福建省漳平市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（含解析）

1、福建省漳平市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（含解析）第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知的取值如下表所示,若與線性相關(guān),且,則（）x0134yA. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求得樣本中心點(diǎn)，然后利用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)即可得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得：，回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，則，解得，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)回歸直線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題目.2.隨機(jī)調(diào)查某校50個(gè)學(xué)生的午餐費(fèi),結(jié)果如下表,這50個(gè)學(xué)生

2、午餐費(fèi)的平均值和方差分別是()餐費(fèi)元345人數(shù)102020A. 4,B. 4,C. ,D. ,【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，求出它們的平均數(shù)和方差即可.【詳解】根據(jù)題意，得這50個(gè)學(xué)生午餐費(fèi)的平均值是：，方差是：，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平均數(shù)和方差的公式，屬于簡(jiǎn)單題目.3.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸，點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的方程為()A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點(diǎn)在曲線上的條件為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方

3、程，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的方程的求解問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)拋物線所過(guò)的一個(gè)點(diǎn)，以及拋物線的對(duì)稱軸求拋物線的方程的問(wèn)題，注意開口方向不明確時(shí)拋物線方程的設(shè)法，屬于簡(jiǎn)單題目.4.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“兩次都中靶”的對(duì)立事件是（）A. 至多有一次中靶B. 至少有一次中靶C. 只有一次中靶D. 兩次都不中【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)對(duì)立事件的定義，可得事件“兩次都中靶”的對(duì)立事件，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)對(duì)立事件的定義可得，事件“兩次都中靶”的對(duì)立事件是：至多有一次中靶，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)對(duì)立事

4、件的選取擇問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)立事件的定義，屬于簡(jiǎn)單題目.5.連續(xù)擲兩次骰子，先后得到的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么點(diǎn)在圓內(nèi)部的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】所有的點(diǎn)共有個(gè)，用列舉法求得其中滿足的點(diǎn)有8個(gè)，由此求得點(diǎn)P在圓內(nèi)部的概率.【詳解】所有的點(diǎn)共有個(gè)，點(diǎn)P在圓內(nèi)部，即點(diǎn)滿足，故滿足此條件的點(diǎn)有：共8個(gè)，故點(diǎn)P在圓內(nèi)部的概率是，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)古典概型概率的求解問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有古典概型概率公式，在解題的過(guò)程中，正確找出基本事件的個(gè)數(shù)以及滿足條件的基本事件數(shù)是關(guān)鍵.6.在中，已知，且，則的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解

5、析】【分析】據(jù)正弦定理，將化為，判斷出點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，根據(jù)數(shù)據(jù)求出其方程即可【詳解】，由正弦定理得，即，由雙曲線的定義可知：點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，.頂點(diǎn)的軌跡方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線軌跡方程的求解，同時(shí)也考查三角形正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.方程表示橢圓的必要不充分條件是（）A. m（1，2）B. m（4，2）C. m（4，1）（1，2）D. m（1，+）【答案】B【解析】【詳解】方程表示橢圓的充要條件是，即，因?yàn)?，所以方程表示橢圓的必要不充分條件是；故選B.8.與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是（ ）A.

6、B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：由橢圓焦點(diǎn)可得所求雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線為，故，所以所求雙曲線方程為.考點(diǎn)：雙曲線與橢圓.9.若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值為()A. B. C. 或D. 或或【答案】C【解析】【分析】由，得，則該方程只有一解，分和兩種情況討論可解得的值.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)求得，滿足直線與雙曲線相交，只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解得，即，此時(shí)直線與雙曲線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上，滿足條件的值是或，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)直線斜率的取值問(wèn)題，注意分二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零兩種情況來(lái)討論，屬于簡(jiǎn)單

7、題目.10.若橢圓與直線交于兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為,則()A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】細(xì)查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系可以推出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由過(guò)原點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的直線的斜率為，進(jìn)而可推導(dǎo)出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設(shè)，則，從而線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)與線段中點(diǎn)的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】該題是一道關(guān)于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與橢圓相交時(shí)對(duì)應(yīng)的解題策略，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，斜率坐標(biāo)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.11.已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)

8、點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小，為圓心到焦點(diǎn)的距離減去圓的半徑.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物

9、線的簡(jiǎn)單性質(zhì)及利用拋物線的定義求最值，屬于中檔題. 與拋物線的定義有關(guān)的最值問(wèn)題常常實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解；（2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.12.過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），利用O為的中點(diǎn)，E為P的中點(diǎn)，可得OE為P的中位線，從而可求|P|，再設(shè)P（x，y） 過(guò)點(diǎn)作x

10、軸的垂線，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為（c，0）因?yàn)閽佄锞€為y2=4cx，所以為拋物線的焦點(diǎn) 因?yàn)镺為的中點(diǎn)，E為P的中點(diǎn)，所以O(shè)E為P的中位線，屬于OEP因?yàn)閨OE|=a，所以|P|=2a又PP，|=2c 所以|P|=2b 設(shè)P（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，x=2ac 過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，點(diǎn)P到該垂線的距離為2a 由勾股定理 y2+4a2=4b2，即4c（2ac）+4a2=4（c2a2）得e2e1=0，e=故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)離心率的求解，其中根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的離心率的方程，得到a,c的關(guān)

11、系式是解得的關(guān)鍵，對(duì)于雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：求出a,c，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范圍)二、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知某大學(xué)大一500人，大二750人，大三850人為了解該大學(xué)學(xué)生的身體健康狀況，該大學(xué)負(fù)責(zé)人采用分層抽樣技術(shù)抽取若干人進(jìn)行體檢調(diào)查，若在大二學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人，試問(wèn)這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是_人【答案】140【解析】【分析】根據(jù)條件求出抽取比例，結(jié)合比例關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是人

12、，因?yàn)榇笠?00人，大二750人，大三850人，所以總?cè)藬?shù)為（人），因?yàn)榇蠖W(xué)生中隨機(jī)抽取了50人，所以，解得（人），故答案是：140.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)分層抽樣的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，建立等量關(guān)系式求得結(jié)果.14.已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為_【答案】【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得出的值，由此可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，所以，因此雙曲線的漸近線方程為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線與拋物線的坐標(biāo)，同時(shí)也考查了雙曲線漸近線方程的求解，解題時(shí)要結(jié)合已知條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.1

13、5.是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_【答案】6【解析】【分析】注意兩個(gè)圓的圓心分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，利用雙曲線定義做，連接與左焦點(diǎn)延長(zhǎng)與下半圓交于點(diǎn)，交上半圓于點(diǎn)，顯然是最大值.【詳解】圓的圓心是，半徑是，圓的圓心是，半徑是，連接與左焦點(diǎn)延長(zhǎng)與下半圓交于點(diǎn)，交上半圓于點(diǎn)，顯然是最大值，故答案是：6.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)元上的點(diǎn)的距離的差的最大值問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最大值與最小值等于其到圓心的距離與半徑的和與差，雙曲線的定義，屬于簡(jiǎn)單題目.16.已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點(diǎn),P是它們?cè)诘谝?/p>

14、象限的交點(diǎn),且,則的最小值為_.【答案】【解析】分析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值.【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，在雙曲線的右支上，由橢圓的定義，由雙曲線的定義，所以有，因?yàn)?，由余弦定理可得，整理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案是：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線相交，在相應(yīng)的焦點(diǎn)三角形中，利用題中所給的條件，求其離心率的運(yùn)算式的最值的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的定義，雙曲線的定義，余弦定理，基本不等式，屬于簡(jiǎn)單題目.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17

15、.蚌埠市某中學(xué)高三年級(jí)從甲（文）、乙（理）兩個(gè)科組各選出名學(xué)生參加高校自主招生數(shù)學(xué)選拔考試，他們?nèi)〉玫某煽?jī)的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生的平均分是，乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是（1）求和的值；（2）計(jì)算甲組位學(xué)生成績(jī)的方差；（3）從成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲組至少有一名學(xué)生的概率【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）平均數(shù)是名學(xué)生的成績(jī)相加除以，中位數(shù)是將為學(xué)生的成績(jī)按由小到大的順序排列，第個(gè)成績(jī)就是中位數(shù)；（2）根據(jù)上一問(wèn)的平均數(shù)，寫出方差的公式；（3）將甲組和乙組的分以上的學(xué)生分別標(biāo)號(hào)，列舉出所以抽取名學(xué)生的基本事件的個(gè)數(shù)，從中數(shù)出至少有名學(xué)生的基本事件的個(gè)數(shù)，

16、然后相除，即得結(jié)果【詳解】（1）甲組學(xué)生的平均分是，.乙組學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是，；（2）甲組位學(xué)生成績(jī)的方差為：；（3）甲組成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生有兩名，分別記為、，乙組成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生有三名，分別記為、從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有種情況：、.其中甲組至少有一名學(xué)生共有種情況：、.記“從成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲組至少有一名學(xué)生”為事件，則答：從成績(jī)?cè)诜忠陨系膶W(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲組至少有一名學(xué)生的概率為【點(diǎn)睛】本題主要考查利用莖葉圖計(jì)算出樣本的平均數(shù)、中位數(shù)與方差，同時(shí)也考查了古典概型概率公式的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18.某購(gòu)物中心為了了解顧客使用新推出某購(gòu)物卡的

17、顧客的年齡分布情況，隨機(jī)調(diào)查了位到購(gòu)物中心購(gòu)物的顧客年齡，并整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，年齡落在區(qū)間內(nèi)的頻率之比為.（1） 求顧客年齡值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;（2） 擬利用分層抽樣從年齡在的顧客中選取人召開一個(gè)座談會(huì)，現(xiàn)從這人中選出人，求這兩人在不同年齡組的概率.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1) 設(shè)區(qū)間內(nèi)的頻率為,則區(qū)間內(nèi)的頻率分別為和,由頻率之和等于，列出方程解之即可；（2）根據(jù)題意得，需從年齡在中分別抽取人和人，寫出從這人中選出人的所有基本事件，共種，從中找出這兩人在不同年齡組的所有基本事件，求概率即可.試題解析： （1）設(shè)區(qū)間內(nèi)頻率為, 則區(qū)間內(nèi)的頻率分別為和.依題意得

18、,解得,所以區(qū)間內(nèi)的頻率為.（2）根據(jù)題意得，需從年齡在中分別抽取人和人，設(shè)在的人分別為,在的人分別為,則所抽取的結(jié)果共有種,.設(shè)“這兩人在不同年齡組” 為事件,事件包含的基本事件有種:.則,所以這兩人在不同年齡組的概率為.考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.古典概型.19.已知橢圓的焦距為2，離心率（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且，求F1PF2的面積【答案】（）或（）【解析】【分析】（）由已知可得，再由離心率求得，結(jié)合隱含條件求得的值，從而求得橢圓的方程；（）在焦點(diǎn)三角形中利用余弦定理求得|PF1|PF2|=4，代入三角形的面積公式得答案.【詳解】（）橢圓方程可設(shè)為且c=1，又，得a=

19、2，b2=a2-c2=4-1=3，橢圓的方程為或.（）在PF1F2中，由余弦定理可得：F1PF2，即2|PF1|PF2|cos60，4=16-3|PF1|PF2|，即|PF1|PF2|=4F1PF2的面積S=|PF1|PF2|sin60=【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)橢圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，橢圓焦點(diǎn)三角形的面積，余弦定理，屬于簡(jiǎn)單題目.20.已知點(diǎn)滿足,設(shè)點(diǎn)M的軌跡是曲線C（1）求曲線C的方程（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A,B,求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義，以及式子的意義，可以判斷出點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的

20、拋物線，從而求得，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求得，利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由已知得點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線所以曲線的方程為（2）聯(lián)立得.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)定義求曲線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)三角形的面積公式，屬于簡(jiǎn)單題目.21.已知雙曲線C：（a0，b0）的離心率為，且（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，即可求得和的值，求得雙曲線的方程；（2）將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)M坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求得的值.【詳