北京市石景山區(qū)2016屆高三上期末數學試卷（理）含答案解析

第 1 頁（共 18 頁） 2015年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數學試卷（理科） 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1設集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，則 MN=（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 2若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值為（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 3如圖的程序框圖表示算法的運行結果是（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 4已知數列 等差數列， ， ，則前 n 項和 最大的是（ ） A “”是 “直線 2x+1=0 與直線 y 2=0 平行 ”的（ ） A充分必要條件 B充分而不必要條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件 6若曲線 p 0）上只有一個點到其焦點的距離為 1，則 p 的值為（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7 如圖，點 O 為正方體 ABCD的中心，點 E 為面 B中心，點 F 為 BC的中點，則空間四邊形 D該正方體的各個面上的投影不可能是（ ） 第 2 頁（共 18 頁） A B C D 8如圖，在等腰梯形 ， ， E， F 分別是底邊 中點，把四邊形直線 起，使得面 面 動點 P 平面 平面 成的角分別為 1， 2（ 1， 2 均不為 0）若 1=2，則動點 P 的軌跡為（ ） A直線 B橢圓 C圓 D拋物線 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9在復平面內，復數 對應的 點到原點的距離為 10 的二項展開式中 x 項的系數為 （用數字作答） 11在 ，角 A， B， C 所對的邊長分別為 a， b， c，且 a=15， b=10， A=60，則 12在極坐標系中，設曲線 =2 和 相交于點 A， B，則 | 13 2 位男生和 3 位女生共 5 位同學站成一排，若 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是 種（用數字作答） 14股票交易的開 盤價是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報某種股票的意向買價或意向賣價以及相應的意向股數，然后由計算機根據這些數據確定適當的價格，使得在該價位上能夠成交的股數最多（注：當賣方意向價不高于開盤價，同時買方意向價不低于開盤價，能夠成交）根據以下數據，這種股票的開盤價為 元，能夠成交的股數為 賣家意向價（元） 向股數 200 400 500 100 買家意向價（元） 向股數 600 300 300 100 三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 15已知函數 f（ x） =2 x， x R （ ）求函數 f（ x）的最小正周期與單調增區(qū)間； 第 3 頁（共 18 頁） （ ）求函數 f（ x）在 上的最大值與最小值 16某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質健康情況從全體學生中，隨機抽取 12 名進行體質健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示根據學生體質健康標準，成績不低于 76 的為優(yōu)良 （ ）寫出這組數據的眾數和中位數； （ ）將頻率視為概率根據樣本估計總體的思想，在該校學生中任選 3 人進行體質健康測試，求至少有 1 人成績是 “優(yōu)良 ”的概率； （ ）從抽取的 12 人中隨機選取 3 人，記 表示成績 “優(yōu)良 ”的學生人數，求 的分布列及期望 17在四棱錐 P ，側面 底面 E 為 點，底面 0， D=， （ ）求證： 平面 （ ）求證 ： 平面 （ ）在線段 是否存在一點 Q，使得二面角 Q P 為 45？若存在，求 的值；若不存在，請述明理由 18已知函數 f（ x） =x 1+ （ a R， e 為自然對數的底數） （ ）若曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求 a 的值； （ ）求函數 f（ x）的極值； （ ）當 a=1 的值時，若直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點，求 k 的最大值 19已知橢圓 C： （ a b 0）的焦距為 4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形 （ ）求橢圓 C 的標準方程； 第 4 頁（共 18 頁） （ ）設 F 為橢圓 C 的左焦點， M 為直線 x= 3 上任意一點，過 F 作 垂線交橢圓 ， Q證明： 過線段 中點 N（其中 O 為坐標原點） 20給定一個數列 在這個數列里，任取 m（ m 3， m N*）項，并且不改變它們在數列 的先后次序，得到的數列 一個 m 階 子數列 已知數列 通項公式為 （ n N*， a 為常數），等差數列 數列 一個 3 子階數列 （ 1）求 a 的值； （ 2）等差數列 ， 一個 m（ m 3， m N*）階子數列，且 （ k 為常數， k N*， k 2），求證： m k+1 （ 3）等比數列 ， 一個 m（ m 3， m N*）階子數列，求證： c1+2 第 5 頁（共 18 頁） 2015年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1設集合 M=0， 1， 2， N=x|3x+2 0，則 MN=（ ） A 1 B 2 C 0， 1 D 1， 2 【考點】 交集及其運算 【分析】 求出集合 N 的元素，利用集合的基本運算即可得到結論 【解答】 解： N=x|3x+2 0=x|（ x 1）（ x 2） 0=x|1 x 2， MN=1， 2， 故選： D 2若變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=2x+y 的最大值為（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 化目標函數 z=2x+y 為 y= 2x+z， 由圖可知，當直線 y= 2x+z 過 A（ 2， 0）時，直線在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 4 故選： D 3如圖的程序框圖表示算法的運行結果是（ ） 第 6 頁（共 18 頁） A 2 B 2 C 1 D 1 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S， i 的值，當 i=5 時滿足條件 i 4，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 2 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=0， i=1 不滿足條件 i 4，不滿足條件 i 是偶數， S=1， i=2 不滿足條件 i 4，滿足條件 i 是偶數， S= 1， i=3 不滿足條件 i 4，不滿足條件 i 是偶數， S=2， i=4 不滿足條件 i 4，滿足條件 i 是偶數， S= 2， i=5 滿足條件 i 4，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 2 故選： A 4已知數列 等差數列， ， ，則前 n 項和 最大的是（ ） A 考點】 等差數列的前 n 項和 【分析】 由 等差數列， ， ，解得 6， d= 4故 28n= 2（ n ）2+ 由此能求出結果 【解答】 解： 等差數列， ， ， ，解得 6， d= 4 6n+ 第 7 頁（共 18 頁） = 28n = 2（ n ） 2+ 當 n=4 或 n=5 時， 最大值 故選 B 5 “”是 “直線 2x+1=0 與直線 y 2=0 平行 ”的（ ） A充分必要條件 B充分而不必要條件 C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 兩條直線平行的判定 【分析】 本題考查線線平行關系公式的利用，注意 2 條線是否重合 【解答】 解： 兩直線平行 斜率相等即可得 ， 又因為不能重合，當 a=1， b=4 時，滿足 ，但是重合， 所以選 C 6若曲線 p 0）上只有一個點到其焦點的距離為 1，則 p 的值為（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考點】 拋物線的簡單性質 【分析】 利用拋物線的性質求出 p 即可 【解答】 解：因為拋物線關于拋物線的軸對稱，所以拋物線頂點到焦點的距離唯一， 可得 ， p=2 故選： C 7如圖，點 O 為正方體 ABCD的中心，點 E 為面 B中心，點 F 為 BC的中點，則空間四邊形 D該正方體的各個面上的投影不可能是（ ） A B C D 【考點】 簡單空間圖形的三視圖 【分析】 根據平行投影的特點和正方體的性質，得到分別從正方體三個不同的角度來觀察正方體，得到三個不同的投影圖，逐個檢驗，得到結果 【解答】 解：由題意知光線從上向下照射，得到 C， 光線從前向 后照射，得到 A， 光線從左向右照射得到 B， 故空間四邊形 D該正方體的各個面上的投影不可能是 D， 故選： D 第 8 頁（共 18 頁） 8如圖，在等腰梯形 ， ， E， F 分別是底邊 中點，把四邊形直線 起，使得面 面 動點 P 平面 平面 成的角分別為 1， 2（ 1， 2 均不為 0）若 1=2，則動點 P 的軌跡為（ ） A直線 B橢圓 C圓 D拋物線 【考點】 軌跡方程 【分析】 先確定 以 在直線為 x 軸， 垂直平分線為 y 軸建立坐標系，求出軌跡方程，即可得出結論 【解答】 解：由題意， 1=2， 以 在直線為 x 軸， 垂直平分線為 y 軸建立坐標系，設 E（ a， 0） ， F（ a， 0）， P（ x， y），則 （ x+a） 2+ （ x a） 2+ 30，軌跡為圓 故選： C 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9在復平面內，復數 對應的點到原點的距離為 【考點】 復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念 【分析】 利用兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位 i 的 冪運算性質化簡復數，求出其在復平面內的對應點的坐標，利用兩點間的距離公式求得復數對應的點到原點的距離 【解答】 解：復數 = = = 1+i，其對應點的坐標為（ 1， 1）， 該點到原點的距離等于 = ， 故答案為 10 的二項展開式中 x 項的系數為 5 （用數字作答） 第 9 頁（共 18 頁） 【考點】 二項式定理的應用 【分析】 在二項展開式的通項公式中，令 x 的冪指數等于 1，求出 r 的值，即可求得展開式中 x 項的系數 【解答】 解： 的二項展開式的通項公式為 = （ 1） r ，令=1，求得 r=1， 可得展開式中 x 項的系數為 = 5， 故答案為： 5 11在 ，角 A， B， C 所對的邊長分別為 a， b， c，且 a=15， b=10， A=60，則 【考點】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得， 可求 后結合大邊對大角及同角平方關系即可求解 【解答】 解： a=15， b=10， A=60 由正弦定理可得， = = a b A B B 為銳角 = 故答案為： 12在極坐標系中，設曲線 =2 和 相交于點 A， B，則 | 2 【考點】 簡單曲線的極坐標方程 【分析】 由 =2，得 x2+，由 ，得 x=1，由此聯立方程組能求出交點 A、 B，由此能求出 | 【解答】 解： =2， x2+， ， x=1， 聯立 ，得 或 ， A（ 1， ）， B（ 1， ）， |2 故答案為： 2 第 10 頁（共 18 頁） 13 2 位男生和 3 位女生共 5 位同學站成一排，若 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是 72 種（用數字作答） 【考點】 排列、組合的實際應用 【分 析】 把 3 位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素，和剩下的一位女生，插入到 2位男生全排列后形成的 3 個空中的 2 個空中，問題得以解決 【解答】 解：把 3 位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素，和剩下的一位女生，插入到2 位男生全排列后形成的 3 個空中的 2 個空中， 故有 2 種， 故答案為： 72 14股票交易的開盤價是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報某種股票的意向買價或意向賣價以及相應的意向股數，然后由計算機根據這些數據確定適當的價格，使得在該價位上能夠成交的股數最多（注：當賣方意向價不高 于開盤價，同時買方意向價不低于開盤價，能夠成交）根據以下數據，這種股票的開盤價為 ，能夠成交的股數為 600 賣家意向價（元） 向股數 200 400 500 100 買家意向價（元） 向股數 600 300 300 100 【考點】 函數模型的選擇與應用 【分析】 分別計算出開盤價為 買家意向股數及賣家意向股數，進而比較即得結論 【解答】 解：依題意，當開盤價為 時，買家意向股數為 600+300+300+100=1300， 賣家意向股數為 200，此時能夠成交的股數為 200； 當開盤價為 時，買家意向股數為 300+300+100=700， 賣家意向股數為 200+400=600，此時能夠成交的股數為 600； 當開盤價為 時，買家意向股數為 300+100=400， 賣家意向股數為 200+400+500=1100，此時能夠成交的股數為 400； 當開盤價為 時，買家意向股數為 100， 賣家意向股數為 200+400+500+100=1200，此時能夠成交的股數為 100； 故答案 為： 600 三、解答題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 15已知函數 f（ x） =2 x， x R （ ）求函數 f（ x）的最小正周期與單調增區(qū)間； （ ）求函數 f（ x）在 上的最大值與最小值 【考點】 三角函數中的恒等變換應用；三角函數的周期性及其求法 【分析】 （ ）先化簡函數可得 f（ x） = ，即可求函數 f（ x）的最小正周期與單調增區(qū)間； 第 11 頁（共 18 頁） （ ）由定義域根據正弦函數的單調性即可求出函數 f（ x）在 上的最大值與最小值 【解答】 解： = （ ） f（ x）的最小正周期為 令 ，解得 ， 所以函數 f（ x）的單調增區(qū)間為 （ ）因為 ，所以 ，所以 ， 于是 ，所以 0 f（ x） 1 當且僅當 x=0 時， f（ x）取最小值 f（ x） f（ 0） =0 當且僅當 ，即 時最大值 16某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質健康情況從全體學生中，隨機抽取 12 名進行體質健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示根據學生體質健康標準，成績不低于 76 的為優(yōu)良 （ ）寫出這組數據的眾數和中位數； （ ）將頻率視為概率根據樣本估計總體的思想，在該校學生中任選 3 人進行體質健康測試，求至少有 1 人成績是 “優(yōu) 良 ”的概率； （ ）從抽取的 12 人中隨機選取 3 人，記 表示成績 “優(yōu)良 ”的學生人數，求 的分布列及期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；眾數、中位數、平均數；古典概型及其概率計算公式 【分析】 （ ）利用莖葉圖能求出這組數據的眾數，中位數 （ ）抽取的 12 人中成績是 “優(yōu)良 ”的頻率為 ，由此得到從該校學生中任選 1 人，成績是 “優(yōu)良 ”的概率為 ，從而能求出 “在該校學生中任選 3 人，至少有 1 人成績是 優(yōu)良 ”的概率 第 12 頁（共 18 頁） （ ）由題意可得， 的可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相對應的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ ）這組數據的眾數為 86，中位數為 86 （ ）抽取的 12 人中成績是 “優(yōu)良 ”的頻率為 ， 故從該校學生中任選 1 人，成績是 “優(yōu)良 ”的概率為 ， 設 “在該校學生中任選 3 人，至少有 1 人成績是 優(yōu)良 的事件 ”為 A， 則 P（ A） =1 =1 = （ ）由題意可得， 的可能取值為 0， 1， 2， 3 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = = ， P（ =3） = = = ， 所以 的分布列為 0 1 2 3 P = 17在四棱錐 P ，側面 底面 E 為 點，底面 0， D=， （ ）求證： 平面 （ ）求證： 平面 （ ） 在線段 是否存在一點 Q，使得二面角 Q P 為 45？若存在，求 的值；若不存在，請述明理由 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定 第 13 頁（共 18 頁） 【分析】 （ ）取 點 F，連結 F，從而 而平面 平面 此能證明 平面 （ ）推導出 此能證明 平面 （ ）以 D 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段 存在 Q（ 0， 2 ， 2 ），使得二面角 Q P 為 45，= 【解答】 證明：（ ）取 點 F，連結 E 為 點， D=， ， F， 四邊形 平行四邊形， F=F， D=D， 面 面 平面 平面 面 平面 （ ） 在四棱錐 P ，側面 底面 底面 底面 直角梯形， 0， D=， ， C= = ， D=D， 平面 解：（ ）以 D 為原點， x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系， D（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 2， 0），設 Q（ 0， b， c）， =（ 1， 1， 0）， =（ 0， 0， 1）， =（ 0， b， c）， 設平面 法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 x=1，得 =（ 1， 1， 0）， 設平面 法向量 =（ 則 ，取 ，得 =（ 1， 1， ）， 二面角 Q P 為 45， = = ，解得 = ， Q（ 0， ， c）， ，解得 c=2 ， Q（ 0， 2 ， 2 ）， = = 第 14 頁（共 18 頁） 在線段 存在 Q（ 0， 2 ， 2 ），使得二面角 Q P 為 45， = 18已知函數 f（ x） =x 1+ （ a R， e 為自然對數的底數） （ ）若曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸，求 a 的值； （ ）求函數 f（ x）的極值； （ ）當 a=1 的值時，若直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點，求 k 的最大值 【考點】 利用導數研究函數的極值；利用導數研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ ）依題意， f（ 1） =0，從而可求得 a 的值； （ ） f（ x） =1 ，分 a 0 時 a 0 討論，可知 f（ x）在 （ ， 單調遞減，在（ +）上單調遞增，從而可求其極值； （ ）令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ，則直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點 方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實數解，分 k 1 與 k 1 討論即可得答案 【解答】 解：（ ）由 f（ x） =x 1+ ，得 f（ x） =1 ， 又曲線 y=f（ x）在點（ 1， f（ 1）處的切線平行于 x 軸， f（ 1） =0，即 1 =0，解得 a=e （ ） f（ x） =1 ， 當 a 0 時， f（ x） 0， f（ x）為（ ， +）上的增函數，所以 f（ x）無極值； 當 a 0 時，令 f（ x） =0，得 ex=a， x= x （ ， f（ x） 0； x （ +）， f（ x） 0； f（ x）在 （ ， 單調遞減，在（ +）上單調遞增， 故 f（ x）在 x=取到極小值，且極小值為 f（ =極大值 綜上，當 a 0 時， f（ x）無極值；當 a 0 時， f（ x）在 x=取到極小值 極大值 第 15 頁（共 18 頁） （ ）當 a=1 時， f（ x） =x 1+ ，令 g（ x） =f（ x）（ 1） =（ 1 k） x+ ， 則直線 l： y=1 與曲線 y=f（ x）沒有公共點， 等價于方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實數解 假設 k 1，此時 g（ 0） =1 0， g（ ） = 1+ 0， 又函數 g（ x）的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理可知 g（ x） =0 在 R 上至少有一解， 與 “方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實數解 ”矛盾，故 k 1 又 k=1 時， g（ x） = 0，知方程 g（ x） =0 在 R 上沒有實數解， 所以 k 的最大值為 1 19已知橢圓 C： （ a b 0）的焦距為 4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形 （ ）求橢圓 C 的標準方程； （ ）設 F 為橢圓 C 的左焦點， M 為直線 x= 3 上 任意一點，過 F 作 垂線交橢圓 ， Q證明： 過線段 中點 N（其中 O 為坐標原點） 【考點】 直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程 【分析】 （ I）由橢圓 C 的焦距為 4，及等邊三角形的性質和 a2=b2+得 a， b，即可求橢圓 C 的標準方程； （ ）設 M（ 3， m）， P（ Q（ 中點為 N（ m，設直線 方程為 x=2，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合三點共線的方法：斜率相等，即可得證 【解答】 解：（ ）由題意可得 c=2，