SARS傳播的數(shù)學(xué)模型

1、SARS傳播的數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)教師：杜鴻飛參賽人員：趙 千 蘇學(xué)淵 宋運(yùn)吉SARS傳播的數(shù)學(xué)模型摘要本文分析了題目所提供的早期SARS傳播模型的合理性與實(shí)用性，認(rèn)為該模型可以預(yù)測(cè)疫情發(fā)展的大致趨勢(shì)，但是存在一定的不足.第一，混淆了累計(jì)患病人數(shù)與累計(jì)確診人數(shù)的概念；第二，借助其他地區(qū)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，后期預(yù)測(cè)結(jié)果不夠準(zhǔn)確；第三，模型的參數(shù)L、K的設(shè)定缺乏依據(jù)，具有一定的主觀性.針對(duì)早期模型的不足，在系統(tǒng)分析了SARS的傳播機(jī)理后，把SARS的傳播過程劃分為：征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個(gè)階段.將每個(gè)階段影響SARS傳播的因素參數(shù)化，在傳染病SIR模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到SARS傳播模型.采用離散化的方

2、法對(duì)本模型求數(shù)值解得到：北京SARS疫情的預(yù)測(cè)持續(xù)時(shí)間為106天，預(yù)測(cè)SARS患者累計(jì)2514人，與實(shí)際情況比較吻合.應(yīng)用SARS傳播模型，對(duì)隔離時(shí)間及隔離措施強(qiáng)度的效果進(jìn)行分析，得出結(jié)論：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效減少累計(jì)患病人數(shù)；“嚴(yán)格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時(shí)間.在建立模型的過程中發(fā)現(xiàn)，需要認(rèn)清SARS傳播機(jī)理，獲得真實(shí)有效的數(shù)據(jù).而題目所提供的累計(jì)確診人數(shù)并不等于同期累計(jì)患病人數(shù)，這給模型的建立帶來不小的困難.本文分析了海外來京旅游人數(shù)受SARS的影響，建立時(shí)間序列半?yún)?shù)回歸模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)，估算出SARS會(huì)對(duì)北京入境旅游業(yè)造成23.22億元人民幣損失，并預(yù)計(jì)北京海外旅游人數(shù)在10月以前能

3、恢復(fù)正常.最后給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫了一篇短文，介紹了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.1問題的重述SARS（嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥，俗稱：非典型肺炎）的爆發(fā)和蔓延使我們認(rèn)識(shí)到，定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件，具有很高的重要性.現(xiàn)需要做以下工作：（1） 對(duì)題目提供的一個(gè)早期模型，評(píng)價(jià)其合理性和實(shí)用性.（2） 建立自己的模型，說明優(yōu)于早期模型的原因；說明怎樣才能建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠信息的模型，并指出這樣做的困難；評(píng)價(jià)衛(wèi)生部門采取的措施，如：提前和延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，估計(jì)對(duì)疫情傳播的影響.（3） 根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)SARS對(duì)

4、社會(huì)經(jīng)濟(jì)的影響.（4） 給當(dāng)?shù)貓?bào)刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.2早期模型的分析與評(píng)價(jià)題目要求建立SARS的傳播模型，整個(gè)工作的關(guān)鍵是建立真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型.如何結(jié)合可靠、足夠這兩個(gè)要求評(píng)價(jià)一個(gè)模型的合理性和實(shí)用性，首先需要明確：合理性定義 要求模型的建立有根據(jù)，預(yù)測(cè)結(jié)果切合實(shí)際. 實(shí)用性定義 要求模型能全面模擬真實(shí)情況，以量化指標(biāo)指導(dǎo)實(shí)際.所以合理的模型能為預(yù)防和控制提供可靠的信息；實(shí)用的模型能為預(yù)防和控制提供足夠的信息.2.1早期模型簡(jiǎn)述早期模型是一個(gè)SARS疫情分析及疫情走勢(shì)預(yù)測(cè)的模型，該模型假定初始時(shí)刻的病例數(shù)為，平均每病人每天可

5、傳染K個(gè)人（K一般為小數(shù)），K代表某種社會(huì)環(huán)境下一個(gè)病人傳染他人的平均概率，與全社會(huì)的警覺程度、政府和公眾采取的各種措施有關(guān).整個(gè)模型的K值從開始到高峰期間保持不變，高峰期后 10天的范圍內(nèi)K值逐步被調(diào)整到比較小的值，然后又保持不變.平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為L(zhǎng)天.整個(gè)模型的L一直被定為20.則在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長(zhǎng)隨時(shí)間t(單位天)的關(guān)系是：考慮傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長(zhǎng)速度會(huì)放慢.采用半模擬循環(huán)計(jì)算的辦法，把到達(dá)L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉.2.2早期模型合理性評(píng)價(jià)根據(jù)早期模型對(duì)北京疫情的分析與預(yù)測(cè)，其先將北京的病例起點(diǎn)定在3月1日，經(jīng)過大約5

6、9天在4月29日左右達(dá)到高峰，然后通過擬合起點(diǎn)和4月20日以后的數(shù)據(jù)定出高峰期以前的K=0.13913.高峰期后的K值按香港情況變化，即10天范圍內(nèi)K值逐步被調(diào)整到0.0273.L恒為20.由此畫出北京3月1日至5月7日疫情發(fā)展趨勢(shì)擬合圖像以及5月7日以后的疫情發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)圖像，如圖1. 圖1 早期模型計(jì)算值與實(shí)際值對(duì)比圖從圖1可以看出，從 4月20日至5月7日模型計(jì)算值與同期實(shí)際值的擬合程度比較好，但5月7日后模型計(jì)算值（即預(yù)測(cè)值）隨著日期的增長(zhǎng)逐漸偏離實(shí)際值.為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述分析，對(duì)模型計(jì)算值曲線和實(shí)際值進(jìn)行殘差分析，記表示第i天實(shí)際累計(jì)病例，表示第i天計(jì)算累計(jì)病例.計(jì)算其中，用作為的估

7、計(jì)：做出標(biāo)準(zhǔn)化殘差的分布圖，如圖2：圖2 早期模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布圖可以很明顯地看出，在后期，殘差圖上出現(xiàn)明顯的單減規(guī)律性，預(yù)測(cè)值高于實(shí)際值，說明預(yù)測(cè)值確實(shí)逐漸偏離實(shí)際值.通過以上分析得合理性評(píng)價(jià)：1從預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度上有失合理性，雖然早期模型在擬合前期疫情時(shí)擬合程度較好，但對(duì)后期情況的預(yù)測(cè)出現(xiàn)較大偏差.2盡管預(yù)測(cè)準(zhǔn)確程度不高，但是該模型確實(shí)預(yù)測(cè)出了整個(gè)疫情的發(fā)展趨勢(shì).從這一點(diǎn)上看，該模型還是切合實(shí)際的.3該模型選用公布數(shù)據(jù)直接擬合，從而預(yù)測(cè)后期疫情發(fā)展趨勢(shì)，這有悖于模型本身的含義.因?yàn)槟Ｐ椭械膶?shí)際代表的是時(shí)刻全社會(huì)的累計(jì)SARS患者，而公布數(shù)據(jù)僅為同期的累計(jì)確診SARS患者，顯然前者是大于或等于后

8、者的.如果把公布數(shù)據(jù)當(dāng)成實(shí)際數(shù)據(jù)處理，這必然導(dǎo)致模型解出現(xiàn)偏差，且解的實(shí)際意義不明確.對(duì)于這一點(diǎn)，我們將在建立自己的模型時(shí)重點(diǎn)關(guān)注！2.3早期模型實(shí)用性評(píng)價(jià)模型的實(shí)用性關(guān)注的是模型能否真實(shí)全面的模擬真實(shí)情況，從而用模型指導(dǎo)實(shí)際.這里主要抓住早期模型的參數(shù)設(shè)置情況進(jìn)行實(shí)用性評(píng)價(jià)：1該模型簡(jiǎn)單地以高峰期作為分析的臨界點(diǎn)，這似乎對(duì)SARS發(fā)展的階段沒有了解透徹.同時(shí)，模型沒有提出高峰期的確定方法，整個(gè)模型的建立必須有實(shí)際高峰期附近數(shù)據(jù)的支撐.如果僅有疫情爆發(fā)初期的數(shù)據(jù)，該模型就無法預(yù)測(cè)出疫情中后期發(fā)展的趨勢(shì)，模型的實(shí)際應(yīng)用范圍受到限制.2參數(shù)K代表某種社會(huì)環(huán)境下一個(gè)病人每天傳染他人的人數(shù)，與全社會(huì)的

9、警覺程度、政府和公眾采取的各種措施有關(guān).在初期，該模型將K固定在一個(gè)比較高的定值，在疫情高峰期過后，在10天內(nèi)逐步調(diào)整K值到比較小，然后保持不變.但模型并沒有給出K值的具體算法，只是不斷地進(jìn)行人工調(diào)整，具有一定的主觀性.同時(shí)沿用了香港疫情分析中的數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)北京的情況，可見該模型未對(duì)北京的實(shí)際情況進(jìn)行充分的考慮.3參數(shù)L代表平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，在此期限后失去傳染作用，可能的原因是被嚴(yán)格隔離、病愈不再傳染和死去等等.該模型把L的值固定為20，而實(shí)際的L應(yīng)該隨疫情發(fā)展趨勢(shì)變化而變化，固定L勢(shì)必使模型只能片面模擬真實(shí)情況.綜上，早期模型的一部分分析脫離了實(shí)際，而且在整個(gè)模型

10、的建立和求解中人工干預(yù)過多，實(shí)際應(yīng)用范圍受到了限制，實(shí)用性不強(qiáng).3 SARS傳播過程的分析由于早期模型缺少對(duì)SARS傳播過程的系統(tǒng)分析，所以，要建立真正能預(yù)測(cè)病情發(fā)展的模型，應(yīng)該首先對(duì)整個(gè)傳播過程有一個(gè)全面而詳盡的分析.SARS的傳播大致經(jīng)歷了4個(gè)過程，相關(guān)描述可按照Kink于1986年提出的危機(jī)“四階段說”.第一階段是征兆期.在SARS傳播初期，由于SARS感染者需要經(jīng)歷一定時(shí)間才表現(xiàn)出臨床癥狀，所以在病毒實(shí)際上已經(jīng)廣泛傳播的情況下，政府和公眾并未引起注意.在這個(gè)時(shí)期，攜帶病毒的傳播源沒受到控制，平均傳播期長(zhǎng)，但整個(gè)社會(huì)的發(fā)病率還較低.第二階段是迅速爆發(fā)期和蔓延期.當(dāng)公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加時(shí)

11、，恐慌情緒增加，政府隨即采取多種措施，但由于對(duì)病毒傳播的特點(diǎn)不清楚，并未收到預(yù)期效果.在這個(gè)時(shí)期，傳播源的平均傳播期依然較長(zhǎng)，整個(gè)社會(huì)的發(fā)病率突然猛增.第三個(gè)階段是高峰期.當(dāng)高強(qiáng)度的措施實(shí)施后，病毒擴(kuò)散速度實(shí)際已經(jīng)被控制，發(fā)病人數(shù)保持穩(wěn)定，處在一個(gè)高平臺(tái)階段.在這個(gè)時(shí)期，有效隔離措施的產(chǎn)生，大大縮短了平均傳染期，但由于病患基數(shù)較大，社會(huì)發(fā)病率依然很高.第四個(gè)階段是衰退期和有效控制期.在高平臺(tái)現(xiàn)象一段時(shí)間以后，控制措施的作用開始顯現(xiàn)，患病人數(shù)開始下降，進(jìn)入控制時(shí)期.在這個(gè)時(shí)期，平均感染期最短，社會(huì)發(fā)病率低.疫情進(jìn)入了4個(gè)階段的最后時(shí)期.有了以上的分析，建立的模型就應(yīng)該體現(xiàn)4個(gè)不同時(shí)期下疫情的發(fā)展

12、過程，并能夠在此基礎(chǔ)上準(zhǔn)確預(yù)測(cè)疫情變化情況，提出切實(shí)可行的控制措施.考慮在經(jīng)典傳染病SIR模型基礎(chǔ)上，通過機(jī)理分析，加入合理的實(shí)際因素，建立適合SARS的分段微分方程模型，稱為SARS傳播的SIR改進(jìn)模型.4 SARS傳播的SIR改進(jìn)模型4.1模型的假設(shè)1 SARS的持續(xù)期不太長(zhǎng)，可以忽略在SARS持續(xù)期內(nèi)的城市人口的自然出生率和自然死亡率.2 被SARS感染后經(jīng)治療康復(fù)的人群在SARS流行期不會(huì)被再次感染.3 病人被嚴(yán)格隔離、治愈或者死亡后，不再有感染作用.4 不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)城市范圍內(nèi)研究SARS疫情的發(fā)展過程.4.2模型的符號(hào)定義:易感類人群占城市人口總數(shù)的比例.:傳染類人群

13、占城市人口總數(shù)的比例.:排除類人群占城市人口總數(shù)的比例.:SARS患者的就診率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率.：平均傳染期.4.3傳播機(jī)理分析 針對(duì)早期模型的不足，需要在模型的合理性和實(shí)用性方面進(jìn)行改進(jìn).考慮在經(jīng)典傳染病模型SIR的基礎(chǔ)上，通過機(jī)理分析，用實(shí)際因素來描述SARS的傳播過程.為了簡(jiǎn)化模型，這里不考慮人口的流動(dòng)帶來的影響，僅僅在一個(gè)封閉城市中研究SARS的傳播機(jī)理.那么，整個(gè)社會(huì)人群可以分為3類：S類：稱為易感類，該類成員沒有染上傳染病，但缺乏免疫能力，可以被染上傳染病.I類：稱為傳染類，該類成員已經(jīng)染上傳染病，而且可以傳染給S類成員.R類：稱為排除類或恢復(fù)類，R類成員或者是

14、I類成員被嚴(yán)格隔離、治愈，或者死亡等.I類成員轉(zhuǎn)化為R類后，立刻失去傳染能力.S(t)、I(t)、R(t)分別表示t時(shí)刻上述3類成員占城市人口總數(shù)的比例.對(duì)于傳播過程有3條基本假設(shè)：人口總數(shù)為常數(shù)N，N足夠大，可以把變量S(t)、I(t)、R(t)視為連續(xù)變量，還可進(jìn)一步假定為連續(xù)可微變量.：人群中3類成員均勻分布，傳播方式為接觸性傳播.單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率為，則一個(gè)傳播者在單位時(shí)間內(nèi)與S類成員的接觸率為，因此，單位時(shí)間內(nèi)I類成員與S類成員的接觸總數(shù)為，這就是單位時(shí)間內(nèi)I類成員增加的數(shù)量，稱為發(fā)病率，它是S(t)和I(t)的雙線性函數(shù).：傳播者的被控制數(shù)正比于傳染者的數(shù)量，比例系

15、數(shù)為，稱為被控制率，則平均傳染期為.為一個(gè)傳染者在其傳播期內(nèi)與其他成員的接觸總數(shù)，稱為接觸數(shù).那么SARS的傳播流程如圖3：圖3 SARS傳播流程圖在這個(gè)模型中，排除類就是已確診SARS患者累計(jì)數(shù)，而是全社會(huì)累計(jì)SARS患者數(shù)，包括已確診的和未被發(fā)現(xiàn)的兩部分.4.4模型的建立有了以上的機(jī)理分析，建立起針對(duì)SARS的改進(jìn)SIR模型：該模型中參數(shù)和在疫情發(fā)展的各個(gè)階段受實(shí)際因素影響，會(huì)有比較明顯的變化，現(xiàn)分析如下：1參數(shù)表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率，其與全社會(huì)的警覺程度和政府、公眾采取的各種措施有關(guān)，例如，佩戴口罩，減少停留在公共場(chǎng)所的時(shí)間，噴灑消毒藥劑，提高隔離強(qiáng)度等都能有效地降低接觸

16、率的值.一般認(rèn)為，的數(shù)值隨著SARS發(fā)展的4個(gè)階段不斷變化.在SARS初期，由于潛伏期的存在和社會(huì)對(duì)SARS病毒傳播的速度認(rèn)識(shí)不足，政府和公眾并未引起重視，故維持在一個(gè)較高的數(shù)值；進(jìn)入爆發(fā)期后，公眾發(fā)現(xiàn)感染者不斷增加，恐慌情緒增加，隨即采取多種措施，使得到一定的控制，但效果不明顯，此處假設(shè)呈線性形式緩慢衰減；在高峰期，當(dāng)高強(qiáng)度的控制措施實(shí)施后，病毒傳播的有效接觸率明顯減少，可以認(rèn)為按天數(shù)呈指數(shù)形式衰減；此后進(jìn)入衰減期，就維持在一個(gè)較低值附近.2參數(shù)表示傳播者的被控制率.稱為平均傳染期，表示一個(gè)傳播者在被隔離或者死亡之前具有傳播能力的平均時(shí)間.一般認(rèn)為，SARS患者經(jīng)過傳染期L過后，將隔離治療或

17、者死亡，從I類成員變?yōu)镽類，失去傳播能力.L與政府采取的措施密切相關(guān)，例如，盡量早地發(fā)現(xiàn)病患，對(duì)疑似病例提前進(jìn)行隔離，“早發(fā)現(xiàn)，早隔離” ；提供更廣范圍的醫(yī)療手段，使更多的人接受有效的治療等，都可以有效地降低平均傳染期L的長(zhǎng)度.因此這里將L直接抽象為每一時(shí)期SARS患者的就診率的函數(shù).平均傳染期L應(yīng)隨的變化而變化.但是在初期，由于政府對(duì)SARS的認(rèn)識(shí)不足，并沒有采取有效控制措施， L的變化很小可以近似看作定值，這里我們?nèi)ARS病毒最長(zhǎng)潛伏期（約19天）為這個(gè)定值；在爆發(fā)期，有效控制措施的逐步加強(qiáng)，使SARS患者的就診率逐漸增加，而平均傳染期L會(huì)逐漸減小并趨于一個(gè)定值，這里我們將SARS病毒平

18、均潛伏期（約7天）定為L(zhǎng)的最小值；在此后的高峰期以及衰減期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值會(huì)維持在7天左右.4.5針對(duì)北京疫情求解模型首先采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法，確定參數(shù)和，并證明模型有唯一解.1確定和的關(guān)系令，方程組中得：在病情剛開始時(shí)，由于是單調(diào)減少的，且最終趨近于0，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少趨近于0；當(dāng)時(shí)，先單調(diào)增加達(dá)到最大值，然后單調(diào)減少趨近于0.容易知道，當(dāng)時(shí)，才滿足SARS的傳播規(guī)律，所以參數(shù)和的取值必須滿足這個(gè)條件.2證明模型有唯一解在初值條件下解微分方程組：得到關(guān)系式：令，由1得因?yàn)椋粤顒t ，當(dāng)時(shí)，由于在范圍內(nèi)有根，因而在內(nèi)有根.當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，因而在內(nèi)也有根.注意到當(dāng)時(shí)，

19、故在內(nèi)有唯一根.所以，在內(nèi)有唯一解.3劃分SARS傳播的4個(gè)階段由于SARS的傳播經(jīng)歷了4個(gè)階段，所以，要以具體的指標(biāo)劃分這4個(gè)階段.因?yàn)樵?個(gè)階段中，日發(fā)病率是一個(gè)區(qū)分每個(gè)階段特點(diǎn)的關(guān)鍵特征，所以以日發(fā)病率作為劃分的指標(biāo).從第一個(gè)患者出現(xiàn)日開始：征兆期：日發(fā)病率在10（人/天）以下.北京疫情期的前40天.爆發(fā)期：從日發(fā)病率10（人/天）到日發(fā)病率最大，即時(shí).北京疫情期的第40天到第74天.高峰期：從日發(fā)病率最大到患者數(shù)量最大，即時(shí).北京疫情期的第74天到第79天.衰退期：患者數(shù)量最大點(diǎn)以后.北京疫情期第79天以后.4確定和根據(jù)北京最終SARS患者總數(shù)2521人以及北京人口總數(shù)（約人），得，所

20、以.因?yàn)槠骄鶄魅酒?，而是SARS患者就診率的函數(shù)，且，所以，這里設(shè)計(jì)L函數(shù)為：由政府的控制措施決定，它的變化反映了政府控制措施的力度.根據(jù)實(shí)際情況，推導(dǎo)出： 而接觸率與全社會(huì)的警覺程度和公眾采取的各種措施有關(guān)，根據(jù)實(shí)際情況確定為： 確定出所有的參數(shù)后，做出北京各時(shí)期累計(jì)全社會(huì)SARS患者數(shù)和各時(shí)期累計(jì)確診SARS患者數(shù)預(yù)測(cè)圖（圖4）以及北京市預(yù)測(cè)確診SARS患者累計(jì)和實(shí)際確診SARS患者累計(jì)對(duì)比圖（圖5）.同時(shí)得到：北京SARS疫情的預(yù)測(cè)持續(xù)時(shí)間為106天，預(yù)測(cè)SARS患者累計(jì)2514人.(計(jì)算程序見附件1：SIR模型程序)圖4 北京市預(yù)測(cè)非典病人累計(jì)總數(shù)和預(yù)測(cè)非典病人確診病例累計(jì)對(duì)比圖圖5

21、北京市預(yù)測(cè)確診病例累計(jì)和實(shí)際確診病例累計(jì)對(duì)比圖5改進(jìn)SIR模型的分析與評(píng)價(jià)5.1合理性評(píng)價(jià)從圖5可以看出，本模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度非常高，完全克服了早期模型對(duì)后期數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)不準(zhǔn)的缺陷.做出標(biāo)準(zhǔn)化殘差分析圖，如圖6：圖6 改進(jìn)SIR模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布圖（實(shí)際值預(yù)測(cè)值）可以看出，殘差分布比較均勻，殘差平方和為2.0361，低于初期模型的5.510.通過以上分析得出結(jié)論：改進(jìn)SIR模型不僅在預(yù)測(cè)前期病情的時(shí)候非常準(zhǔn)確，而且在預(yù)測(cè)后期病情的時(shí)候也沒有出現(xiàn)明顯偏差，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值非常吻合.該模型能對(duì)整個(gè)病情的發(fā)展做出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，這是該模型優(yōu)于早期模型的方面之一.5.2實(shí)用性評(píng)價(jià) 對(duì)比早期模型實(shí)用性方面的不足

22、，對(duì)改進(jìn)SIR模型分析如下：1早期模型在沒有對(duì)SARS的傳播過程進(jìn)行系統(tǒng)分析的情況下就簡(jiǎn)單地以高峰期作為分析的臨界點(diǎn)，同時(shí)，模型并沒有提出高峰期的確定方法，模型的實(shí)際應(yīng)用范圍受到限制.而改進(jìn)SIR模型在分析SARS傳播過程的前提下，依據(jù)日發(fā)病率把整個(gè)傳播過程細(xì)分為征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個(gè)階段，并且考慮了每個(gè)階段影響SARS傳播的實(shí)際因素，能夠更好地反映實(shí)際因素對(duì)SARS傳播的影響.2早期模型預(yù)測(cè)的僅僅是已確診累計(jì)SARS患者數(shù)，不包括未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)，這樣的做法不能對(duì)防治工作提供真正有用的數(shù)據(jù).而改進(jìn)SIR模型不僅能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)已確診累計(jì)病例，而且能夠預(yù)測(cè)未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)，可以對(duì)防治

23、工作提供更有用的數(shù)據(jù).3早期模型用參數(shù)K代表一個(gè)病人每天傳染他人的人數(shù).模型沒有給出K值的具體算法，只是不斷地進(jìn)行人工調(diào)整，同時(shí)沿用了香港疫情分析中的數(shù)據(jù)來預(yù)測(cè)北京的情況，未對(duì)北京的實(shí)際情況進(jìn)行充分的考慮.而改進(jìn)SIR模型用參數(shù)表示單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)傳染者與他人的接觸率，并且考慮了4個(gè)階段內(nèi)的變化情況，給出了的函數(shù)表達(dá)式.4早期模型用參數(shù)L代表平均每個(gè)病人在被發(fā)現(xiàn)前后可以造成直接傳染的期限，并且把L的值固定在20天，就造成了后期預(yù)測(cè)值明顯偏離實(shí)際值的結(jié)果.而改進(jìn)SIR模型中建立了L的分段函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)各個(gè)階段的具體影響因素控制L的大小.這樣，在后期的預(yù)測(cè)上，也與實(shí)際值相當(dāng)吻合.綜上，改進(jìn)SIR模

24、型彌補(bǔ)了早期模型的不足，實(shí)際應(yīng)用范圍得到擴(kuò)大，實(shí)用性強(qiáng).5.3建立可靠、優(yōu)良模型的困難要建立一個(gè)真正能夠預(yù)測(cè)以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型，存在著許多的困難，還有許多努力的方向.1缺乏詳盡的，反映SARS疫情的實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以及數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的模型參數(shù)的具體取值.本文的模型計(jì)算與分析研究，主要依據(jù)關(guān)于北京市的SARS疫情通告的數(shù)據(jù).這些數(shù)據(jù)不包括未被發(fā)現(xiàn)的患者人數(shù)的統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)的形式不能滿足模型求解的要求.2需要與流行病學(xué)家密切合作，更加合理地設(shè)計(jì)模型結(jié)構(gòu)與調(diào)整參數(shù)，以及估計(jì)并設(shè)定比較符合實(shí)際的參數(shù)取值，從而完善模型以及模擬結(jié)果.3需要研究SARS在不同自然條件和社會(huì)條件下的差異性，總

25、結(jié)SARS傳播與控制的典型地域性模式.6分析具體措施對(duì)SARS傳播的影響在SARS傳播的實(shí)際過程中，有關(guān)部門采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔離開始的時(shí)間和隔離的強(qiáng)度是兩個(gè)比較關(guān)鍵的因素，究竟這些因素對(duì)疫情傳播能造成怎樣的影響，現(xiàn)分析如下.改變隔離開始的時(shí)間通過對(duì)L調(diào)整實(shí)現(xiàn)，減小L的數(shù)值就提前了隔離時(shí)間；而改變隔離的強(qiáng)度通過對(duì)調(diào)整實(shí)現(xiàn)，減小的數(shù)值就提高了隔離的強(qiáng)度.以北京的隔離強(qiáng)度為100%，分別在100%和80%強(qiáng)度下用改進(jìn)SIR模型預(yù)測(cè)不同控制措施下累計(jì)病例總數(shù)（人）和疫情持續(xù)總時(shí)間（天）.結(jié)果如表1：開始時(shí)間隔離強(qiáng)度提前5天延后5天提前20天隔離強(qiáng)度100%1458人/90天41

26、70人/112天304人/69天隔離強(qiáng)度 80%2057人/167天5807人/205天446天/125天表1 不同控制措施下的結(jié)果分析表1，得出結(jié)論：1在相同隔離強(qiáng)度下，發(fā)現(xiàn)隔離開始的時(shí)間越早，累計(jì)病例總數(shù)就越小.2在相同隔離開始時(shí)間下，隔離強(qiáng)度越大，疫情持續(xù)的時(shí)間就越短.3綜上，累計(jì)病例總數(shù)的大小主要由隔離開始時(shí)間的早晚決定；疫情持續(xù)時(shí)間的長(zhǎng)短主要由隔離強(qiáng)度的大小決定.所以，有關(guān)部門采取的措施確實(shí)對(duì)疫情的控制起到了很大的作用：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效減少累計(jì)病例總數(shù)；“嚴(yán)格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時(shí)間.7SARS對(duì)旅游業(yè)的影響SARS的流行會(huì)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)帶來一定的影響.現(xiàn)在題目提供了北京市接

27、待海外旅游人數(shù)的數(shù)據(jù)，要求根據(jù)這些數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)SARS對(duì)北京市的旅游業(yè)所產(chǎn)生的影響.7.1預(yù)測(cè)正常情況下2003年的旅游人數(shù)旅游業(yè)隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，會(huì)有一個(gè)逐年提高的趨勢(shì).如果沒有SARS的流行，那么，海外旅游人數(shù)會(huì)以一定的規(guī)律保持增長(zhǎng)的趨勢(shì).現(xiàn)在需要預(yù)測(cè)正常情況下2003年的旅游人數(shù)，采用季節(jié)性時(shí)間序列的半?yún)?shù)回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè). 一般的半?yún)?shù)回歸模型是指： 其中為隨機(jī)向量或設(shè)計(jì)點(diǎn)列，T 的支撐集為有界閉集，為的未知參數(shù)向量，是定義于一有界閉集上的未知函數(shù), E為隨機(jī)誤差,(未知),且與相互獨(dú)立.對(duì)季節(jié)性時(shí)間序列資料，其中為年份長(zhǎng)度,為季節(jié)長(zhǎng)度.根據(jù)時(shí)間序列資料的加法原理有如下半?yún)?shù)回歸模型其

28、中b 為模型參數(shù), 主要反應(yīng)時(shí)間序列在年度上的增長(zhǎng)趨勢(shì).為未知函數(shù), 主要反應(yīng)時(shí)間序列在季節(jié)上的效應(yīng),且相互獨(dú)立.顯然模型中不應(yīng)包含常數(shù)項(xiàng),因?yàn)槌?shù)項(xiàng)可包含在季節(jié)效應(yīng)中.在對(duì)旅游人數(shù)的估計(jì)時(shí)，因?yàn)椴捎昧?9972002年的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，所以年份長(zhǎng)度，而季節(jié)上的效應(yīng)實(shí)際上就是每個(gè)月的效應(yīng)，季節(jié)長(zhǎng)度.參數(shù)估計(jì)如下：1把b 看為已知時(shí)的最小二乘估計(jì)為使最小的解，即 其中，即為所有數(shù)據(jù)在季節(jié)點(diǎn)j上的均數(shù).顯然也是的一個(gè)臨近估計(jì).2將（5）代入（4）后b的最小二乘估計(jì)為使最小的解.作變換則在小樣本條件下，誤差的總體方差估計(jì)為將北京海外旅游人數(shù)19972002年的數(shù)據(jù)代入式（5）、（6）、（7），得到

29、：根據(jù)這些參數(shù)，預(yù)測(cè)正常情況下2003年的旅游人數(shù)(計(jì)算程序見附件2：時(shí)間序列程序)，結(jié)果如表2（單位：萬人）：月份123456789101112人數(shù)15.417.125.330.030.829.228.933.933.634.431.025.3表2 正常情況下2003旅游人數(shù)預(yù)測(cè)1997-2003年旅游人數(shù)的變化如圖7所示：圖7 1997-2003年旅游人數(shù)的變化7.2季節(jié)性時(shí)間序列半?yún)?shù)模型的檢驗(yàn)我們利用時(shí)間序列模型對(duì)19972002年的旅游人數(shù)進(jìn)行擬合，再與實(shí)際值對(duì)照，畫出殘差圖（圖8）：圖8 19972002年各月旅游人數(shù)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖中，標(biāo)準(zhǔn)化殘差隨機(jī)均勻分布在x軸周圍，說明時(shí)

30、間序列模型對(duì)1997-2002年旅游人數(shù)的擬合程度比較高,能夠?qū)?003年各個(gè)月份的旅游人數(shù)做出比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè).7.3預(yù)測(cè)2003年實(shí)際旅游人數(shù) 實(shí)際旅游人數(shù)受到SARS的影響，從3月開始下降，在5月達(dá)到最低點(diǎn)后開始回升.做出實(shí)際旅游人數(shù)占預(yù)測(cè)旅游人數(shù)的百分比圖，如圖9：圖9 實(shí)際旅游人數(shù)占預(yù)測(cè)旅游人數(shù)的百分比圖對(duì)5月以后旅游人數(shù)的回升用對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合：根據(jù)這個(gè)函數(shù)預(yù)測(cè)出2003年實(shí)際旅游人數(shù)，如表3（單位：萬人）：月份123456789101112人數(shù)15.417.123.511.61.782.618.816.231.134.431.025.3表3 2003年實(shí)際旅游人數(shù)預(yù)測(cè)旅游人數(shù)在9月

31、1日時(shí)回復(fù)到正常水平的92.6%，在9月4日左右恢復(fù)正常水平.2003年的旅游總?cè)藬?shù)比預(yù)期減少116.11萬人.若平均每位旅游者花銷2000元人民幣，則累計(jì)經(jīng)濟(jì)損失達(dá)到23.22億元人民幣，比預(yù)計(jì)經(jīng)濟(jì)收入減少了34.67%.可以看出，SARS對(duì)旅游業(yè)的影響還是比較大的，使整個(gè)旅游業(yè)收入減少了3成左右.8模型的改進(jìn)方向本文在傳染病SIR模型的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到了SARS傳播模型.模型能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出累計(jì)病例數(shù)，還能隔離時(shí)間及隔離措施強(qiáng)度的效果進(jìn)行分析，具有很好的合理性和實(shí)用性.但本模型還有一些可以完善的地方：1本模型不考慮人口的流動(dòng)，僅僅在一個(gè)城市范圍內(nèi)研究SARS的傳播機(jī)理.可以增加參數(shù)表示

32、第i個(gè)城市向第j個(gè)城市的人口流動(dòng)率，定量地研究相鄰的N個(gè)城市之間人口的流動(dòng).這樣，就需要有關(guān)方面提供城市間人口流動(dòng)數(shù)據(jù)來確定參數(shù).2對(duì)SARS最新研究表明，該病毒對(duì)小孩的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于成年人.因此，可以將模型中改變?yōu)?分別表示t時(shí)刻時(shí)易感類、傳染類、恢復(fù)類按年齡分布的密度函數(shù).這樣，模型就能研究不同年齡層次的病情發(fā)展情況.9寫給報(bào)刊的短文小小“抗非典英雄”2003年初，春意昂然，萬物復(fù)蘇.沒有人預(yù)料到，在一片安靜祥和之中，一場(chǎng)災(zāi)難卻悄悄地籠罩在人類社會(huì)的上空.不起眼的咳嗽、發(fā)燒，竟然導(dǎo)致了大范圍的快速傳播，甚至引起死亡，專家們似乎都對(duì)這個(gè)叫做“非典”的病魔束手無策.一時(shí)間，人心惶惶，謠言四起，大

33、家都到了“談非典色變”的地步.但是，我們豈會(huì)輕易服輸?在這個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻，科研工作者聚到一起，運(yùn)用科學(xué)這一有力的武器，向“非典”病魔做出有力的反擊.在黨中央和國(guó)務(wù)院的領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民齊心協(xié)力，同舟共濟(jì).終于，在科學(xué)和團(tuán)結(jié)面前，囂張一時(shí)的“非典”病魔低下了頭.春回大地，舉國(guó)歡慶.親愛的讀者朋友，你是否知道，在這場(chǎng)“非典”攻堅(jiān)戰(zhàn)中，一個(gè)叫做“傳染病數(shù)學(xué)模型”的工具，發(fā)揮了不可磨滅的作用嗎？讓我來介紹一下這位小小“抗非典英雄”吧.傳染病數(shù)學(xué)模型，是科技工作者分析了這次非典爆發(fā)的部分?jǐn)?shù)據(jù)后，建立的一種研究病情傳播規(guī)律的工具.這些模型使我們能夠?qū)σ咔榈陌l(fā)展情況做出預(yù)測(cè)，并估計(jì)疫情發(fā)展所處的階段.首先，傳染病

34、模型揭示了非典傳播的規(guī)律，預(yù)測(cè)了病情發(fā)展的趨勢(shì).在那個(gè)謠言四起的時(shí)期，數(shù)學(xué)模型肯定地告訴我們，非典是可以戰(zhàn)勝的.這顆定心丸的出現(xiàn)，克服了人們的恐懼心理，維持了社會(huì)的安定.其次，通過對(duì)模型的分析，我們發(fā)現(xiàn)，在病情蔓延時(shí)期，對(duì)傳播源及早的發(fā)現(xiàn)、嚴(yán)格隔離，對(duì)整個(gè)病情發(fā)展的控制起到了至關(guān)重要的作用.于是，我們提出了“早發(fā)現(xiàn)，早隔離” ，“加大控制力度”這些措施.事實(shí)證明，這是行之有效的.數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)際工作的指導(dǎo)意義也就顯現(xiàn)出來.數(shù)學(xué)模型還能預(yù)測(cè)出“非典”對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響，估計(jì)經(jīng)濟(jì)的恢復(fù)速度.看，名不見經(jīng)傳的傳染病數(shù)學(xué)模型，竟然有如此重要的作用,讓大家刮目相看了吧.相信隨著研究的繼續(xù)深入，這位小英雄還會(huì)發(fā)揮

35、出它更大的本領(lǐng).10參考書目1壽紀(jì)麟，數(shù)學(xué)建模方法與范例， 2003年9月23日2胡鞍鋼，正確認(rèn)識(shí)SARS危機(jī)，民主與科學(xué)，第3期：第58頁(yè)，20033王文昌等，季節(jié)性時(shí)間序列資料預(yù)測(cè)的半?yún)?shù)回歸模型，中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，14卷第6期：第46頁(yè)，1997附件附件1：SIR模型程序function f=sorS(1)=;I(1)=1;R(1)=0;na=0.126;F=19;L=19;JU=19;M(1)=1;for i=2:74 %初期與爆發(fā)期 if i=40&i=40 na=na-0.01/35; %爆發(fā)期緩慢減少 end S(i)=S(i-1)-na*S(i-1)*I(i-1)/; %求解S，I，R if iL+2 R(i)=S(i-L-2)-S(i-L-1); else R(i)=0; end if i=51 F=F-0.5;L=fix(F); if F=L R(i)=S(i-L-3)-S(i-L-1); end end I(i)=I(i-1)+na*S(i-1)*I(i-1)/-R(i); t=log(abs(-S(i)/log(10); o(i)=abs(-S(i);p=log(o(i)-o(i-1)/log(10); plot(i+JU-