函數(shù)的極值,最大值與最小值

1、第四節(jié) 函數(shù)的極值和最大、最小值,一、函數(shù)的極值及其求法,二、最大值最小值問題,一、函數(shù)的極值,定義 設函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義, 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有,極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.,(1) 成立, 則稱 為 f(x)的,極大值, 稱 為f(x)的極大值點；,(2) 成立, 則稱 為f(x)的,極小值, 稱 為f(x)的極小值點；,1. 極值的定義,注意:,為極大點,為極小點,不是極值點,2) 對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為 0 或不存在的點上.,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,2. 極值存在的必要條件,定理1 設函數(shù)f(x)在

2、點x0處可導, 且在x0處取得極值, 那么f (x0)0.,證明:,以f(x0)是極大值來證明.,因為f(x0)是極大值, 故在x0的某鄰域內(nèi),對任意的 都有,所以,當 時,所以,當 時,所以,使導數(shù)f (x)為零的點(方程f (x)0的實根)稱為函數(shù)f(x)的駐點.,思考: 極值點是否一定是駐點? 駐點是否一定是極值點?,3. 極值的判別法,定理2 (第一充分條件) 設函數(shù)y=f(x)在點x0連續(xù), 且在x0的某鄰域內(nèi)可導(點x0可除外). 如果在該鄰域內(nèi),如果f(x)在x0的兩側(cè)保持相同符號, 則x0不是f(x)的極值點.,因此可知x0為f(x)的極大值點.,同理可說明情形(2).,說明:

3、,對于情形(1)，由判別定理可知,當 時, f(x)單調(diào)增加,當 時, f(x)單調(diào)減少,的符號, 依定理判定xi 是否為f(x)的,判定函數(shù)極值一般步驟,(3) 判定每個駐點和導數(shù)不存在的點,兩側(cè)(在xi 較小的鄰域內(nèi)),極值點.,可知x=0為y的極小值點, 極小值為0.,例1.,所給的函數(shù)定義域為,解:,非極值,極小0,+,0,+,0,例2.,(1) f(x)在( )內(nèi)連續(xù) 除x1外處,解:,(3) 列表判斷,x1為不可導點,得駐點x1,(2) 令f (x)0,可導 且,定理3 (第二充分條件) 設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù), 且,則,證: (1),存在x0的某鄰域, 使,由判別法

4、1知,同理證(2).,說明: 當二階導數(shù)易求, 且駐點x0處的二階導數(shù) 時, 利用判定極值的第二充分條件判定駐點 是否為極值點比較方便.,但當 f (x0)0時 只能用方法1判斷.,例3. 求函數(shù)f(x)(x21)31的極值,解:,f (x)6x(x21)2,令f (x)0,求得駐點x11 x20 x31,f (x)6(x21)(5x21),因為f (0)60,所以f (x)在x0處取得極,小值 極小值為f(0)0,無法用定理3-8判別,在1的左右鄰域內(nèi)f (x)0,所以f(x)在1處沒有極值,同理, f(x)在1處也沒極值,因為f (1)f (1)0,二、最大值最小值問題,怎樣求函數(shù)的最大值

5、和最小值?,觀察與思考： 觀察下面的函數(shù)在哪些點有可能成為最大值或最小值點?,其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最小者,極值與最值的關(guān)系:,閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得.,函數(shù)在閉區(qū)間a b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最大者;,最大值和最小值的求法: (1)求出函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)的駐點和不可導點 設這些點為x1 x2 xn; (2)計算函數(shù)值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;,(3)判斷: 最大者是函數(shù)f(x)在a b上的最大值 最小者是函數(shù)f(x)在a b上的最小值,例4

6、. 求,在,上的最大值與最小值.,解:,令,得駐點,因為,所以,例5. 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km A點到火車站B的距離為100km 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD 已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5 為使火車站B與工廠C間的運費最省 問D點應選在何處？,解:,x,設ADx(km),y5kCD3kDB (k是某個正數(shù)),B與C間的運費為y 則,DB=100 x,其中以y|x15380k為最小,因此當AD15km時 運費最省,由于y|x0400k y|x15380k,解: 設觀察者與墻的距離為x(m),則,令,得駐點,根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在, 駐點,又唯一,因此他站在距墻 2.4 m 處看圖最清楚 .,例6. 一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上, 它的底邊高于觀察者的眼睛1.8 m, 問觀察者在距墻多遠處看圖才最清楚(視角 最大) ?,特殊情況下的最大值與最小值: 若 f(x)在一區(qū)間(有限或無限 開或閉)內(nèi)可導且有且只有一個駐點x0 則： 當f(x0)是極大值時 f(x0)就是f(x