初三數(shù)學(xué)第3講：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)階(教師版)

1、第3講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)階一、二次函數(shù)yax2的圖象1函數(shù)yx2的圖象叫做_，對稱軸是_，頂點(diǎn)是_2拋物線yax2的頂點(diǎn)是_，對稱軸是_當(dāng)a0時(shí)，拋物線的開口向_；當(dāng)a0時(shí)，拋物線的開口向_3當(dāng)a0時(shí)，在拋物線yax2的對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而_，而在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而_；函數(shù)y當(dāng)x_時(shí)的值最_4當(dāng)a0時(shí)，在拋物線yax2的對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而_，而在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而_；函數(shù)y當(dāng)x_時(shí)的值最_5拋物線yax2，a越大則拋物線的開口就_，a越小則拋物線的開口就_二、二次函數(shù)ya(xh)2k的圖象1.一般地，拋物線與拋物線 的 相同， 不同.把拋物線向 向

2、平移，可以得到拋物線.即平移規(guī)律左加右減，上加下減.2.拋物線有如下特點(diǎn)： 當(dāng) 時(shí)，開口向 ；當(dāng)時(shí)，開口向 ； 對稱軸是直線 ； 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 .三、二次函數(shù)yax2bxc的圖象1把二次函數(shù)yax2bxc(a0)配方成ya(xh)2k形式為_，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_，對稱軸是直線_當(dāng)x_時(shí)，y最值_；當(dāng)a0時(shí)，x_時(shí)，y隨x增大而減??；x_時(shí)，y隨x增大而增大2二次函數(shù)yax2bxc中，a決定拋物線的開口方向，c決定拋物線與縱軸交點(diǎn)的位置，決定對稱軸四、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1求二次函數(shù)yax2bxc的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)_的值由已知條件列出關(guān)于_的方程組，并求出_，就可以寫出二次函數(shù)的解析

3、式2用待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式時(shí)：(1)若拋物線經(jīng)過任意三個(gè)點(diǎn)，則可設(shè)一般式：yax2bxc；(2)若給出了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式：ya(xh)2k；(3)若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(x1，0)，(x2，0)，則可設(shè)雙根式：ya（xx1）（xx2）重點(diǎn)：會用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象；掌握并靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；能根據(jù)條件用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠖魏瘮?shù)的解析式 難點(diǎn)：對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的理解，能用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決綜合性問題例1將二次函數(shù)y2x2+3x1化成ya(x-h)2+k的形式為 .解析：配方的關(guān)鍵是加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，除了要特別注意符號帶來的錯(cuò)誤外，還要注意運(yùn)

4、算帶來的錯(cuò)誤. y2x2+3x12(x2+x)12x2+x+()212.答案： 2.例2把拋物線y=-x2向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（ ）.A.y=-(x-1)2+3 B.y=-(x+1)2+3 C.y=-(x-1)2-3 D.y=-(x+1)2-3 解析：由拋物線y=a(x-h)2+k的平移規(guī)律知，將拋物線y=-x2向左平移1個(gè)單位，就在x后加上1，得y=-(x+1)2，再將拋物線y=-(x+1)2向上平移3個(gè)單位，就在k后加上3，得y=-(x+1)2+3.故選B.答案：B例3二次函數(shù)的圖象如圖所示，若點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2）是它圖象上的兩點(diǎn)，則

5、y1與y2的大小關(guān)系是（）.AB C D不能確定解析：由圖象可知拋物線開口向下，并且所給兩點(diǎn)A，B都在對稱軸的右側(cè)，故直接利用二次函數(shù)增減性“拋物線開口向下時(shí)，對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小”，得故選C答案：C例4如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，點(diǎn)A，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）.A. （2，3） B. （3，2） C. （3，3） D. （4，3）解析：因?yàn)锳，B均在拋物線上，且AB與x軸平行，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，又因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)也是3，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，3），則，解得x4所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3）

6、.故選D.答案：D例5拋物線yax2bxc(a0)的圖象如下圖所示，那么( )Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0解析：因?yàn)閽佄锞€開口方向向下，所以a0；因?yàn)閽佄锞€與y軸正半軸相交，所以c0；因?yàn)閷ΨQ軸在y軸左側(cè)，所以0，又a0，所以b0.故選B.答案：B例6 已知二次函數(shù)中的滿足下表：012400求這個(gè)二次函數(shù)解析式解析：方法一：設(shè)一般式，即. 已知任意三點(diǎn)，可設(shè)一般式求解.可選三個(gè)點(diǎn)，不妨把代入中得解得，. 故所求二次函數(shù)關(guān)系式為方法二：設(shè)頂點(diǎn)式，即.由表知當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值都為，由拋物線的對稱性可得到拋物線的頂點(diǎn)為，可設(shè)所求二次函數(shù)頂點(diǎn)式為.把代入上式，得

7、，解得.故所求二次函數(shù)關(guān)系式為，即方法三：設(shè)交點(diǎn)式，即.由表可知當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值都為0，結(jié)合圖象會發(fā)現(xiàn)拋物線與軸的交點(diǎn)為（，0）、（2, 0），可設(shè)所求二次函數(shù)交點(diǎn)式為.把代入上式中解得.故所求二次函數(shù)關(guān)系式為，即答案：例7在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），B（1，0），C（5，0）（1）求拋物線的解析式.（2）連接AC探索：在直線AC下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使NAC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為，則y=a(x-1)(x-5),把（0，4）代入得4=5a,解得a=.所以拋物線的解析式為yx2x4.（2）假設(shè)存在

8、合題意的點(diǎn)N如圖，過點(diǎn)N作NDy軸，交AC于點(diǎn)D設(shè)直線AC的解析式為ykxb，將A（0，4），C（5，0）代入，得解得直線AC的解析式為yx4設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m2m4），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m4）點(diǎn)N是直線AC下方的拋物線上的點(diǎn)，NDm4(m2m4)m24mSNACNDOC(m24m)52(m)2當(dāng)m時(shí)，SNAC有最大值此時(shí)m2m43在直線AC下方的拋物線上存在一點(diǎn)N，使NAC的面積最大，點(diǎn)N的坐標(biāo)是(，3)答案：（1）yx2x4；（2）在直線AC下方的拋物線上存在一點(diǎn)N，使NAC的面積最大，點(diǎn)N的坐標(biāo)是(，3)A1在二次函數(shù)y3x2；中，圖象在同一水平線上的開口大小順序用題號表示應(yīng)該為(

9、 )ABCD答案：C2拋物線y3x24的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是( )A向下，(0，4)B向下，(0，4)C向上，(0，4)D向上，(0，4)答案：B3二次函數(shù)yax2x1的圖象必過點(diǎn)( )A(0，a)B(1，a)C(1，a)D(0，a) 答案：C4要得到拋物線，可將拋物線( )A向上平移4個(gè)單位B向下平移4個(gè)單位C向右平移4個(gè)單位D向左平移4個(gè)單位 答案：C5頂點(diǎn)為(5，0)，且開口方向、形狀與函數(shù)的圖象相同的拋物線是( )ABCD答案：C6拋物線y2x2的開口方向是_，它的形狀與y2x2的形狀_，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_，對稱軸是_答案：向下，相同，(0，0)，y軸7拋物線y2x23的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_

10、，對稱軸為_當(dāng)x_時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x_時(shí)，y有最_值是_，它可以由拋物線y2x2向_平移_個(gè)單位得到答案：(0，3)，y軸，x0，0，小，3，上，38拋物線y3(x2)2的開口方向是_，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_，對稱軸是_當(dāng)x_時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x_時(shí)，y有最_值是_，它可以由拋物線y3x2向_平移_個(gè)單位得到答案：向上，(2，0)，直線x2，x2，2，小，0，右，29拋物線y2x23x5的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_當(dāng)x_時(shí)，y有最_值是_，與x軸的交點(diǎn)是_，與y軸的交點(diǎn)是_，當(dāng)x_時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)x_時(shí)，y隨x增大而增大答案：小，10拋物線y32xx2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_，它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_，

11、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_答案：(1，4)，(3，0)、(1，0)，(0，3)11 已知一拋物線與x軸的交點(diǎn)是A(2，0)、B(1，0)，且經(jīng)過點(diǎn)C(2，8)(1)求該拋物線的解析式；(2)求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)答案：(1)設(shè)拋物線的解析式為yax2(x1x2)xx1x2依題意可知x12，x21ya(x2x2)將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得8a(2222)a2y2(x2x2)，即y2x22x4；(2)配方得y，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)12如圖，已知二次函數(shù)yax24xc的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)寫出一種將它平移成拋物線yx2的方法答案：(1)由圖

12、象可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1，1)和點(diǎn)(3，9)，于是求得二次函數(shù)的表達(dá)式為yx24x6(2)配方得y(x2)210，所以對稱軸為；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，10)(3)答案不唯一，如：將拋物線yx24x6向上平移10個(gè)單位再向左平移2個(gè)單位即得拋物線y4x2B13已知函數(shù)y(m23m)的圖象是拋物線，則函數(shù)的解析式為_，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_，對稱軸方程為_，開口_答案：y4x2；(0，0)；x0；向上14函數(shù)yx24x3的圖象的頂點(diǎn)及它和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為_平方單位答案：115在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)ykx2和ykx2(k0)的圖象大致如圖( )答案：B16拋物線yax2與直線y2x3交于

13、點(diǎn)A(1，b)(1)求a，b的值；(2)求拋物線yax2與直線y2的兩個(gè)交點(diǎn)B，C的坐標(biāo)(B點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè))；(3)求OBC的面積答案：(1)a1，b1；(2)(3)SOBCC17如圖是二次函數(shù)yax2bxc的圖象的一部分；圖象過點(diǎn)A(3，0)，對稱軸為x1，給出四個(gè)結(jié)論：b24ac；2ab0；abc0；5ab其中正確的是_(填序號)答案：，18如圖4，拋物線y=x2+x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求證：ABC為直角三角形.（3）在拋物線上除點(diǎn)C外，是否還存在另外一點(diǎn)P，使ABP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由答案：（1）

14、A(，0)，B(2，0)，C(0，2) （2）AC=，BC=2，AB=3，AB2=AC2+BC2，ABC為直角三角形（3）存在，將y=2代入y=x2+x+2，得x2+x+2=2. 解得x1=0，x2=點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2)1一拋物線和拋物線y2x2的形狀、開口方向完全相同，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，3)，則該拋物線的解析式為( )Ay2(x1)23By2(x1)23Cy(2x1)23Dy(2x1)23答案：B2要得到y(tǒng)2(x2)23的圖象，需將拋物線y2x2作如下平移( )A向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位C向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位D向左平移2個(gè)單位，

15、再向下平移3個(gè)單位答案：D3函數(shù)yx2mx2(m0)的圖象是( )答案：C4拋物線有最_點(diǎn)，其坐標(biāo)是_當(dāng)x_時(shí)，y的最_值是_；當(dāng)x_時(shí)，y隨x增大而增大答案：高(3，1)，3，大，1，35將拋物線向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得的拋物線的解析式為_答案：6已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，)，且對稱軸為y軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)隨自變量增大而怎樣變化？答案：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2圖象經(jīng)過點(diǎn)(1，)，a(1)2解得a解析式為yx2；(2)a0，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)隨自變量增大而增大7在平面直角坐標(biāo)系中，AOB的位置如圖所示已知AOB90，

16、AOBO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)，(2)求過A，O，B三點(diǎn)的拋物線的解析式，(3)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸l的對稱點(diǎn)為Bl，求AB1B的面積答案：(1)作ACx軸，BDx軸，垂足分別為點(diǎn)C，D，則ACOODB90AOCOAC90又AOB90，AOCBOD90OACBOD又AOBO，ACOODBODAC1，DBOC3點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，3)(2)拋物線過原點(diǎn)，可設(shè)所求拋物線的解析式為yax2bx將A(3，1)，B(1，3)代人，得解得a，b故所求拋物線的解析式為y(3)拋物線y的對稱軸l方程是x點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸l的對稱點(diǎn)為B1(，3)在AB1B中，底邊BlB，高為2AB1B的面積21拋物線y2x2的頂點(diǎn)，坐標(biāo)為_，對稱軸是_當(dāng)x_時(shí)，y隨x增大而減?。划?dāng)x_時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x_時(shí)，y有最_值是_答案：(0，0)，y軸，x0，x0，0，小，02把二次函數(shù)yx24x5配方成ya(xh)2k的形式，得_，這個(gè)函數(shù)的圖象有最_點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_答案：y(x2)21，低，(2，1)3已知二次函數(shù)yx24x3，當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)y有最值_，當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大，當(dāng)x_時(shí)，y0答案：2，7，x2，4拋物線ya