概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)資料第4章正態(tài)分布1

1、2020/11/17,1,一、正態(tài)分布的定義 二、正態(tài)分布的數(shù)字特征 三、正態(tài)分布性質(zhì) 四、中心極限定理,第四章 正 態(tài) 分 布,基本內(nèi)容：,2020/11/17,2,正態(tài)分布是最重要的概率分布(原因)：,(1) 很多隨機(jī)現(xiàn)象可用正態(tài)分布描述或近似描述,例如測量誤差、學(xué)生成績，人的身高、體重等,大量隨機(jī)現(xiàn)象可以用正態(tài)分布描述.,(2)一般地,大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似地服從,正態(tài)分布.(中心極限定理),(3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等),是由正態(tài)分布推導(dǎo)得到的.,2020/11/17,3,一、正態(tài)分布的定義,定義. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,則稱X服從正態(tài)分布,記作,1. 正態(tài)分

2、布 ( Normal distribution ),或高斯分布 ),2020/11/17,4,2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,特別地,且其分布函數(shù)：,則稱N(0,1),其概率密度為,2020/11/17,5,(3),2020/11/17,6,2020/11/17,7,2020/11/17,8,證：,Y的分布函數(shù)為,當(dāng)a0，有,上式兩邊關(guān)于y求導(dǎo)，得,性質(zhì)1,則,(線性性),(2) 當(dāng)a0，有,2020/11/17,9,特別地，,則,2020/11/17,10,設(shè)X表示“考生考試成績”，,問總分應(yīng)是多少算上線？,解：,且總分上線應(yīng)為 x 分.,由題意知,經(jīng)查表,考試成績呈正態(tài)分布,例3.某省

3、高考人數(shù)是35000人,計(jì)劃招生3500人,占考生人數(shù)的,2020/11/17,11,1.期望E(X),二、正態(tài)分布的數(shù)字特征,則,解：,奇函數(shù),=1,2020/11/17,12,則,2.方差D(X),3. 標(biāo)準(zhǔn)差,正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形,關(guān)于 x = 對稱,（-，）升，（，+ ）降,單調(diào)性,對稱性,拐點(diǎn),鐘形曲線： 中間高 兩邊低,對密度曲線的影響,2020/11/17,15,( 法則),求X落在,內(nèi)的概率.,解:,3倍標(biāo)準(zhǔn)差原理:,設(shè),是小概率事件,X的取值幾乎都落入以為中心，以3為半徑的區(qū)間內(nèi),2020/11/17,16,2020/11/17,17,性質(zhì)2 可加性.,則Z=X+Y

4、的概率密度為,則,且X與Y相互獨(dú)立,證明：特殊地設(shè)X和Y相互獨(dú)立, 且都服從N(0,1),即Z服從N(0,2).,2020/11/17,18,推廣到更一般的結(jié)論。,性質(zhì)3 線性組合性.,相互獨(dú)立，,2020/11/17,19,解:,依題意求P(XY)= P(X-Y0),由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，X-Y服從正態(tài)分布,即,例5.,2020/11/17,20,四、二維正態(tài)分布,定義: 設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度,則稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布，記作,2020/11/17,21,結(jié)論1 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,結(jié)論3,結(jié)論2 設(shè)X,Y的相關(guān)系數(shù)為,2020/11/

5、17,22,四、中心極限定理,客觀背景：客觀實(shí)際中，許多隨機(jī)變量是由大量 相互獨(dú)立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小 因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來， 卻對總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從 正態(tài)分布。,概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布 是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。,由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和仍服從正態(tài)分布。在某些相當(dāng)一般的條件下，很多個相互獨(dú)立的非正態(tài)的隨機(jī)變量（不管它們的分布如何）的和近似服從正態(tài)分布。,2020/11/17,23,獨(dú)立同分布的中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立, 服從同一分 布，且有

6、的數(shù)學(xué)期望 和方差 ，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù) 滿足如下極限式,2020/11/17,24,定理的應(yīng)用：對于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布， 且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這 些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布,另一種形式：,2020/11/17,25,由題意 相互獨(dú)立且服從同一分布，且,例6.在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺替各顧客服務(wù)的時(shí)間(以分計(jì))是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1.(1) 求對100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多于2小時(shí)的概率；(2) 要求總的服務(wù)時(shí)間不超過1小時(shí)的概率大于0.95,問至多能對幾位顧客服務(wù)。,解：,(1)Xi表示第i

7、位顧客的服務(wù)時(shí)間,i=1,2,100,2020/11/17,26,例6.在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺替各顧客服務(wù)的時(shí)間(以分計(jì))是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1. (2) 要求總的服務(wù)時(shí)間不超過1小時(shí)的概率大于0.95,問至多能對幾位顧客服務(wù)。,解：,(2)設(shè)能對N位顧客服務(wù)，按題意需要確定最大的N，使,2020/11/17,27,定理2.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,若隨機(jī)變量 n 服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，則 則對于任何實(shí)數(shù)x，有,定理表明，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量n 的標(biāo)準(zhǔn)化變量近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即,而 n近似服從N (np, np(1-p).,2020/11/

8、17,28,例7.某種難度很大的心臟手術(shù)成功率為0.9，對100名患者進(jìn)行這種手術(shù)，以X記手術(shù)成功的人數(shù).(1)求P(84X 95);(2)求P(X90).,解: (1)由題意知XB(100,9),E (X)=n p=1000.9=90，,D (X)=n p(1-p)=1000.90.1=9，,2020/11/17,29,二、掌握非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化，,內(nèi)容小結(jié),一、掌握正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)及其圖像及性質(zhì)；,三、掌握正態(tài)分布的數(shù)字特征；,會利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求正態(tài)分布的概率；,2020/11/17,30,3(線性組合性).設(shè),且X、Y相互獨(dú)立, 則,四、熟悉正態(tài)分布的性

9、質(zhì),則,1 (線性性). 若,2 (可加性). 設(shè),相互獨(dú)立，且,則,五、了解中心極限定理, 并會用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率,2020/11/17,31,作業(yè),習(xí)題四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18,2020/11/17,32,則X的數(shù)學(xué)期望為_; X的方差為_.,備用題,1. 已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,分析：,經(jīng)過整理得,故E(X)=1, D(X)=1/2.,2020/11/17,33,2. 已知,則Z服從（ ）分布.,因?yàn)閄, Y相互獨(dú)立，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),分析：,故選C.,2020/11/17,34,3. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布：,2020/11/17,35,分析：,故選B.,2020/11/17,36,4.,解：,得,(2+2),2020/11/17,37,由獨(dú)立同分布的中心極限定理，,2020/11/17,38,5. 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明:在索賠戶,中被盜索賠用戶占20%，以X表示在隨機(jī)調(diào)查的,100個索賠戶中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).,(1) 寫出X的概率分布；,(2