考研數(shù)學經(jīng)典題目

1、考研數(shù)學經(jīng)典題目l 故s1?1,?2,3,x1?1,y1?1,z1?1?切線方程為?或s2?1,?21111,x2?,y2?,z2?切線方程為333927222x?313?y?219?z?1127。 題b：求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0確定的隱函數(shù)z?z(x,y)的極值。 解：本題考查了多元函數(shù)的兩個知識點：隱函數(shù)的偏導數(shù)求法和多元函數(shù)極值的判別方法（具體的大家可以查閱下書本） 根據(jù)極值的判別法則, 先求隱函數(shù)的駐點。將方程兩邊分別對x, y求導，則有 ?8xz?z?0 4x?2zz?8z?8xz?z?0， 4y?2zz?yyyxxx?解得，z?x令 ?4x?8z2z?8x?1?，

2、 z?y?4y2z?8x?1 ?0 ?y?0,x?2z，代入所給方程，得z1?z?0，z?yx87，z2?1 從而得駐點：(167,0)和(?2,0) 再求z對x, y的二階偏導數(shù)： ?2zz?8z?8z?8xz?z?0 4?2z?xxxxxxxxxz?2zz?8z?8xz?z?0 2z?yxxyyxyxy 24?2z?2zz?8xz?z?0 yyyyyyy?2z?z?8z?yxy2z?8x?1?4?2z?y22?z?xx對駐點(2?4?2z?16z?xx2z?8x?1,0)，a=z?xx2，z?xy?，z?yy?2z?8x?1 167415?0, c=z?, b=z?xyyy415 ?b?a

3、c?0,a?0, 故函數(shù)z在點(?對駐點(?2,0)，a=z?xx2167,0)處取得極大值z(415 167,0)?87 415?0, c=z?, b=z?xyyy?b?ac?0,a?0，故函數(shù)z在點(?2,0)處取得極小值z(?2,0)?1 補充 關(guān)于極值的求法，考試中?？疾榈氖抢窭嗜諚l件極值。這里，給出一道題目，大家可以自己做一下：原題：已知三角形周長為2p, 求出這樣的三角形，當它繞著自己的一邊旋轉(zhuǎn)時所構(gòu)成的體積最大。（答案：三角形三邊分別為 12p， 34p， 34p，且繞邊長為 12p的一邊旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)體體積取最大值） 7 知識點：重積分 題a：計算二重積分一連續(xù)函數(shù)。 解：因為

4、 ?x1?yf(xd23?y)dxdy，其中d是由y?x，y?1，x?1所圍的區(qū)域，f是 2f連續(xù)，所以必可積，不妨令?f(x)dx?f(x). 02x則原式= ?xdxdy?xyf(xdd31?1?y)dxdy?2?1?1dx?3xdy?x1?1?1dx?3xyf(x?y)dy x122 ?1?1x(1?x)dx?12xf(x?y)|x3dx?2?xdx?1221141?21?1xf(x?1)?f(x?y)dx226=?25 (這里用了奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分等于零的結(jié)論) 題b：設f(x)，g(x)皆是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù). 1求證： b?a?baf(x)g(x)dx?1b?a?baf(x

5、)dx?1b?a?bag(x)dx. 證：因取df(x)，g(x)皆單調(diào)遞增，故?x,y?a,b有f(x)?f(y)g(x)?g(y)?0。 ?(x,y)|a?x?b,a?y?b，則?f(x)?f(y)g(x)?g(y)dxdy?0 d即 ?f(x)g(x)?df(y)g(y)dxdy?f(x)g(y)?ddf(y)g(x)dxdy （*） 由于定積分與積分變量無關(guān)，所以（*）推出 b?f(x)g(x)dxdy?bab?df(x)g(y)dxdy bab兩邊化為二次積分，(b兩邊除以(b2?a)?f(x)g(x)dx?a?f(x)dx?g(y)dy?a?f(x)dx?g(x)dx a?a)，故

6、得證。 9. 知識點：常微分方程 題：設函數(shù)?(x)有連續(xù)的二階導數(shù)，并使曲線積分與路徑無關(guān)，求?(x)。 2x?3?(x)?2?(x)?xeydx?(x)dy 2x解：記p=y3?(x)?即?(x)2?(x)?xe?py?， ，q=?(x)，由條件路徑無關(guān)推出：qx （*），特征方程為?x2x?3?(x)?2?(x)?xe2x2?3?2?0，特征值：?=1, 2 從而，（*）對應的齊次方程的通解為 ?(x)?c1e?c2e2x 又（*）有特解 y?*1(d?1)(d?2)xe?1d?1e2x?xee2x?2xdx?12e2x(x?2x?2)（本 2結(jié)果可以根據(jù)課本給出的公式直接運用，該方法中

7、間過程省略了一些） 所以，所以函數(shù)為?(x)?c1e?c2e10. 知識點：高等數(shù)學的應用問題 x2x?12e2x(x?2x?2). 2題a：設生產(chǎn)某種產(chǎn)品x (百臺)時的邊際成本為 c?(x)?4?x4（萬元/百臺），邊際收益為r?(x)?8?x（萬元 /百臺）。求：（1）產(chǎn)量由1百臺增加到5百臺的總成本與總收入各增加多少？ (2) 產(chǎn)量為多少時，才能獲得最大利潤？ （3）若固定成本c0=1（萬元），分別求總成本、總利潤與產(chǎn)量的關(guān)系。 解：本題為經(jīng)濟類應用題，理工類考生可參考。 （1）c?5151c?(x)dx?51(4?x4 )dx?19(萬元） r=?(8?x)dx?20(萬元）（2）p

8、?r(x)?c(x),p?(x)?(8?x)?(4?x4)?4?54x,p?(x)?54?0 當p?=0,即x=x0165(百臺)能獲得最大利潤. (3) c(x)?(4?t4)dt?1?58x282?4x?1, r(x)?x0(8?t)dt?x22?8x p(x)?r(x)?c(x)?x?4x?1 題b：當隕石穿過大氣層向地面告訴墜落時，隕石表面與空氣磨擦所產(chǎn)生的高熱使隕石的質(zhì)量不斷揮發(fā)，試驗表明，隕石揮發(fā)的速度與隕石的表面積成正比，如假設隕石是質(zhì)量均勻的球體，試求出隕石的質(zhì)量m關(guān)于時間t的函數(shù)表達式。 解：設t時刻，隕石的半徑為r(t)，質(zhì)量為m(t), 表面積為s(t)，則s(t)?4?r(t)2，m(t)?43?r(t)， 3消去t后得s(t)?4?3m(t)4?23. 由題意，得 dm(t)dt?ks(t)?4?k(34?232323)m(t)?d(m(t)，其中d?4?k(34