有關圓錐曲線的經(jīng)典結論

一、橢圓1點P處的切線PT平分F1PF2在點P處的外角2PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離4以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切5若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是0,PXY21XYAB0P021XYAB6若在橢圓外，則過PO作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切,2點弦P1P2的直線方程是02XY7橢圓AB0的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上任意一點XYA，則橢圓的焦點角形的面積為12F12TANPSB8橢圓（AB0）的焦半徑公式XY,1|ME20|EX1FC2,00,MXY9設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF10過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF11AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則XYAB,0YX，2OMABK即。02YAXK12若在橢圓內，則被PO所平分的中點弦的方程是0,P21B022XXAB13若在橢圓內，則過PO的弦中點的軌跡方程是0,Y21YAB202XAB二、雙曲線1點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角2PT平分PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交4以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切（內切P在右支；外切P在左支）5若在雙曲線（A0,B0）上，則過的雙曲線的切線方0,XY21XYB0P程是021AB6若在雙曲線（A0,B0）外，則過PO作雙曲線的兩條0,PXY2XY切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是021XYAB7雙曲線（A0,BO）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為雙曲線上任2B意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為12F12TPSCO8雙曲線（A0,BO）的焦半徑公式,XY02,當在右支上時，,0,M10|MFEXA2|FEXA當在左支上時，,09設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF10過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF11AB是雙曲線（A0,B0）的不平行于對稱軸的弦，M為ABXYB,0YX的中點，則，即。02XKABOM02YAXBAB12若在雙曲線（A0,B0）內，則被PO所平分的中點弦的0,PXY1YB方程是2002XA13若在雙曲線（A0,B0）內，則過PO的弦中點的軌跡方0,XY21YB程是20AB橢圓與雙曲線的對偶性質（會推導的經(jīng)典結論）橢圓1橢圓（ABO）的兩個頂點為,，與Y軸平行的21XY10AA2直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是1XB2過橢圓A0,B0上任一點任意作兩條傾斜角互補的直2XYAB0,Y線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為橢圓（AB0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,21XY,，則12F21FTANT2CO4設橢圓（AB0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓2XY上任意一點，在PF1F2中，記,，則有12P1212FPSINCEA5若橢圓（AB0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當21XY0E時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離D與PF2的比例中項6P為橢圓（AB0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，21XY則,當且僅當三點共線時，等號成211|2|AAFPF2,P立7橢圓與直線有公共點的充要條件是2200XYAB0AXBYC22ABX8已知橢圓（AB0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且21（1）（2）|OP|2|OQ|2的最大值為OPQ221|AB（3）的最小值是24ABOPQS2AB9過橢圓（AB0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦21XYMN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知橢圓（AB0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平21Y分線與X軸相交于點,則X220BABX11設P點是橢圓（AB0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦21YA點記，則1212F212|COSPF12TANPFSB12設A、B是橢圓（AB0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，2XYAB,，C、E分別是橢圓的半焦距離心率，則有PAB1232|COS|2TN12COTPABABS13已知橢圓（AB0）的右準線與X軸相交于點，過橢圓右焦點21XYALE的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線ACFCLCX經(jīng)過線段EF的中點14過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直15過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)E離心率（注在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點）17橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比E18橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項雙曲線1雙曲線（A0,B0）的兩個頂點為,，與Y21XYB10AA2軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是21XB2過雙曲線（A0,BO）上任一點任意作兩條傾斜角互2XYB0,XY補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為雙曲線（A0,B0）右（或左）支上除頂點外的任一點,21XYBF1,F2是焦點,，則（或12F21PTANT2CCO）TANTCCO4設雙曲線（A0,B0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）21XYB為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記,12P12P，則有12FPSINCEA5若雙曲線（A0,B0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為21XYBL，則當1E時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離D與PF2的比例中項6P為雙曲線（A0,B0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線2XYB內一定點，則,當且僅當三點共線且和1|AFPF2,P在Y軸同側時，等號成立2,7雙曲線（A0,B0）與直線有公共點的充要21XYB0AXBYC條件是2ABC8已知雙曲線（BA0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且OPQ（1）（2）|OP|2|OQ|2的最小值為（3）221|24AB的最小值是OPQSAB9過雙曲線（A0,B0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于21XYM,N兩點，弦MN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知雙曲線（A0,B0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的21XYB垂直平分線與X軸相交于點,則或X20AB20ABX11設P點是雙曲線（A0,B0）上異于實軸端點的任一點,F1、F221YB為其焦點記，則1212F212|COSBPF12COTPFS12設A、B是雙曲線（A0,B0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的2XYB一點，,，C、E分別是雙曲線的半焦距BA離心率，則有12|COS|232TAN1E2COTPABABS13已知雙曲線（A0,B0）的右準線與X軸相交于點，過雙2XYBLE曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且FCL軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點BCX14過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直15過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)E離心率注在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點17雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比E18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項其他常用公式1、連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長，常用的弦長公式21122ABKXYK2、直線的一般式方程任何直線均可寫成A,B不同時為0的形式。3、知直線橫截距，常設其方程為它不適用于斜率為0的直線與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程，特別提醒只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。7、圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元；8、為直徑端點的圓方程切線長過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）9、弦長問題圓的弦長的計算常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構成的直角三角形來解；過兩圓、交點的圓公共弦系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程一、橢圓答案1橢圓上一點P處的切線平分焦點三角形外角的證明題目已知為橢圓的焦點，P為橢圓上一點。求證點12,F210XYABP處的切線PT必平分在P處的外角在解答此題之后，我們還得到一個重要的定理12證法1設0,0,CXY對橢圓方程兩邊求導得，21XYAB20YAB2Y020,PTXYBKA又，10PFC20PFYKXC由到角公式知YXF1ODF2TPLL1L2N1324M20220TAN1BXYACK0220BCXYAAC，2022000BXBCXYYCY同理2020120TANCAKYBXCY，,2,，1又，4證法2設，如圖1，過、作切線PT的垂線，垂1,0FC2,0,PXYF2足分別為M、N切線PT的方程為，則點、到PT的距離為021XAB12，02141CFXYAB0224CNXYAB022011CXAFMXNA0012EEXPFX1PMF2N,又424兩種證法都是由導出，如圖，設PD為法線（即PD切線PT），則PD平分，故得如下重