概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)湘潭大學(xué)版答案

1、.,1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題,湘潭大學(xué)編教材,.,2,第一章 隨機(jī)事件及概率,.,3,P23習(xí)題1.3 試證,證明：由概率的加法公式得任意的兩個(gè)事件A,B有,故有,.,4,P23習(xí)題1.7 在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地抽取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率。,解：用x,y分別表示從(0,1)中取出的2個(gè)數(shù)，,則樣本空間為正方形：,如圖所示，K為區(qū)域：,K,所以由幾何概率得:,x+y=6/5,.,5,解：設(shè)A=第一次取得紅球，B=第二次取得紅球,P23習(xí)題1.9 袋中有10個(gè)球，其中8個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩次，每次一球，作不放回抽樣，求下列事件的概率： (1) 兩次都取紅球； (2)

2、 兩次中一次取得紅球，另一次取得白球； (3) 至少一次取得白球； (4) 第二次取得白球。,.,6,解 (1) P(AB)=P(A)P(B|A),.,7,解：設(shè)A=甲譯出密碼,B =乙譯出密碼,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4,則A,B,C相互獨(dú)立，且,C=丙譯出密碼.,則此密碼被譯出的概率為,P23習(xí)題1.10 甲、乙、丙三人獨(dú)立地翻譯一個(gè)密碼，他們譯出的概率分別是1/5，1/3，1/4，試求此密碼被譯出的概率。,.,8,P23習(xí)題1.11 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0，1，2只殘次品的概率相應(yīng)為0.8，0.1和0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)時(shí)，售

3、貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則購買下該箱玻璃杯,否則退回，求： (1) 顧客買下該箱的概率； (2) 在顧客買下的一箱中，確實(shí)沒有殘次品的概率。,.,9,解 (1)設(shè)Ai一箱玻璃杯中含有i個(gè)殘次品,i=0,1,2;,B=從一箱玻璃杯中任取4只無殘次品,由題設(shè)可知,P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.,根據(jù)全概率公式得,.,10,P23習(xí)題1.12 設(shè)8支槍中有3支未經(jīng)試射校正， 5支已經(jīng)試射校正，一射手用校正的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.8，而用未校正過的槍射擊時(shí)，中靶概率為0.3，現(xiàn)假定從8支槍中任取一支進(jìn)行射擊，結(jié)果中靶，求所用的槍是已校正過的

4、概率。,.,11,解 設(shè)A經(jīng)過校正的槍,C=射擊中靶,由題設(shè)可知,P(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.,根據(jù)全概率公式得,B未經(jīng)校正的槍,.,12,P23習(xí)題1.13 對飛機(jī)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊, 第1次射擊的命中率為0.4、第2次為0.5、第3次為0.7. 飛機(jī)被擊中1次而墜落的概率為0.2,被擊中2次而墜落的概率為0.6, 若被擊中3次飛機(jī)必墜落,求射擊3次使飛機(jī)墜落的概率.,設(shè)B=飛機(jī)墜落，Ai=飛機(jī)被擊中i次, i=1,2,3,由全概率公式,則 B=A1B+A2B+A3B,解:,依題意，,P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6,

5、P(B|A3)=1,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3),.,13,可求得:,為求P(Ai ) ,將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:,設(shè) Hi=飛機(jī)被第i次射擊擊中, i=1,2,3,P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,.,14,于是,=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飛機(jī)墜落的概率為0.458.,P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3),.,15,P24習(xí)題1.14 某人每次射擊的命中率為0.6，獨(dú)立射擊5次，求： （1）擊中3次的概

6、率； （2）至少有1次未擊中的概率.,解:（1),(2) 考慮至少有1次未擊中的對立事件，,即每次都擊中，其概率為：,故至少有1次未擊中的概率為,.,16,P24習(xí)題1.15 某車間有12臺車床，由于工藝上的原因，時(shí)常發(fā)生故障，設(shè)每臺車床在任一時(shí)刻出故障的概率為0.3，且各臺車床的工作是相互獨(dú)立的，計(jì)算在任一指定時(shí)刻有3臺以上車床發(fā)生故障的概率.,解：設(shè)A=任一指定時(shí)刻有3臺以上車床發(fā)生故障,又因?yàn)?.,17,有0臺車床發(fā)生故障的概率為,有1臺車床發(fā)生故障的概率為,有2臺車床發(fā)生故障的概率為,故,.,18,P24習(xí)題1.16 若1人負(fù)責(zé)維修同類型的設(shè)備20臺，設(shè)各臺設(shè)備的工作是相互獨(dú)立的，在一

7、天內(nèi)發(fā)生故障的概率都是0.01，維修用不了多長時(shí)間，求設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理的概率，若3人共同負(fù)責(zé)維修80臺呢？,.,19,解: (1) 設(shè)A=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,故,.,20,解: (2) 設(shè)A=設(shè)備發(fā)生故障而不能得到及時(shí)處理,故,.,21,第二章 隨機(jī)變量及其分布,.,22,P43習(xí)題2.3 一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口，每個(gè)信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號顯示的概率為1/2。以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)，求X的概率分布與E1/(1+X)。,.,23,解: X的取值為0,1, 2, 3,PX=0=1/2,X的

8、概率分布為,(2) E1/(X+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8,=67/96,PX=1=1/21/2=1/4,PX=2=1/21/21/2=1/8,PX=3=1/21/21/2=1/8,.,24,P44習(xí)題2.8 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為,求:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度f(x),解:(1)F(x)在x=1點(diǎn)連續(xù),由右連續(xù)性得:,即:,所以,A=1,(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=,0.72-0.32=0.4,PX=1=F(1)F(10)= 1A =0,.,25,0， x0 2x， 0 x1 0， 1x,即:,

9、.,26,P44習(xí)題2.12 設(shè) r.v XU(2 ,5).現(xiàn)對 X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。,解:由題意得:,記A=X3,則P(A)=PX3=,2/3,設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測中A出現(xiàn)的次數(shù),則YB(3,2/3),.,27,所求為,PY=2+PY=3,=20/27,設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測中A出現(xiàn)的次數(shù),則YB(3,2/3),PY2=,.,28,內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長度成正比.,P44習(xí)題2.17 設(shè)隨機(jī)變量X的絕對值不大于1 ；,在事件-1X1出現(xiàn)的條件下， X在(-1,1),試求:,(2) X取負(fù)值的概率P,(1)X的分布函數(shù)F(x),解 (1),(

10、2),.,29,F(x)的三性質(zhì)都不滿足,單調(diào)減,右不連續(xù),未定義,.,30,分布函數(shù)F(x)三性質(zhì),.,31,解,由題設(shè)知,設(shè),于是,(1) 當(dāng),當(dāng),當(dāng),上式中令 得,推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作.,.,32,又,于是當(dāng) 時(shí)，,.,33,(2),.,34,由題設(shè) 得,附 k 的另一求法,.,35,P45習(xí)題2.18 設(shè)XB(2,0.3),求下列隨機(jī)變量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2-2X 3、Y3=3X-X2,解：X的概率分布為PX=k= 0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：,.,36,則有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分別為,.,37,P45習(xí)題2.19 設(shè)隨機(jī)變量X的概率

11、密度函數(shù)為,求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度函數(shù)。,解：先求Y的分布函數(shù)FY(y)=PY y=PX2 y,當(dāng)y0時(shí)， Y y為不可能事件，,此時(shí)FY(y)=0.,當(dāng)y0時(shí)，,FY(y)= PX2 y=,.,38,所以Y的概率密度函數(shù)為,當(dāng)y0時(shí)，,FY(y)= PX2 y=,.,39,第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,.,40,P72習(xí)題3.2 將一枚均勻的硬幣拋擲4次, X表示正面向上的次數(shù), Y表示反面朝上次數(shù), 求(X,Y)的概率分布.,解:X的所有可能取值為0,1,2,3,4, Y的所有可能取值為0,1,2,3,4, 因?yàn)閄+Y=4,所以(X,Y)概率非零的數(shù)值對為:,.,41,X Y 0 4

12、 1 3 2 2 3 1 4 0,PX=0,Y=4=,PX=2,Y=2=,=1/4,=6/16,PX=3,Y=1=,=1/4,PX=4,Y=0= 0.54=1/16,PX=1,Y=3=,0.54=1/16,.,42,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,聯(lián)合概率分布表為:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,.,43,P73習(xí)題3.8 已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布,X1 -1 0 1,P 1/4 1/2 1/4,X2 0 1,P 1/2 1/2,而且PX1X2=0=1.,(1) 求X1和X2

13、的聯(lián)合分布；,(2) 問X1和X2是否獨(dú)立？為什么？,.,44,Pi. 1/4 1/2 1/4,P.j 1/2 1/2,解 (1) 因?yàn)镻X1X2=0=1，,所以PX1X20=0，,即PX1=-1，X2=1=0，,PX1=1，X2=1=0，,0,0,聯(lián)合概率分布表如右圖,PX1=0，X2=1=1/2，,PX1=0，X2=0=0，,1/2,PX1=-1，X2=0=1/4，,0,PX1=1，X2=0=1/4，,1/4,1/4,1,.,45,(2) X1和X2不獨(dú)立。,因?yàn)?所以,PX1=0=1/2，,PX1=0，X2=1=1/2,PX2=1=1/2，,PX1=0，X2=1 ,PX1=0PX2=1=

14、1/4,.,46,P73習(xí)題3.10 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為, 求隨機(jī)變量X的密度函數(shù)； 求概率PX+Y1.,解:(1) 當(dāng)x0時(shí), fX(x)=0;,所以,y=x,當(dāng)x0時(shí),.,47,P73習(xí)題3.10 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為, 求隨機(jī)變量X的密度函數(shù)； 求概率PX+Y1.,解:(2),y=x,x+y=1,1/2,.,48,P73習(xí)題3.13 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,求Z=X2+Y2的概率密度。,.,49,解,.,50,P73習(xí)題3.16 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,求： (1) P(XY); (2) 邊緣概率密度；,.,51,解(1),.,52,解(2)

15、,同理可得,.,53,解(3),因?yàn)?所以,.,54,注：習(xí)題3.16可以推廣到如下一般形式,設(shè)X、Y為相互獨(dú)立同分布的連續(xù)型隨機(jī)變量,證明:,證:,設(shè)X的分布函數(shù)為F(x), 概率密度為f(x).,由題設(shè),可設(shè)Y的分布函數(shù)為F(y),概率密度為f(y),則,則(X,Y)的聯(lián)合概率密度為:,f(x,y)=f(x)f(y).,故,.,55,.,56,P74習(xí)題3.17 設(shè)X和Y是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知X的分布律為,PX=i=1/3, i=1,2,3.,又設(shè),試寫出變量,的分布律及邊緣分布并求,.,57,Pi. 1/9 1/3 5/9,P.j 5/9 1/3 1/9,解 因?yàn)?

16、0,聯(lián)合概率分布表如下圖,1/9,2/9,1/9,1,0,0,1/9,2/9,2/9,所以,i=1,2,3.,其他同理可得，具體略,.,58,P74習(xí)題3.18 設(shè)X關(guān)于Y的條件概率密度為,求,而Y的概率密度為,.,59,解 因?yàn)?所以,所以X的概率密度為,則,.,60,P73習(xí)題3.20 假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為0的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作。試求電路正常工作的時(shí)間T的概率分布。,解：三個(gè)元件都無故障工作時(shí)間分別為X,Y,Z,則,T=min(X,Y,Z),且X,Y,Z的概率密度都為,.,61,

17、則,故T服從參數(shù)為30的指數(shù)分布,即概率密度為,.,62,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,.,63,解：,P89習(xí)題4.1 甲乙兩隊(duì)比賽，若有一隊(duì)先勝四場，則比賽結(jié)束。假定甲隊(duì)在每場比賽中獲勝的概率為0.6，乙隊(duì)為0.4，求比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望。,(場),.,64,求,解,P90習(xí)題4.6 已知,X的密度函數(shù)為,則,.,65,P91習(xí)題4.12 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且,解：,求,.,66,P91習(xí)題4.14 設(shè)在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(噸)，它在2000,4000上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。,.,67,下面求EZ，并求使EZ達(dá)到最大的y值，,解：設(shè)y為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個(gè)數(shù)量可只介于2000與4000之間，用Z表示國家的收益（萬元）,.,68,即組織3500噸此種商品是最佳的決策。,.,69,補(bǔ)充習(xí)題 設(shè)工廠生產(chǎn)的設(shè)備的壽命X（單位：年）的概率密度為,按規(guī)定，已出售設(shè)備在一年內(nèi)損壞可以包換.若工廠售出一臺設(shè)備盈利100元，調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費(fèi)300元. 求一臺設(shè)備的平均壽命 求廠方售出一臺設(shè)備凈贏利的期望值.,.,70,解: 一臺設(shè)備的平均壽命為EX=4年, 廠