平面連桿機構分析與設計的復矢量法.doc

-專業(yè)文檔，值得下載!-專業(yè)文檔，值得珍藏！-閩江學院學報2006年第2期平面連桿機構分析與設計的復矢量法盧新平（閩江學院物理學與電子信息工程系，福建福州350108）摘要：本文采用復數(shù)矢量法，討論平面連桿機構運動學分析與設計問題，得出矩陣形式的線性方程組，并引入Matlab計算程序。關鍵詞：復矢量；四連桿機構；運動分析。中圖分類號：O316文獻標識碼：A文章編號：10097821（2006）02ANALYSISANDDESIGNOFPLANARLINKAGEBASEDONTHECOMPLEXVECTORLUXinping(PhysicsandElectronicsInformationEngineeringDepartmentofMinjiangUniversity,FuzhouFujian350108)Abstract：Inthispaper,basedonthecomplexvector,westudyontheanalysisandsynthesisofplanarfour-barlinkage.Thelinearequationsinthematrixformandthematlabprogrammingarepresented.Keywords：complexvector；four-barlinkage；.kinematicanalysis1.引言力學教學改革與精品課程建設，一要加強理論與工程技術實際的聯(lián)系，二要重視計算機方法的運用。在信息時代的今天，高素質(zhì)人才應能利用計算機和先進數(shù)學軟件進行學習、工作和研究；計算機方法，也是研究非線性力學問題的需要。力學的計算機方法關鍵要抓住力學模型的建立，數(shù)據(jù)的準備和輸入等方面，不要讓學生把時間花在編程上。為此，力學的計算題，要變傳統(tǒng)的解題方法為矩陣方程的解題方法，以便應用計算機程序求解力學問題。關于動力學問題，筆者已經(jīng)在文獻3中給出了矩陣形式的動力學方程以及計算機計算程序。本文研究運動學問題，這不僅是為動力學作準備，在工程技術問題中運動學也有廣泛的直接應用。以下以平面四桿機構為例，說明運動學的工程技術應用，并探討為了引入Matlab計算機設計計算程序，如何運用復矢量分析法。2.復矢量分析法復數(shù)平面上的矢量叫做“復矢量”，記為：r=r|=rcos+jrsin（1）記號r|將矢量的長度和方向角歸納在一起，使用起來很方便。其中收稿日期：基金項目：閩江學院力學教改與力學精品課程建設項目資助，閩院教200548作者簡介：盧新平（1950），男，福建閩侯人，閩江學院物理學與電子信息工程系副教授。-專業(yè)文檔，值得下載!-專業(yè)文檔，值得珍藏！-|cos+jsin（2）是矢量的單位方向矢。用|乘以某一矢量，意味著將該矢量逆時針方向轉動角，所以|又稱為“轉動角”。令=2，則有2|=cos2+jsin2=j（3）這表明用j乘以某一矢量，意味著將該矢量逆時針方向轉動2角。單位方向矢|對時間的導數(shù)為：dtd|=sin+jcos=j(cos+jsin)=j|（4）其中：為方向矢|轉動的角速度，它描述轉動的快慢。二維矢量對時間導數(shù)的一般形式為：dtdr=r|+rj|=(r+jr)|（5）當矢量A=a|的長度a不變時，則有：dtdA=ja|=jA（6）dtd（dtdA）=j(+j2)A（7）剛性桿作平面平行運動時，其長度不變，公式（6）和（7）在剛性桿運動方程的線性化程序中起著頗為重要的作用。3.平面連桿機構運動分析與設計在自動化機構、儀器儀表、以及其他機械傳動與操縱系統(tǒng)中，廣泛采用連桿機構。連桿機構作用大致有三：1）實現(xiàn)一定的運動要求；2）實現(xiàn)一定的動作（操縱機構）；3）實現(xiàn)一定的軌跡。連桿機構中的鉸接四桿機構基本型式有：1）曲柄搖桿機構；2）雙搖桿機構；3）雙曲柄機構；4）曲柄滑塊機構；5）導桿機構；等等。連桿機構比其它機構具有如下優(yōu)點：1）兩構件以低付相連接，是面接觸，能承受較大壓力和沖擊力；2）接觸面由于是柱對柱面或平面對平面，幾何形狀簡單，容易加工，且容易獲得較高精度；3）能夠?qū)崿F(xiàn)多種運動形式的轉換和得到各種復雜的運動軌跡；等等。這一系列優(yōu)點是促成其獲得廣泛應用的原因。連桿機構的一個大缺點是運動學和動力學的分析與設計計算比較麻煩。本文試用復矢量法分析平面四桿機構的運動，并且引入Matlab計算機計算程序，以求簡化設計計算。在平面連桿機構分析中，復矢量法的實用性歸因于復數(shù)容易轉換成極坐標形式，當需要微分時，用這種形式表示矢量特別有用，而且可以轉化成矩陣方程，從而引入計算機方法。3.1按位置分析與設計通常，機構是為了傳遞運動。在原動件（輸入件）上給出某種運動時，由隨動件得到所希望的運動，這就是機構的目的。為此，輸入和輸出的關系應當有某種固定的函數(shù)關系。表示機構的矢量圖，就是確定形狀的矢量圖；表示機構的矢量方程就應當是可解的方程。在連桿機構中，最普通而有用的是四桿機構，其位置分析與設-專業(yè)文檔，值得下載!-專業(yè)文檔，值得珍藏！-計的主要問題是確定位置變量的值，求各桿尺寸和獨立變量的值。如圖1示平面四桿機構，d為機架，a為主動桿，b為連桿，c（Fig.1.）為從動桿,機構回路閉合方程可寫成復矢量形a|+b|=d0|+c|(8)使用尤拉方程分出方程(8)的實部和虛部，整理可得：bcos=d+ccosacos，bsin=csinasin兩式平方后相加，可消去角，得到輸出角與輸入角的函數(shù)關系為：pocosp1cos()+p2cos（9）其中：po=ac；p1=dc；p2=(a2b2+c2+d2)/2ad如果給出主，從動桿三個對應角位置(1，1)，(2，2)，(3，3)，代入（9）式，可得關于未知數(shù)po，p1，p2的三個獨立的線性方程，容易引入計算機程序求解出三個未知數(shù)po，p1，p2的值，進而求出四桿長度之比a：b：c：d1：b1：c1：d1中的b1，c1和d1；如果再選定某桿長度，則其它三桿長度也就都可以確定。3.2.按速度和加速度分析與設計未知變量的回路閉合方程的解析式是一個非線性問題，會導致冗長的代數(shù)運算。幸而，我們將會看到有關速度分析的復矢量法只涉及一系列線性公式，而且解法是相當簡單的。作為方法的一種說明，我們來推導圖1所示四桿機構的一個表示其輸入角速度和輸出曲柄角速度之間關系的公式。根據(jù)回路閉合方程（8），考慮所有的長度保持不變，我們利用公式（6）求時間導數(shù)，可得：ja|+j.b|=jc|（10）用|乘方程（10）兩邊，得：bc|=a|根據(jù)兩邊虛部相等，得：csin()=asin()由此可解得從動桿的角速度為：=asin()/csin()（11）用|乘方程（10）兩邊后取虛部相等得：bsin()=asin()由此可解得連桿的角速度：=asin()/bsin()（12）值得注意的是，我們已經(jīng)把上述問題中所解的聯(lián)立方程組全部線性化了。同樣值得注意的是連桿的角速度和從動桿的角速度的表達式中，兩者在分母中都包含有sin()；通常任何的速度分析問題對于每一速度未知數(shù)的解答都有同樣的分-專業(yè)文檔，值得下載!-專業(yè)文檔，值得珍藏！-母。這些分母是線性方程未知數(shù)的基本系數(shù)的決定因素?？梢钥闯?，在四桿機構中，()是一個傳動角。當傳動角變小時，輸出速度和輸入速度之比變得很大。3.3.設計計算舉例設有如圖所示四桿機構，其中R4為機架（常矢），R1為主動桿，R3為從動桿，R2為連桿。設在某一工作位置時各桿的角速度和角加速度分別取如下值：1=20rad/s,1=0；2=8.5rad/s,2=10rad/s2；3=13rad/s,3=160rad/s2.試根據(jù)上述要求確定該機構尺寸比。根據(jù)圖（2），回路閉合方程可寫為：R1+R2+R3R4回路閉合方程對時間求導一次，利用（6）式，可得：1R1+2R2+3R30回路閉合方程對時間求導兩次，利用（7）式，可得（Fig.2）c1R1+c2R2+c3R30其中c1=1+j12，c2=2+j22，c3=3+j32解關于R1，R2和R3的線性方程組：001111321321321RRRcccR4（13）可得R1=DDxR4，R2=DDyR4，R3=DDzR