[初二數(shù)學(xué)]中難題訓(xùn)練9

中難題訓(xùn)練（9）1、將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片ABC和DEF將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E重合，把DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O（1）當(dāng)DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)B（E），C，D在同一直線上時(shí)，AFD與DCA的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎請(qǐng)說明理由；（3）在圖中，連接BO，AD，探索BO與AD之間有怎樣的位置關(guān)系，并證明解（1）AFDDCA證明ABDE，BCEF，ABCDEF，ABCDEF，ACBDFE，AFDDCA；（2）AFDDCA（或成立），理由如下方法一由ABCDEF，得ABDE，BCEF（或BFEC），ABCDEF，BACEDF，ABCFBCDEFCBF，ABFDEC，在ABF和DEC中，ABDEABFDECBFEC，ABFDEC，BAFEDC，BACBAFEDFEDC，F(xiàn)ACCDF，AODFACAFDCDFDCA，AFDDCA；方法二連接AD，同方法一ABFDEC，AFDC，ABCDEF，F(xiàn)DCA，在AFD和DCA中，AFDCFDCAADDA，AFDDCA，AFDDCA；（3）如圖，BOAD方法一由ABCDEF，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，得BACBDF，BABD，點(diǎn)B在AD的垂直平分線上，且BADBDA，OADBADBAC，ODABDABDF，OADODA，OAOD，點(diǎn)O在AD的垂直平分線上，直線BO是AD的垂直平分線，即BOAD；2、如圖1，在四邊形ABCD中，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則BMECNE（不需證明）（溫馨提示在圖1中，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HEHF，從而12，再利用平行線性質(zhì)，可證得BMECNE）問題一如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC、AB于點(diǎn)M、N，判斷OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；問題二如圖3，在ABC中，ACAB，D點(diǎn)在AC上，ABCD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若EFC60，連接GD，判斷AGD的形狀并證明解（1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明如圖連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF、HE，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，HFAB，HF1/2AB，13同理，HECD，HE1/2CD，2EFCABCDHFHE，12EFC60，3EFCAFG60，AGF是等邊三角形AFFD，GFFD，F(xiàn)GDFDG30AGD90即AGD是直角三角形3、如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CDCE，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EFAE，連接AF、BE和CF（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“”表示，并加以證明；（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；（3）若AB6，BD2DC，求四邊形ABEF的面積解（1）（選證）BDEFEC證明ABC是等邊三角形，BCAC，ACB60度CDCE，BDAFAE，EDC是等邊三角形DEEC，CDEDEC60BDEFEC120度又EFAE，BDFEBDEFEC（選證二）BCEFDC證明ABC是等邊三角形，BCAC，ACB60度又CDCE，EDC是等邊三角形BCEFDC60，DECEEFAE，EFDEAECEFDACBCBCEFDC（選證三）ABEACF證明ABC是等邊三角形，ABAC，ACBBAC60度CDCE，EDC是等邊三角形AEFCED60度EFAE，AEF是等邊三角形AEAF，EAF60度ABEACF（2）解四邊形ABDF是平行四邊形理由由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等邊三角形CDEABCEFA60度ABDF，BDAF四邊形ABDF是平行四邊形（3）解由（2）知，四邊形ABDF是平行四邊形EFAB，EFAB四邊形ABEF是梯形過E作EGAB于G，則EG2根號(hào)3S四邊形ABEF1/2EG（ABEF）1/22根號(hào)3（64）10根號(hào)34、（2009鐵嶺）ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G，連接BE（1）如圖（A）所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)求證AEBADC；探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形并說明理由；（2）如圖（B）所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立；（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCGE是菱形并說明理由證明（1）ABC和ADE都是等邊三角形，AEAD，ABAC，EADBAC60（1分）又EABEADBAD，DACBACBAD，EABDAC，AEBADC（3分）方法一由得AEBADC，ABEC60又BACC60，ABEBAC，EBGC（5分）又EGBC，四邊形BCGE是平行四邊形（6分）方法二證出AEGADB，得EGABBC（5分）由得AEBADC得BECG四邊形BCGE是平行四邊形（6分）（2）都成立（8分）（3）當(dāng)CDCB（CAD30或BAD90或ADC30）時(shí)，四邊形BCGE是菱形（9分）理由方法一由得AEBADC，BECD（10分）又CDCB，BECB（11分）由得四邊形BCGE是平行四邊形，四邊形BCGE是菱形（12分）方法二由得AEBADC，BECD（9分）又四邊形BCGE是菱形，BECB（11分）CDCB（12分）方法三四邊形BCGE是平行四邊形，BECG，EGBC，F(xiàn)BEBAC60，F(xiàn)ABC60（9分）FFBE60，BEF是等邊三角形（10分）又ABBC，四邊形BCGE是菱形，ABBEBF，AEFG（11分）EAG30，EAD60，CAD30度（12分）5、已知等腰ABC中，ABAC，AD平分BAC交BC于D點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P（A點(diǎn)除外），過P點(diǎn)作EFAB，分別交AC，BC于E，F(xiàn)點(diǎn)，作PMAC，交AB于M點(diǎn)，連接ME（1）求證四邊形AEPM為菱形；（2）當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半證明（1）EFAB，PMAC，四邊形AEPM為平行四邊形ABAC，AD平分CAB，CADBAD，ADBC（三線合一的性質(zhì)），BADEPA，CADEPA，EAEP，四邊形AEPM為菱形2）P為EF中點(diǎn)時(shí)，S菱形AEPM1/2S四邊形EFBM四邊形AEPM為菱形，ADEM，ADBC，EMBC，又EFAB，四邊形EFBM為平行四邊形作ENAB于N，則S菱形AEPMEPEN1/2EFEN1/2S四邊形EFBM6、已知點(diǎn)P是矩形ABCD邊AB上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）（1）如圖，現(xiàn)將PBC沿PC翻折得到PEC；再在AD上取一點(diǎn)F，將PAF沿PF翻折得到PGF，并使得射線PE、PG重合，試問FG與CE的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說明理由；（2）在（1）中，如圖，連接FC，取FC的中點(diǎn)H，連接GH、EH，請(qǐng)你探索線段GH和線段EH的大小關(guān)系，并說明你的理由；（3）如圖，分別在AD、BC上取點(diǎn)F、C，使得APFBPC，與（1）中的操作相類似，即將PAF沿PF翻折得到PFG，并將PBC沿PC翻折得到PEC，連接FC，取FC的中點(diǎn)H，連接GH、EH，試問（2）中的結(jié)論還成立嗎請(qǐng)說明理由解（1）FGCE，在矩形ABCD中，AB90，由題意得GA90，PECB90GEC90GGECFGCE（2）GHEH延長(zhǎng)GH交CE于點(diǎn)M，由（1）得，F(xiàn)GCEGFHMCHH為CF的中點(diǎn)FHCH又GHFMHCGFHMHCGHHM1/2GM，GEC90EH1/2GMGHEH（3）（2）中的結(jié)論還成立取PF的中點(diǎn)M，PC的中點(diǎn)NFGP90，M為PF的中點(diǎn)GM1/2PF，PM1/2PF，HMPCGMPMGPFMGPGMFGPFMGP2GPFH為FC的中點(diǎn)，M為PF的中點(diǎn)HM1/2PC同理HN1/2PF，EN1/2PC，HNPF，ENC2EPCGMHN，HMENGPFFPA，EPCBPC又BPCFPAGPFEPCGMFENC，HMPC，HNPF四邊形HMPN為平行四邊形HMFHNCGMHHNEGMHN，HMENGMHHNEGHHE7、如圖，已知ABC和DEF是兩個(gè)邊長(zhǎng)都為10CM的等邊三角形，且B、D、C、E都在同一直線上，連接AD、CF（1）求證四邊形ADFC是平行四邊形；（2）若BD3CM，ABC沿著BE的方向以每秒1CM的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)ABC運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T秒，當(dāng)T為何值時(shí)，ADFC是菱形請(qǐng)說明你的理由；ADFC有可能是矩形嗎若可能，求出T的值及此矩形的面積；若不可能，請(qǐng)說明理由證明（1）ABC和DEF是兩個(gè)邊長(zhǎng)為10CM的等邊三角形ACDF，ACDFDE60（2分）ACDF（3分）四邊形ADFC是平行四邊形（4分）（2）當(dāng)T3秒時(shí)，ADFC是菱形（5分）此時(shí)B與D重合，ADDF（7分）ADFC是菱形（8分）當(dāng)T13秒時(shí)，ADFC是矩形（9分）此時(shí)B與E重合，AFCD，ADFC是矩形（10分）CDF90，CF根號(hào)CD2DF2根號(hào)20210210根號(hào)3（11分）S矩形ADFC1010根號(hào)3100根號(hào)3CM2（12分）8、如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O（1）（圖1）若E為AC上一點(diǎn)，過A作AGEB于G，AG、BD交于F，求證OEOF；（2）（圖2）若E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AGEB交EB的延長(zhǎng)線于G，AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于F，其他條件不變，OEOF還成立嗎若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由證明（1）如圖（1）正方形ABCD中，AOBO，AOFBOE90，OBEBEO90，AGEB，AGE90，GAEAEG90，OBEOAF，在AOF和BOE中AOFBOEAOBOOAFOBEAOFBOE（ASA），OEOF（2）OEOF仍然成立理由如圖（2）正方形ABCD中，AOBO，AOFBOE90，F(xiàn)AOF90，AGEB，AGE90，GAEE90，EF，在AOF和BOE中AOFBOEEFAOBOAOFBOE（AAS），OEOF所以結(jié)論仍然成立9、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB20CM，CD25CM動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)P以3CM/S的速度沿ADC的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4CM/S的速度沿ABC的路線運(yùn)動(dòng)，且P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C（1）求梯形ABCD的面積；（2）設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為T（秒），四邊形APCQ的面積為S（CM2），試求S與T之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量T的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的T，使得四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的2/5若存在，求出T的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解（1）過點(diǎn)D作DEBC于點(diǎn)E，由已知得ADBE，DEAB20CM在RTDEC中，根據(jù)勾股定理得EC15CM由題意得ADDC/3ABBEEC/4，AD25/320AD15/4解得AD5梯形ABCD的面積ADBCAB/252020/2250（CM2）（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為T（秒）時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為3T（CM），點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為4T（CM）當(dāng)0T5/3時(shí)，P在AD上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)此時(shí)四邊形APCQ的面積SS梯形ABCDSBCQSCDP70T當(dāng)5/3T5時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)此時(shí)四邊形APCQ的面積SS梯形ABCDSBCQSADP34T60當(dāng)5T10時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在BC上運(yùn)動(dòng)此時(shí)四邊形APCQ的面積SS梯形ABCDSABQSADP46T460（3）當(dāng)0T5/3時(shí)，由S70T2502/5，解得T10/7當(dāng)5/3T5時(shí)，由S34T602502/5，解得T20/17又5/3T5，T20/17不合題意，舍去當(dāng)5T10時(shí)，由S46T4602502/5，解得T180/23當(dāng)T10/7或T180/23時(shí)，四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的2/510、如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24CM，AB8CM，BC26CM，動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿AD邊向D以1CM/S的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向B以3CM/S的速度運(yùn)動(dòng)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為TS（1）當(dāng)T為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形（2）當(dāng)T為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形（3）當(dāng)T為何值時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形解（1）四邊形PQCD為平行四邊形PDCQ24T3T解得T6即當(dāng)T6時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形（2）過D作DEBC于E則四邊形ABED為矩形BEAD24CMECBCBE2CM當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，QCPD2CE，即3T（24T）4解得T7（S）即當(dāng)T7（S）時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形（3）由題意知QCPDEC時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形即3T（24T）2解得T65（S）即當(dāng)T65（S）時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形11、已知如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，點(diǎn)P是腰DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與D、C不重合），點(diǎn)E、F、G分別是線段BC、PC、BP的中點(diǎn)（1）試探索四邊形EFPG的形狀，并說明理由；（2）若A120，AD2，DC4，當(dāng)PC為何值時(shí)，四邊形EFPG是矩形并加以證明解（1）四邊形EFPG是平行四邊形（1分）理由點(diǎn)E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，EFBP（2分）同理可證EGPC（3分）四邊形EFPG是平行四邊形（4分）（2）方法一當(dāng)PC3時(shí)，四邊形EFPG是矩形（5分）證明延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)MADBC，ABCD，BAD120，ABCC60M60，BCM是等邊三角形（7分）MAD18012060，ADDM2CMDMCD246（8分）