微分方程模型和應(yīng)用.ppt

1、微分方程模型應(yīng)用和計(jì)算,典型微分方程模型,Malthus人口模型 Logistic模型 新產(chǎn)品推廣模型 物種競(jìng)爭(zhēng)模型 正規(guī)戰(zhàn)-游擊戰(zhàn)模型 Lotka-Volterra Models 海洋種群生態(tài)學(xué) 相互作用和變化問(wèn)題,世界人口增長(zhǎng)概況,中國(guó)人口增長(zhǎng)概況,年代 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 人口 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4,美國(guó)人口的增長(zhǎng)概況,馬爾薩斯（Malthus）指數(shù)人口模型,假設(shè)人口增長(zhǎng)率r是常數(shù),特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番的時(shí)間固定,Logisitic模型,模型檢驗(yàn) Logistic模型效果如何呢？ 1

2、945年克朗皮克（Crombic）人工飼養(yǎng)小谷蟲(chóng)的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（EFGauss）做原生物草履蟲(chóng)實(shí)驗(yàn)，都和Logistic曲線(xiàn)吻合。,Logistic模型描述種群增長(zhǎng) 高斯把5只草履蟲(chóng)放進(jìn)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，開(kāi)始時(shí)草履蟲(chóng)以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線(xiàn)：,The Logistic Model,where K is capacity. In General Situation:,Application of Logistic model model

3、ing population growth modeling of growth of tumors In chemistry: reaction models In physics: Fermi distribution In linguistics: language change Double logistic function,Malthus and Logistic模型,Malthus模型和Logistic模型。 前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)。 后一模型則引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。,Logistic 模型的應(yīng)用推廣,新產(chǎn)品的推廣模型,需求量上界K，銷(xiāo)售數(shù)量x(t)，未使用人數(shù)Kx(t)

4、. 統(tǒng)計(jì)籌算律,記比例系數(shù)為k，則x(t)滿(mǎn)足：,此方程Logistic模型，解為：,Logistic 模型示例,新技術(shù)的傳播和商業(yè)品牌的S形傳播 謠言或網(wǎng)絡(luò)信息的傳播-選舉應(yīng)用 計(jì)算機(jī)病毒或傳染病的擴(kuò)散模型 城市房地產(chǎn)價(jià)格的logistic曲線(xiàn) 細(xì)胞分泌胰蛋白酶原和污染濃度擴(kuò)散 公司財(cái)務(wù)危機(jī)的Logistic回歸模型 自治系統(tǒng)和非自治系統(tǒng),Predator-prey model,Predator-prey models are argubly the building blocks of the bio- and ecosystems as biomasses are grown out o

5、f their resource masses. Species compete, evolve and disperse simply for the purpose of seeking resources to sustain their struggle for their very existence. Depending on their specific settings of applications, they can take the forms of resource-consumer, plant-herbivore, parasite-host, tumor cell

6、s (virus)-immune system, susceptible-infectious interactions, etc. They deal with the general loss-win interactions and hence may have applications outside of ecosystems. When seemingly competitive interactions are carefully examined, they are often in fact some forms of predator-prey interaction in

7、 disguise.,Types of predators,Carnivores 食肉動(dòng)物 kill the prey during attack Herbivores 食草動(dòng)物 remove parts of many prey, rarely lethal. Parasites寄生生物 consume parts of one or few prey, rarely lethal. Parasitoids擬寄生類(lèi) kill one prey during prolonged attack.,Predator-prey Model,x = amount of prey, y = amount

8、 of predator dx/dt = xg(x) yp(x) dy/dt = y-s + cp(x) g(x) is a growth function, g(x), monotonic non-increasing, p(x) is predation function p(x), monotonic increasing,Lotka -Volterra Models,Simplest model of predator-prey = Lotka-Volterra Lotka and Volterra independently propose a pair of differentia

9、l equations that model the relationship between a single predator and a single prey in a given environment:,Variable and Parameter definitions x prey species population y predator species population r Intrinsic rate of prey population Increase a Predation coefficient b Reproduction rate per 1 prey e

10、aten c Predator mortality rate,Ratio-Dependent Predator-Prey Model,Parameter/Variable Definitions x prey population y predator population a capture rate of prey d natural death rate of predator b predator conversion rate,Prey growth term,Predation term,Predator death term,Predator growth term,兩種群競(jìng)爭(zhēng)模

11、型 - Lotka-Volterra模型應(yīng)用,競(jìng)爭(zhēng)結(jié)局有三種結(jié)果 （1） 種1勝而種2被排除； （2） 種2勝而種1被排除； （3） 兩種共存。,植物與食植動(dòng)物的食物鏈模型,其中：V為植物密度；H為食草動(dòng)物密度；,r1植物內(nèi)稟增長(zhǎng)率；K未放牧?xí)r植物最大密度；,d1在植被稀少時(shí)，動(dòng)物的牧食效率（尋覓效率）；,a當(dāng)草場(chǎng)被啃平時(shí)，動(dòng)物的下降率；,C1每頭食草動(dòng)物最大取食率；,C2當(dāng)草地高密度時(shí)對(duì)動(dòng)物下降狀況的改善率；,d2在植被變稀時(shí)的動(dòng)物繁殖能力；,意識(shí) 動(dòng)物 植物 地球 環(huán)境 社會(huì),Lotka-Volterra-正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn),戰(zhàn)爭(zhēng)建模的格式 正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)：正規(guī)部隊(duì)與正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn) 2) 游擊戰(zhàn)爭(zhēng)：游

12、擊隊(duì)與游擊隊(duì)作戰(zhàn) 3) 混合戰(zhàn)爭(zhēng)：正規(guī)部隊(duì)與游擊部隊(duì)作戰(zhàn),求微分方程的數(shù)值解,1, 常微分方程數(shù)值解的定義,2, 建立數(shù)值解法的一些途徑,3, 用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解,返 回,輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z),結(jié) 果 ： x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-

13、c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,解: 令 y1=x，y2=y1,1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3、結(jié)果如圖,To Matlab（ff4）,解 1、建立m-文件r

14、igid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、結(jié)果如圖,To Matlab（ff5）,圖中，y1的圖形為實(shí)線(xiàn)，y2的圖形為“*”線(xiàn)，y3的圖形為“+”線(xiàn).,返 回,地中海鯊魚(yú)問(wèn)題,魚(yú)類(lèi)種群相互制約關(guān)系，第一次世界大戰(zhàn)1914年1918年 ,地中海各港口幾

15、種魚(yú)類(lèi)捕獲量的資料，發(fā)現(xiàn)鯊魚(yú)等的比例有明顯增，而供其捕食的食用魚(yú)的百分比卻明顯下降.戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚(yú)量下降，食用魚(yú)增加，鯊魚(yú)等也隨之增加，但為何鯊魚(yú)的比例大幅增加呢？,意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra 建立一個(gè)食餌捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問(wèn)題.,模型反映了在沒(méi)有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約，沒(méi)有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型.,首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1

16、);,其次，建立主程序shark.m如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2),To Matlab(shark),求解結(jié)果：,左圖反映了x1（t）與x2（t）的關(guān)系。 可以猜測(cè)： x1（t）與x2（t）都是周期函數(shù)。,考慮人工捕獲,設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e，相當(dāng)于食餌的自然增長(zhǎng)率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為 r2+e,設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)e=0.3, 戰(zhàn)爭(zhēng)中降為e=0.1, 則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭(zhēng)中的模型分別為:,模型求解:,1、分別用m-文件shier1.m和shier2

17、.m定義上述兩個(gè)方程,2、建立主程序shark1.m, 求解兩個(gè)方程，并畫(huà)出兩種情況下鯊魚(yú)數(shù)在魚(yú)類(lèi)總數(shù)中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t),To Matlab(shark1),實(shí)線(xiàn)為戰(zhàn)前的鯊魚(yú)比例，“*”線(xiàn)為戰(zhàn)爭(zhēng)中的鯊魚(yú)比例,結(jié)論：戰(zhàn)爭(zhēng)中鯊魚(yú)的比例比戰(zhàn)前高！,種群生態(tài)學(xué) Creating Food Systems,3-Level system predator-prey Lotka-Volterra Ecosystem modeling with 3-level system that describes a planktonic marine ecosystem. Franks a

18、nd Chen coupled a Nutrient-Phytoplankton-Zooplankton (NPZ) model into a primitive equation model and applied it to examine the summertime plankton dynamics on GB. That was the first modeling effort to study the biological process under the “realistic” physical environment in the GoM/GB region.,2009

19、ICM China university of mining and technology,Improved Alga spices model,Spices of population 2,Spices of population 3,Model of 3-Populations,Analytical Hierarchy Process,Develop a commercial polyculture to remediate Bolinao,A commercial polyculture scheme,BIOGEOCHEMISTRY,BIODIVERSITY “Terra Incognita”,In understanding lies the road to prediction (e.g.: if we