圓的參數(shù)方程及參數(shù)方程與普通方程的互化

1、圓的參數(shù)方程及參數(shù)方程與普通方程的互化,一、知識(shí)回顧： 參數(shù)方程的概念：,一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) x，y 都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù),那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x, y 的變數(shù) t 叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。,并且對(duì)于 t 的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn) M(x, y) 都在這條曲線上，,二、圓的參數(shù)方程,1. 圓心為原點(diǎn)半徑為r 的圓的參數(shù)方程.,其中參數(shù)的幾何意義 是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過(guò)的 角度,一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，,另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。,例1 如圖,圓O的半徑為2，P是圓

2、上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。,解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cos,2sin).,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是,設(shè)P( x, y ) 則,最大值和最小值分別為：60和20；,取得最大、最小值時(shí)P的坐標(biāo)分別為,三、參數(shù)方程和普通方程的互化,曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.為了研究方便，經(jīng)常要將兩種形式進(jìn)行互化,1. 將參數(shù)方程化為普通方程,一般地通過(guò)消參可以將參數(shù)方程化為普通方程,注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等

3、價(jià)的.,例3、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線？,解: (1)由,得,代入,得到,這是以（1，1）為端點(diǎn)的一條射線；,所以,把,得到,(1),(2),(1) ( x-2 )2 + y2 = 9,(2) y = 1- 2x2（- 1x1）,(3) x2 - y = 2（x2或x- 2）,練習(xí)、將下列參數(shù)方程化為普通方程：,步驟：（1）消參； （2）求定義域。,B,例4 參數(shù)方程,表示（ ）,（A）雙曲線的一支, 這支過(guò)點(diǎn)（1, 1/2）;,（B）拋物線的一部分, 這部分過(guò)（1, 1/2）;,（C）雙曲線的一支, 這支過(guò)點(diǎn)（1, 1/2);,（D）拋物線的一部分, 這部分過(guò)（1

4、, 1/2).,2.普通方程化為參數(shù)方程：,普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)：,如：直線 l 的普通方程是 2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程:,一般地, 如果知道變量x, y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變量與參數(shù)t的關(guān)系y=g(t)，那么:,就是曲線的參數(shù)方程。,在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x, y的取值范圍保持一致,為什么兩個(gè)參數(shù)方程合起來(lái)才是橢圓的參數(shù)方程？,在y=x2中，xR, y0，,因而與 y=x2不等價(jià)；,練習(xí):,曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（ ）.,在A、B、C中，x, y的范圍都發(fā)生了變化，,而在D中， x, y范圍與y=x2中x, y的范圍相同，,代入y=x2后滿足該方程，,從而