《概率論復習與補充》PPT課件.ppt

1、第一章 概率論復習與補充,概率空間 隨機變量及其分布 隨機變量的函數(shù)及其分布 隨機變量的數(shù)字特征 大數(shù)定律與中心極限定理 特征函數(shù),1.1 概率空間,一、樣本空間與事件域,基本事件 ：,設 是一個隨機試驗,的每一個不能再分或無需再分的可 能結果,樣本空間 ：,全體基本事件所組成的集合,定義1：,設 是樣本空間， 是由 的一些子集為 元素所組成的集合，如果滿足下列條件,(1),(2),(3),則稱 為事件域， 中的元素稱為事件， 稱為 必然事件,二、概率的定義與性質(zhì),定義2：,設 是隨機試驗的基本空間， 為隨機事件， 為定義在事件域 上的實函數(shù)，若 滿足,（1）有界性：,（2）正則性或規(guī)范性：,

2、（3）可列可加性：,對可列多個事件 , 如,果 ，則有,則稱函數(shù) 為事件 的概率。,0,1,概率空間：,概率的性質(zhì)：,有限可加性,加法公式的推廣,三、條件概率與事件的獨立性,1. 條件概率,定義3：,設A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且,則,稱為在事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條 件概率，簡稱為B在A之下的條件概率。,三個重要的公式,兩個事件的乘法公式,（一）乘法公式,多個事件的乘法公式,則有,（二）全概率公式,設隨機事件,滿足：,（三）Bayes公式,設隨機事件,滿足,則,返回主目錄,2.事件的獨立性,1. 兩事件獨立的定義,設 A、B 是兩個隨機事件，如果,則稱 A 與 B 是相互獨立的

3、隨機事件,兩事件獨立性的性質(zhì)：,則事件A 與 B 相互獨立的,返回主目錄,充分必要條件為：,1）如果,2）必然事件 與任意隨機事件A相互獨立； 不可能事件與任意隨機事件A相互獨立,3) 若隨機事件 A 與 B 相互獨立，則,也相互獨立.,注意: 兩事件相互獨立與互不相容的區(qū)別： “A與B互不相容”，指兩事件不能同時發(fā)生，即 P（AB）=0。 “A與B相互獨立”，指A是否發(fā)生不影響B(tài) 發(fā)生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或,2. n個事件的相互獨立性,返回主目錄,獨立隨機事件的性質(zhì)：,1.2 隨機變量及其分布,一、一維隨機變量的分布,定義1：,設 是一個概率空間，而 是定義在基本空間 上的

4、單值實函數(shù)，若對任一實數(shù) ,基本事件 的集合 都是一隨機事件, 即 ，則稱 為一個隨機變量。,1.分布函數(shù)及其性質(zhì)：,定義2：,設 是一個隨機變量， 是任意實數(shù)，,稱為 的分布函數(shù),返回主目錄,函數(shù),分 布 函 數(shù) 的 性 質(zhì),1. 是一個不減的函數(shù) ,2.,3.,這三條性質(zhì)不但是分布函數(shù)的必要條件,還可以證明， 它們一起構成函數(shù) 成為某一隨機變量的分布函數(shù) 的充要條件。,2.離散型隨機變量及其分布列,若隨機變量的所有可能取的值是有限多個或可列多 個,則稱該隨機變量為離散型隨機變量, 它的概率分布 規(guī)律通常用分布列表示.,設離散型隨機變量 的所有可能取值為 并且,分布列的性質(zhì)為:,分布函數(shù)為,

5、3.連續(xù)型隨機變量的概念與性質(zhì),如果對于隨機變量X 的分布函數(shù) ，存在 非負實函數(shù) ，使得對于任意 實數(shù) ， 有,則稱 X 為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù) 稱為X 的概率密度函數(shù),簡稱密度函數(shù).,連續(xù)型隨機變量 X 由其密度函數(shù)唯一確定,定義3:,密度函數(shù)的性質(zhì):,4. 一些常用的概率分布,離散型,連續(xù)型:,二、多維隨機變量及其分布,1. n維隨機變量及其分布,設 都是定義在同一概率空間 上的n個隨機變量,把 看成一個整體, 稱為一個n維隨機變量(隨機向量),記為,定義4:,設 是n維隨機變量, 是 任意n個實數(shù),則n元函數(shù),稱為 的n維聯(lián)合分布函數(shù).,定義5:,若 的n維聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為,

6、其中 是非負可積函數(shù),則稱 為n維連續(xù)型隨機變量, 稱為n維聯(lián)合 概率密度函數(shù).,2.二維分布函數(shù)及其性質(zhì),定義6:,性質(zhì):,單調(diào)性：F(x , y )是變量x,y的不減函數(shù)，即 當 x1 x2時， 當 y1 y2時，,（1）,（2）,對于任意固定的 Y , 對于任意固定的 X ,且,有界性：,（3）右連續(xù)性：,對每個變量都是右連續(xù)的，即,（4）,非負性：,這四個條件一起構成二元函數(shù) 為二維隨機變量的分布函數(shù)的充分必要條件。,3.二維概率函數(shù)及其性質(zhì),性質(zhì):,定義7:,對于二維隨機變量 ( X,Y ) 的分布函數(shù) 如果存在非負實函數(shù) 使得對于任意的實數(shù) 有：,則稱 ( X,Y ) 是連續(xù)型的二

7、維隨機變量，函數(shù) 稱為二維隨機變量 ( X,Y )的概率密度，或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度。,40 設 G 是平面上的一個區(qū)域，點 ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：,返回主目錄,性質(zhì):,4.邊緣分布,若 是二維隨機變量 的分布函數(shù)，,分別稱為 關于 的邊緣分布函數(shù)。,（1）離散型,設 為二維離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為,則,分別稱為二維離散型隨機變量 關于 的邊 緣分布律。,（2）連續(xù)型,設 為二維連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合密度函數(shù)為,則,分別稱為二維連續(xù)型隨機變量 關于 的邊緣分布律。,注：聯(lián)合分布唯一的確定邊緣分布，但邊緣分布一般 不能確定聯(lián)合分布。,5.隨機變量的獨立性,定義8：,

8、設 是二維隨機變量，若對任意實數(shù) 有,則稱隨機變量 相互獨立，簡稱獨立。,若 是二維離散型隨機變量，則 相互獨,立的充分必要條件為,若 是二維連續(xù)型隨機變量，則 相互獨,立的充分必要條件為,定義9：,設 是n維隨機變量，若對任意實數(shù) 有,則稱隨機變量 相互獨立,對于定義在同一概率空間上的隨機變量序列,如果其中任何有限個隨機變量都是獨立的，則稱,這個隨機變量序列獨立。,注：,若 獨立，則其中任意m個隨機變量 也獨立。,6.條件分布,定義10：,設 是二維離散型隨機變量，對固定 ，若 ，則稱,為在條件 下 的條件分布律，稱,為在條件 下 的條件分布函數(shù)，記為,定義11：,設 是二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概,率密度 ，且,則稱,為在條件 下 的條件分布函數(shù)，記為,稱,為在條件 下 的條件密度函數(shù)。,1.3 隨機變量的函數(shù)及其分布,一、一維隨機變量的函數(shù)及其分布,1.離散型,2.連續(xù)型,(1),則 Y =g(X ) 是一個連續(xù)型隨機變量 ，其概率密度為,其中 h(y) 是 g(x) 的反函數(shù)， 即,(2),若 是分段嚴格單調(diào)、可導函數(shù)，即存在有 限個或可列個區(qū)間,使得在 上 單調(diào)增或減， 且將此,區(qū)間內(nèi)函數(shù) 的反函數(shù)記為,相應,其