高等數(shù)學(xué)-同濟(jì)第六版7-1.ppt

1、第七章 常微分方程,高等數(shù)學(xué)所研究的函數(shù)，是反映客觀世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程中量與量之間的一種關(guān)系。 但在實(shí)際問(wèn)題中遇到稍為復(fù)雜的一些運(yùn)動(dòng)時(shí)，反應(yīng)量與量之間的關(guān)系往往不能直接寫出來(lái)，卻比較容易地建立起這些變量及它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系。 這中聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，數(shù)學(xué)上稱為微分方程。,解,一、問(wèn)題的提出,1. 微分方程的基本概念,P294-1,解,P294-2,代入條件后知,故,開(kāi)始制動(dòng)到列車完全停住共需,微分方程: 凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分及自變量之間關(guān)系的方程叫微分方程.,例,實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.,二、

2、微分方程的定義,微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最 高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之.,分類1: 常微分方程, 偏微分方程.,一階微分方程,高階(n)微分方程,分類2:,分類3: 線性與非線性微分方程.,分類4: 單個(gè)微分方程與微分方程組.,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之.,微分方程的解的分類：,三、主要問(wèn)題-求方程的解,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.,(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.,解的圖象: 微分方程的積分曲線.,通解的圖象: 積分曲線族.,初始條件: 用來(lái)確定任意常數(shù)的條件.,過(guò)定點(diǎn)的積分曲線;,一階:,二階:,過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.,初值問(wèn)題: 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題.,解,P297-3,所求特解為,問(wèn)題1：是否所有的微分方程都存在通解？,以上三個(gè)方程，有的沒(méi)有實(shí)函數(shù)解；有的有解，但解中不含任意常數(shù)。所以，上述三個(gè)方程都不存在通解。,問(wèn)題2：微分方程的通解是否包含它所有的解？,答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。,特殊的：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為1的線性微分方程的通解能包含所有的解。,微分方程；,微分方程的階；,微分方程的解；,通解;,初始條件；,特解；,初值問(wèn)題；,積分曲線,小 結(jié),本節(jié)基本概念：,思考題,思考題