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，然后找出它們的公共部分，這個公共部分就是此不等式組的解集；如果沒有公共部分，則這個不等式組無解，這種方

5、法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，既直觀又明了，易于掌握(2)口訣法：為了便于快速找出不等式組的解集，結(jié)合數(shù)軸將其總結(jié)為朗朗上口的四句口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找，大大小小無解了舉一反三：【變式】解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來【答案】解：，解不等式得：x1，解不等式得：x2，不等式組的解集為：2x1在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：類型三、一元一次不等式組的應(yīng)用3. “六一”兒童節(jié)，學(xué)校組織部分少先隊(duì)員去植樹學(xué)校領(lǐng)到一批樹苗，若每人植4棵樹，還剩37棵；若每人植6棵樹，則最后一人有樹植，但不足3棵，這批樹苗共有多少棵【思路點(diǎn)撥】設(shè)有x名學(xué)生，則由第一種植樹法，知道一共有(4x +37)棵樹

6、；第二種植樹法中，前（x-1）名學(xué)生中共植6（x-1）棵樹；最后一名學(xué)生植樹的數(shù)量是：(4x +37)- 6（x-1）棵，這樣，我們就探求到第一個不等量關(guān)系：最后一人有樹植，說明第二種植樹法中前（x-1）名學(xué)生植樹的數(shù)量要比樹木總數(shù)少，即(4x +37)6（x-1）；第二種植樹法中，最后一名學(xué)生植樹的數(shù)量不到3棵，也就是說(4x +37)- 6（x-1）3，或者理解為：(3x +8)- 5（x-1）2，這樣，我們就又找到了第二個不等量關(guān)系式.到此，不等式組即建立起來了，接下來就是解不等式組【答案與解析】解：設(shè)有x名學(xué)生，根據(jù)題意，得：，不等式(1)的解集是：x；不等式（2）的解集是：x20，所

7、以，不等式組的解集是：20x，因?yàn)閤是整數(shù)，所以，x=21，421+37=121（棵）答：這批樹苗共有121棵.【總結(jié)升華】解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系舉一反三：【變式】一件商品的成本價是30元，若按原價的八八折銷售，至少可獲得的利潤；若按原價的九折銷售，可獲得不足的利潤，此商品原價在什么范圍內(nèi)？【答案】解：設(shè)這件商品原價為元，根據(jù)題意可得：解得：答：此商品的原價在元（包括元）至40元范圍內(nèi)4. “全民閱讀”深入人心，好讀書，讀好書，讓人終身受益為滿足同學(xué)們的讀書需求，學(xué)校圖書館準(zhǔn)備到新華書店采購文學(xué)名著和動漫書兩類圖書經(jīng)了解，20本文學(xué)名著和40本動漫

8、書共需1520元，20本文學(xué)名著比20本動漫書多440元（注：所采購的文學(xué)名著價格都一樣，所采購的動漫書價格都一樣）（1）求每本文學(xué)名著和動漫書各多少元？（2）若學(xué)校要求購買動漫書比文學(xué)名著多20本，動漫書和文學(xué)名著總數(shù)不低于72本，總費(fèi)用不超過2000元，請求出所有符合條件的購書方案【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)每本文學(xué)名著x元，動漫書y元，根據(jù)題意列出方程組解答即可；（2）根據(jù)學(xué)校要求購買動漫書比文學(xué)名著多20本，動漫書和文學(xué)名著總數(shù)不低于72本，總費(fèi)用不超過2000元，列出不等式組，解答即可【答案與解析】解：（1）設(shè)每本文學(xué)名著x元，動漫書y元，可得：，解得：，答：每本文學(xué)名著和動漫書各為40元和

9、18元；（2）設(shè)學(xué)校要求購買文學(xué)名著x本，動漫書為（x+20）本，根據(jù)題意可得：，解得：，因?yàn)槿≌麛?shù)，所以x取26，27，28；方案一：文學(xué)名著26本，動漫書46本；方案二：文學(xué)名著27本，動漫書47本；方案三：文學(xué)名著28本，動漫書48本【總結(jié)升華】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，關(guān)鍵是弄清題意，找出題目中的等量關(guān)系與不等關(guān)系，列出方程組與不等式組舉一反三：【變式】A地果農(nóng)收獲荔枝30噸，香蕉13噸，現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共10輛，將這批水果全部運(yùn)往B地. 已知甲種貨車可裝荔枝4噸和香蕉1噸，乙種貨車可裝荔枝香蕉各2噸（1）若要安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設(shè)

10、計(jì)出來（2）若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)2000元，乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)1300元，那么選擇哪種方案使運(yùn)費(fèi)最少？運(yùn)費(fèi)最少是多少？【答案】解：（1）設(shè)租甲種貨車輛，則租乙種貨車（）輛，依題意得：，解得，又為整數(shù)，所以或6或7，有三種方案：方案1：租甲種貨車5輛，乙種貨車5輛；方案2：租甲種貨車6輛，乙種貨車4輛；方案3：租甲種貨車7輛，乙種貨車3輛（2）運(yùn)輸費(fèi)用：方案1：200051300516500（元）；方案2：200061300417200（元）；方案3：200071300317900（元）方案1運(yùn)費(fèi)最少，應(yīng)選方案1一元一次不等式組（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題1下列選項(xiàng)中是一元一次

11、不等式組的是（）A B C D2不等式組的解集在數(shù)軸上表示為 （ ）3（2016來賓）已知不等式組的解集是x1，則a的取值范圍是（）Aa1 Ba1 Ca1 Da14不等式的整數(shù)解有（ ）A4個 B3個 C2個 D1個5現(xiàn)用甲、乙兩種運(yùn)輸車將46t抗旱物資運(yùn)往災(zāi)區(qū)，甲種運(yùn)輸車載重5t，乙種運(yùn)輸車載重4t，安排車輛不超過10輛，則甲種運(yùn)輸車至少應(yīng)安排（ ）A4輛 B5輛 C6輛 D7輛6如果|x+1|1+x，|3x+2|-3x-2，那么x的取值范圍是（ ）A B C D 二、填空題7.如果a2，那么不等式組的解集為_，的解集為_8（2016廣東）不等式組的解集是 9不等式組的所有整數(shù)解的和是_10

12、. 如圖所示，在天平右盤中的每個砝碼的質(zhì)量都是1g，則物體A的質(zhì)量m(g)的取值范圍為 11從彬彬家步行到學(xué)校的路程是2400米，如果彬彬7時離家，要在7時30分至40分間到達(dá)學(xué)校，那么步行的速度x（米/分）的范圍是_12. 在ABC中，三邊為、,如果，那么的取值范圍是 三、解答題13.解下列不等式組，并將其解集在數(shù)軸上表示出來 （1）；（2）13x-24；14.若關(guān)于x、y的二元一次方程組中，x的值為負(fù)數(shù)，y的值為正數(shù)，求m的取值范圍15.鄭老師想為希望小學(xué)四年級(3)班的同學(xué)購買學(xué)習(xí)用品，了解到某商店每個書包價格比每本詞典多8元，用124元恰好可以買到3個書包和2本詞典(1)每個書包和每本

13、詞典的價格各是多少元?(2)鄭老師計(jì)劃用1000元為全班40位學(xué)生每人購買一件學(xué)習(xí)用品(一個書包或一本詞典)后，余下不少于100元且不超過120元的錢購買體育用品共有哪幾種購買書包和詞典的方案?【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】D；【解析】解：A、含有兩個未知數(shù)，錯誤；B、未知數(shù)的次數(shù)是2，錯誤；C、含有兩個未知數(shù)，錯誤；D、符合一元一次不等式組的定義，正確；故選D.2. 【答案】A；【解析】解不等式組可得：3. 【答案】A；4. 【答案】B； 【解析】，解得：，所以整數(shù)解：-1，0，1.5. 【答案】C； 【解析】設(shè)甲種運(yùn)輸車安排x輛，5x+4（10-x）46，x6，故至少要甲種運(yùn)輸車6

14、輛6. 【答案】A； 【解析】由，解得二、填空題7. 【答案】x2，無解；8. 【答案】3x1；【解析】解不等式得：x1，解不等式得：x-3，所以不等式組的解集是：3x1.9. 【答案】-5； 【解析】所有整數(shù)解：-3，-2，-1,0,1，所以和為-5.10【答案】1m2；【解析】由第一幅圖得m1，由第二幅圖得m2，故1m211.【答案】60x80；【解析】設(shè)步行速度為x米/分，依題意可得：，得60x8012.【答案】4x28； 【解析】4x-3x284x+3x，即4x28三、解答題13.【解析】解：(1)由得解集為x3，由得解集為x3，在數(shù)軸上表示、的解集，如圖，所以不等式組無解（2）不等式

15、組的解集為1x2，表示在數(shù)軸上如圖：14.【解析】解：，+得2x=4m2，解得x=2m1，得2y=2m+8，解得y=m+4，x的值為負(fù)數(shù)，y的值為正數(shù)，4m15.【解析】解：(1)設(shè)每個書包的價格為x元，則每本詞典的價格為(x-8)元根據(jù)題意得：3x+2(x-8)124解得：x28 x-820答：每個書包的價格為28元，每本詞典的價格為20元(2)解：設(shè)購買書包y個，則購買詞典(40-y)本根據(jù)題意得：，解得：10y12.5因?yàn)閥取整數(shù)，所以y的值為10或11或12所以有三種購買方案，分別是：書包10個，詞典30本；書包11個，詞典29本； 書包12個，詞典28本拓展部分：類型一、解一元一次不

16、等式組1.（2016深圳）解不等式組：【思路點(diǎn)撥】按照解不等式組的基本步驟進(jìn)行求解就可以了【答案與解析】解：，解得x2，解得x1，則不等式組的解集是1x2【總結(jié)升華】求出不等式、的解集后，應(yīng)取其公共部分作為不等式組的解集，解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到舉一反三：【變式】解不等式組 無解則a的取值范圍是 ( )Aa1 Bal Ca1 Da1 【答案】B 2. 不等式組是否存在整數(shù)解？如果存在請求出它的解；如果不存在要說明理由.【思路點(diǎn)撥】解這類問題的第一步是分別求出各個不等式的解集；第二步借助數(shù)軸以確定不等式組的公共解集；最后看公共解集中是否存在整數(shù)解.【答案與解

17、析】解：解不等式（1），得：x2；解不等式（2），得：x-3；解不等式（3），得：x-2；在數(shù)軸上分別表示不等式（1）、（2）、（3）的解集：原不等式組的解集為：-2x2.原不等式組的整數(shù)解為：-2、-1、0、1.【總結(jié)升華】求不等式組的解集就是求不等式組中所有不等式解集的公共部分.對于三個以上的不等式有時不容易得到公共解集，于是常常借助數(shù)軸的直觀性，這樣較容易確定其解集.在數(shù)軸上表示點(diǎn)的位置，要注意空心圈與實(shí)心圓點(diǎn)的不同用法.舉一反三：【變式】（2015北京）解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解【答案】解：，由得：x2；由得：x，不等式組的解集為2x，則不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2

18、，33.試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍使不等式組 恰好有兩個整數(shù)解【思路點(diǎn)撥】先確定其解集，再判斷出整數(shù)解，最后利用數(shù)軸確定a的范圍【答案與解析】解：由不等式，去分母得3x+2(x+1)0，去括號，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1后得x由不等式去分母得3x+5a+44x+4+3a，可解得x2a所以原不等式組的解集為，因?yàn)樵摬坏仁浇M恰有兩個整數(shù)解：0和l，故有：12a2，所以：【總結(jié)升華】此題考查的是一元一次不等式組的解法，得出x的整數(shù)解，再根據(jù)x的取值范圍求出a的值即可舉一反三：【變式】.已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集是x2，求a的值【答案】解：解第一個不等式，得解集，解第二個不等式，得解集，不等式組的

19、解集為x2，即，又為自然數(shù)，或1或2類型二、解特殊的一元一次不等式組4.（2015黔西南州）求不等式（2x1）（x+3）0的解集解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得：或 解得x；解得x3不等式的解集為x或x3請你仿照上述方法解決下列問題：（1）求不等式（2x3）（x+1）0的解集（2）求不等式0的解集【答案與解析】解：（1）根據(jù)“異號兩數(shù)相乘，積為負(fù)”可得或，解得不等式組無解；解得，1x；（2）根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得，解得，x3，解得，x2，故不等式組的解集為：x3或x2【總結(jié)升華】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答

20、此題的關(guān)鍵類型三、一元一次不等式組的應(yīng)用5.某校初三年級春游，現(xiàn)有36座和42座兩種客車供選擇租用，若只租用36座客車若干輛，則正好坐滿；若只租用42座客車，則能少租一輛，且有一輛車沒有坐滿，但超過30人；已知36座客車每輛租金400元，42座客車每輛租金440元 (1)該校初三年級共有多少人參加春游? (2)請你幫該校設(shè)計(jì)一種最省錢的租車方案【思路點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵語句是：“若只租用42座客車，則能少租一輛，且有一輛車沒有坐滿，但超過30人”理解這句話，有兩層不等關(guān)系 (1)租用36座客車x輛的座位數(shù)小于租用42座客車(x-1)輛的座位數(shù) (2)租用36座客車x輛的座位數(shù)大于租用42座客車(x

21、-2)輛的座位數(shù)+30【答案與解析】 解：(1)設(shè)租36座的車x輛據(jù)題意得：，解得： 由題意x應(yīng)取8，則春游人數(shù)為：368288(人) (2)方案：租36座車8輛的費(fèi)用：84003200(元)， 方案：租42座車7輛的費(fèi)用：74403080(元)， 方案：因?yàn)?26+361288，所以租42座車6輛和36座車1輛的總費(fèi)用：644014003040(元) 所以方案：租42座車6輛和36座車1輛最省錢【總結(jié)升華】本例不等關(guān)系相對隱蔽，需要在審題過程中加以挖掘舉一反三：【變式1】“向陽”中學(xué)某班計(jì)劃用勤工儉學(xué)收入的66元，同時購買單價分別為3元、2元、1元的甲乙丙三種紀(jì)念品，獎勵參加?！八囆g(shù)節(jié)”活動

22、的同學(xué)已知購買的乙種紀(jì)念品比購買的甲種紀(jì)念品多2件，而購買的甲種紀(jì)念品不少于10件，且購買甲種紀(jì)念品費(fèi)用不超過總費(fèi)用的一半，若購買的甲、乙、丙三種紀(jì)念品恰好用了66元錢，問可有幾種購買方案，每種方案中購買甲乙丙三種紀(jì)念品各多少件？【答案】解：設(shè)購買的甲、乙、丙三種紀(jì)念品件數(shù)分別為x、y、z，由題意得：且由方程組得：解不等式組得：10x11x為整數(shù)，x10或x11當(dāng)x10時，y12，z12當(dāng)x11時，y13，z7可有兩種方案購買【變式2】5.12四川地震后，懷化市立即組織醫(yī)護(hù)工作人員趕赴四川災(zāi)區(qū)參加傷員搶救工作 擬派30名醫(yī)護(hù)人員，攜帶20件行李（藥品、器械），租用甲、乙兩種型號的汽車共8輛，日

23、夜兼程趕赴災(zāi)區(qū)經(jīng)了解，甲種汽車每輛最多能載4人和3件行李，乙種汽車每輛最多能載2人和8件行李(1) 設(shè)租用甲種汽車x輛，請你設(shè)計(jì)所有可能的租車方案；(2) 若甲、乙汽車的租車費(fèi)用每輛分別為8000元、6000元，請你選擇最省錢的租車方案 【答案】解：（1）設(shè)租用甲種汽車x輛，則租用乙種汽車，則：，解得：，應(yīng)為整數(shù)，或8， 有兩種租車方案，分別為：方案1：租甲種汽車7輛，乙種汽車1輛；方案2：租甲種汽車8輛，乙種汽車0輛（2）租車費(fèi)用分別為：方案1: 800076000162000（元）；方案2：8000:864000（元） 方案1花費(fèi)最低，所以選擇方案1【鞏固練習(xí)】一、選擇題1（2016聊城）

24、不等式組的解集是x1，則m的取值范圍是（）Am1 Bm1 Cm0 Dm02若不等式組有實(shí)數(shù)解則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( ) A B C D3若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是 ( ) Aa1 Bal C1 Da1 4關(guān)于x的不等式的整數(shù)解共有4個，則m的取值范圍是 ( )A6m7 B6m7 C6m7 D6m75某班有學(xué)生48人，每人都會下象棋或者圍棋，且會下象棋的人數(shù)比會下圍棋的人數(shù)的2倍少3人，兩種棋都會下的至多9人，但不少于5人，則會下圍棋的人有 （ ） A20人 B19人 C11人或13人 D20人或19人6某城市的一種出租車起步價是7元（即在3km以內(nèi)的都付7元車費(fèi)），超過3km后

25、，每增加1km加價1.2元（不足1km按1km計(jì)算），現(xiàn)某人付了14.2元車費(fèi)，求這人乘的最大路程是（ ） A10km B9 km C8km D7 km 二、填空題7.已知，且，則k的取值范圍是_8（2016龍東地區(qū)）不等式組有3個整數(shù)解，則m的取值范圍是9如果不等式組的解集是0x1，那么a+b的值為_10將一筐橘子分給幾個兒童，若每人分4個，則剩下9個橘子；若每人分6個，則最后一個孩子分得的橘子將少于3個，則共有_個兒童，_個橘子11對于整數(shù)a、b、c、d，規(guī)定符號已知，則b+d的值是_ 12. 在ABC中，三邊為、,（1）如果，那么的取值范圍是 ；（2）已知ABC的周長是12，若是最大邊，

26、則的取值范圍是 ；（3） 三、解答題13.解下列不等式組(1) (2) （3）（4）14.已知：關(guān)于x，y的方程組的解是正數(shù)，且x的值小于y的值 （1）求的范圍； （2）化簡|8+11|-|10+1|15.某體育館計(jì)劃從一家體育用品商店一次性購買若干個氣排球和籃球（每個氣排球的價格都相同，每個籃球的價格都相同）經(jīng)洽談，購買1個氣排球和2個籃球共需210元；購買2個氣排球和3個籃球共需340元（1）每個氣排球和每個籃球的價格各是多少元？（2）該體育館決定從這家體育用品商店一次性購買氣排球和籃球共50個，總費(fèi)用不超過3200元，且購買氣排球的個數(shù)少于30個，應(yīng)選擇哪種購買方案可使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D【解析】不等式整理得：，由不等式組的解集為x1，得到m+11，解得：m0，故選D.2. 【答案】A；【解析】原不等式組可化為而不等式組有解，根據(jù)不等式組解集的確定方法“大小小大中間找”可知m3. 【答案】B； 【解析】原不等式組可化為根據(jù)不等式組解集的確定方法“大大小小沒解了”可知a14. 【答案】D； 【解析】解得原不等式組的解集為：3xm，表示在數(shù)軸上如下圖，由圖可得：6m75. 【答案】D； 6. 【答案】B； 【解析