離散型隨機變量的期望值和方差

1、12.2 離散型隨機變量的期望值和方差一、知識梳理1.期望：若離散型隨機變量，當(dāng)=xi的概率為P（=xi）=Pi（i=1，2，n，），則稱E=xi pi為的數(shù)學(xué)期望，反映了的平均值.期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.E由的分布列唯一確定.2.方差：稱D=（xiE）2pi為隨機變量的均方差，簡稱方差.叫標(biāo)準(zhǔn)差，反映了的離散程度.3.性質(zhì)：（1）E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D（a、b為常數(shù)）.（2）二項分布的期望與方差：若B（n，p），則E=np，D=npq（q=1p）.D表示對E的平均偏離程度，D越大表示平均偏離程度越大，說明的取值越分散.二、例題剖析【例1】 設(shè)是一

2、個離散型隨機變量，其分布列如下表，試求E、D.101P12qq2拓展提高既要會由分布列求E、D，也要會由E、D求分布列，進行逆向思維.如：若是離散型隨機變量，P（=x1）=，P（=x2）=，且x1x2，又知E=，D=.求的分布列.解：依題意只取2個值x1與x2，于是有E=x1+x2=，D=x12+x22E2=.從而得方程組【例2】 人壽保險中（某一年齡段），在一年的保險期內(nèi)，每個被保險人需交納保費a元，被保險人意外死亡則保險公司賠付3萬元，出現(xiàn)非意外死亡則賠付1萬元.經(jīng)統(tǒng)計此年齡段一年內(nèi)意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率為p2，則a需滿足什么條件，保險公司才可能盈利?【例3】 把4個球隨機

3、地投入4個盒子中去，設(shè)表示空盒子的個數(shù)，求E、D.特別提示求投球的方法數(shù)時，要把每個球看成不一樣的.=2時，此時有兩種情況：有2個空盒子，每個盒子投2個球；1個盒子投3個球，另1個盒子投1個球.【例4】 若隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p（0p1），用隨機變量表示A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù).（1）求方差D的最大值；（2）求的最大值.【例5】 袋中裝有一些大小相同的球，其中有號數(shù)為1的球1個，號數(shù)為2的球2個，號數(shù)為3的球3個，號數(shù)為n的球n個.從袋中任取一球，其號數(shù)作為隨機變量，求的概率分布和期望.【例6】（湖北卷）某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機

4、會，一旦某次考試通過，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.三、同步練習(xí) g3.1098 離散型隨機變量的期望值和方差1.設(shè)服從二項分布B（n，p）的隨機變量的期望和方差分別是2.4與1.44，則二項分布的參數(shù)n、p的值為BA.n=4，p=0.6B.n=6，p=0.4C.n=8，p=0.3D.n=24，p=0.12.一射手對靶射擊，直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，命中后的剩余子彈數(shù)

5、目的期望為CA.2.44B.3.376C.2.376D.2.43.設(shè)投擲1顆骰子的點數(shù)為，則BA.E=3.5，D=3.52B.E=3.5，D=C.E=3.5，D=3.5D.E=3.5，D=4.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是AA.E=0.1B.D=0.1C.P（=k）=0.01k0.9910kD.P（=k）=C0.99k0.0110k5.已知B（n，p），且E=7，D=6，則p等于AA.B.C.D.6.一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為，則D等于CA.0.2 B.0.8 C.0.196

6、D.0.8047.有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝重量分別為隨機變量1、2，已知E1=E2，D1D2，則自動包裝機_乙_的質(zhì)量較好.8.設(shè)一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)p=_時，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大，其最大值為_ 5_.9.甲從學(xué)校乘車回家，途中有3個交通崗，假設(shè)在各交通崗遇紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，則甲回家途中遇紅燈次數(shù)的期望為_1.2_.10.一次單元測試由50個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中恰有1個是正確答案.每題選擇正確得2分，不選或錯選得0分，滿分是100分.學(xué)生甲選對任一題的概率為0.8，求他在這次測試中成績的期望和標(biāo)準(zhǔn)差.11.袋中有4只

7、紅球，3只黑球，今從袋中隨機取出4只球.設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望.12.一臺設(shè)備由三大部件組成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中，各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10，0.20和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求的數(shù)學(xué)期望E和方差D.13.將數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱之為一個巧合，求巧合數(shù)的數(shù)學(xué)期望.14.（遼寧卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個等級.對每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級時，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品. （）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；（）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用、分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在（I）的條