相交線與平行線提高題

1、.【例題】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OMAB，且OM平分NOC若BOC=4NOB，求MON的度數(shù)【分析】遇到類似“BOC=4NOB”這樣條件，常設(shè)NOB=2x，BOC=8x（目的為了計(jì)算和書寫方便，也為了更好理解，是常法強(qiáng)烈建議），則有CON6x，再根據(jù)“垂直的定義、角平分線的定義”可得到MON=0.5CON=3x，BOM=MON+NOB=3x+2x=90，求出x的值，進(jìn)一步即可得MON的度數(shù)【解】設(shè)NOB=2x，BOC=8x，則CON=COBBON =8x2x=6x.OM平分CON，MON=0.5CON=3x，OMAB，AOM=90，BOM=MON+NOB=3x+2x=90， 解得x=

2、180，MON=3x=318=54，即MON的度數(shù)為54【點(diǎn)評】本題涉及到對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，熟練掌握對頂角相等、垂直的定義、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵，同時(shí)務(wù)必要注意解題規(guī)范，幾何書寫入門必須嚴(yán)格掌握【練習(xí)】如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)O，OB平分COE，OFAB于O，（1）若EOF=120，求AOD的度數(shù)；（2）若BOE=1/4EOF，求DOE的度數(shù)【解】（1）OFAB，BOF=90又EOF=120BOE=EOFBOF=30OB平分COEBOC=BOE=30AOD=BOCBOC=30；（2）設(shè)BOEx,則EOF=4xBOF=EOFBOE =4xx=3x.BOF=90，3x=90，解

3、得:x=30OB平分COE，COE=2BOE=2x=60DOE=180COE=120【例題】如圖，直線EF，CD相交于點(diǎn)O，OAOB，且OC平分AOF，(1)若AOE=40，求BOD的度數(shù)；(2)若AOE=，求BOD的度數(shù)(用含的式子表示)；(3)從(1)(2)的結(jié)果中能看出AOE和BOD有何關(guān)系？（1）AOE+AOF=180（鄰補(bǔ)角的定義），AOF=180AOE，1800400140；又OC平分AOF，F(xiàn)OC=0.5AOF=70，EOD=FOC=70（對頂角相等）；而BOE=AOBAOE=50，BOD=EODBOE=20；（2）AOE+AOF=180，（鄰補(bǔ)角的定義）AOF=180AOE=1

4、80；又OC平分AOF，F(xiàn)OC=0.5AOF=900.5，EOD=FOC=900.5（對頂角相等）；而BOE=AOBAOE=90，BOD=EODBOE=0.5；（3）從（1）（2）的結(jié)果中不難觀察出：AOE=2BOD【反思】利用對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì)，熟練掌握對頂角相等、垂直的定義、角平分線的定義是解題的關(guān)鍵，注意領(lǐng)會(huì)解題思路和解題過程和格式.幾何入門書寫必須嚴(yán)格規(guī)范.【練習(xí)】O為直線DA上一點(diǎn)，OBOF，EO是AOB的平分線（1）如圖（1），若AOB=130，求EOF的度數(shù)；（2）若AOB=，90180，求EOF的度數(shù)；（3）若AOB=，090，請?jiān)趫D（2）中畫出射線OF，使得（2）中E

5、OF的結(jié)果仍然成立【解答過程】（1）EO是AOB的平分線，AOB=130，AOE0.5AOB650.OBOF，BOF=90，AOF=AOBBOF=13090=40，EOF=AOEAOF=6540=25；（2）AOB=，90180， EO是AOB的平分線，AOE=0.5AOB0.5，BOF=90，AOF=90，EOF=AOEAOF =0.5（90）=9000.5；（3）如下圖示，AOB=，090，BOE=AOE=0.5，BOF=90，EOF=BOFBOE =9000.5【試題】如圖，ABCD，AE平分BAD，CD與AE相交于F，CFE=E求證：ADBC【分析】可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)

6、得到滿足關(guān)于ADBC的條件：內(nèi)錯(cuò)角2和E相等.證明：AE平分BAD， 1=2， ABCD， 1=CFE CFE=E， 2=E， ADBC【點(diǎn)評】本題是角平分線的性質(zhì)以及平行線的判定定理的綜合運(yùn)用【拓展】如圖，ABCD，AE平分BAD，CD與AE相交于F，CEF=F求證：ADBC【分析】可利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得到滿足關(guān)于ADBC的條件：內(nèi)錯(cuò)角2和E相等.證明：AE平分BAD， 1=2， ABCD， 1=CFE CEF=F， 2=E， ADBC【反思】注意體會(huì)拓展與原題(試題內(nèi)容和解答過程)的區(qū)別與聯(lián)系，再結(jié)合圖形思考，展開想象，探尋動(dòng)與靜的規(guī)律與聯(lián)系.【例題】已知：如圖，點(diǎn)B在直線

7、AC上，BE和AD交于F點(diǎn)，A=ADE，C=E（1）若EDC=3C，求C的度數(shù)（2）求證：BECD（1）A=ADE， ACDE， EDC+C=180，又EDC=3C，4C=180，即C=45；（2）ACDE，E=ABE，又C=E，C=ABE，BECD【反思】 (1)要能回答出上面每一步推理的根據(jù)，特別要注意邏輯順序. (2)本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及判定的運(yùn)用，解題時(shí)應(yīng)注意判定與性質(zhì)的區(qū)別，不可用錯(cuò)【拓展】已知：如圖，點(diǎn)B在直線AC上，BE和AD交于F點(diǎn)，A=ADE，DCB=DEB（1）若DCB =3EDC，求DCB的度數(shù)（2）求證：BECD【例題】如圖，D、E在ABC的邊AB上，F(xiàn)點(diǎn)在邊

8、BC上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【拓展1】如圖，D、E在ABC的邊AB所在的直線上，F(xiàn)點(diǎn)在邊BC所在直線上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【拓展2】如圖，D、E在ABC的邊AB所在的直線上，F(xiàn)點(diǎn)在邊BC所在直線上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【拓展3】如圖，D、E在ABC的邊AB所在的直線上，F(xiàn)點(diǎn)在邊BC所在直線上，已知AGD=ACB，1=2求證：CDEF【例題】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知A=F，C=D，求證BDCE【拓展1】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知A=AFD，C=D，求證BDC

9、E【拓展2】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知CAF=F，C=D，求證BDCE【拓展2】如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，D、E、F也在同一直線上，已知CAF=AFD，C=D，求證BDCE【例題】如圖，直線ab， ACBC，2=55，求1的度數(shù)【分析】1與2均不是“三線八角”的角，因此通過ab，想方設(shè)法構(gòu)造“三線八角”，建立1、2及ACB之間的聯(lián)系，從而求出2的度數(shù).法一：如下圖示，法二：（圖解）如下圖示，【反思與拓展】【拓展1】如圖，直線ab， ACBC，2=55，求1的度數(shù)（不可用“三角形內(nèi)角和定理”）【拓展2】如圖，直線ab， ACBC，2=55，求1的度數(shù)

10、8.【例題】已知，如圖，DEAC于E，AGF=ABC，1+2=180，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由理由：AGF=ABC， BCGF 1=3； 又1+2=180， 2+3=180， BFDE； AFBAED DEAC， AED90 AFB90 BFAC【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并正確運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是正確答題的關(guān)鍵解題時(shí)要注意幾何語言書寫格式與過程，同時(shí)要注意思路與正確解答之間的關(guān)系.【拓展1】已知，如圖，DEAC于E，AGF=ABC，12，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由【拓展2】已知，如圖，DEAC于E，AGF

11、=ABC，12，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由【拓展3】已知，如圖，DEAC于E，AGF=ABC，BDEBFC，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由【例題】如圖，CDAB，DCB=70，CBF=20，EFB=130，（1）問直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；（2）若CEF=70，求ACB的度數(shù)【拓展1】如圖，CDAB，DCB=30，CBF=20，EFB=130，（1）問直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；（2）若CEF=110，求ACB的度數(shù)【拓展2】如圖，CDAB，DCB=80，CBF=20，EFB=80，（1）問直線EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并加以證明；（2）

12、若CEF=70，求ACB的度數(shù)【試題】如圖，已知1+2=180，B=3，求證：DEBC【拓展1】如圖，已知12，DBF=DEF，求證：DEBC【拓展2】如圖，已知12，4+DEF1800，求證：DEBC【例題】如圖，ABCD，ABE=70，DCE=144，求BEC的度數(shù)【分析】圖中雖有ABCD，但無法直接得到“三線八角”，因此必須添加“輔助線”，將已知和所求的角進(jìn)行聯(lián)系，想方設(shè)法構(gòu)造出“三線八角”的基本圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行轉(zhuǎn)化.方法有多種：分別說明如下：法一：過E點(diǎn)往右側(cè)作EFCD，如下圖示：法二：過E點(diǎn)往左側(cè)作EFCD，如下圖示：法三：過B點(diǎn)作BFCD，交DC的延長線于F，如

13、下圖示：法四：過C點(diǎn)作CFBE交AB的延長線于F，如下圖示：【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，利用已有的平行線，再構(gòu)造“三線八角”是解題的關(guān)鍵，當(dāng)然如果學(xué)了三角形（或多邊形）的內(nèi)角和，則解法就更多了：只要能得到“三線八角”均可得解【拓展1】如圖，ABCD，ABE=70，DCE=54，求BEC的度數(shù)【拓展2】如圖，ABCD，ABE=35，DCE=110，求BEC的度數(shù)【拓展3】如圖，ABCD，ABE=40，DCE=20，求BEC的度數(shù)【試題】已知ABCD，ABE與CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F（1）如圖1，若E=80，求BFD的度數(shù)（2）如圖2中，ABM=1/3ABF，CDM=1/3C

14、DF，寫出M與E之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論（3）若ABM=1/nABF，CDM=1/nCDF，設(shè)E=m，直接用含有n，m的代數(shù)式表示寫出M=【解析】（1）首先先求出ABE+CDE的度數(shù)，方法均有4種，下面僅提供一種解法：如下圖示，過E點(diǎn)作EGCD，因ABCD，所以ABEGCD，得到ABE+21800，CDE+11800，從而ABE+(1+2)+ CDE3600，而BED1+2800，所以ABE+CDE2800.再求3+4的度數(shù)，因BF和DF分別平分ABE和CDE，所以有3+40.5ABE+0.5CDE0.5（ABE+CDE）1400. 類似上述思路，可求得BFD5+63+41400.如下圖示

15、：（2）如下圖示：類似前面分析，可得到：ABE+CDE3600E，ABF+CDF0.5ABE+0.5CDE0.5（ABE+CDE） 18000.5E，進(jìn)一步，得到：3+41/3ABF+1/3CDF 1/3(ABF+CDF) 1/3（18000.5E） 6001/6E.得到BMD7+86001/6E.即6BMD+E3600.（3）與（2）題類似，如下圖示：類似前面分析，可得到：ABE+CDE3600E，ABF+CDF0.5ABE+0.5CDE0.5（ABE+CDE） 18000.5E，進(jìn)一步，得到：3+41/nABF+1/nCDF 1/n(ABF+CDF) 1/n（18000.5m0） 1800

16、/nm0/(2n).得到BMD7+8 1800/nm0/(2n).即BMD+E(3600m0)/(2n).【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于“如何構(gòu)造”三線八角“【拓展】已知ABCD，ABE與CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F若ABM=1/nABF，CDM=1/nCDF，設(shè)E=m，直接用含有n，m的代數(shù)式表示，寫出M=【提示】解法類似，m0/(2n).【試題】已知：如圖，直線ab，直線c與直線a、b分別相交于C、D兩點(diǎn)，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合）（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有：CPD=PCA+PDB，請說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CPD、PCA、PDB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CPD、PCA、PDB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需直接給出結(jié)論）？【圖文解析】 前面已有文章分析，此類問題均有4種解法，其各種情況的