數(shù)值分析第六章 數(shù)值積分與數(shù)值微分【PPT課件】

數(shù)值計算方法 漢學(xué)院信息系 授課人：江成順 第 6章 數(shù)值積分與數(shù)值微分 插值型求積公式 三個常用的求積公式及其誤差 復(fù)化求積公式 數(shù)值微分法 016/10/25 2 為什么要進行數(shù)值積分 ？ 在微積分里 ， 按 要求被積函數(shù) f(x) 有解析表達式； f(x)的原函數(shù) F(x)為初等函數(shù) ( ) ( ) ( ) ( )f f x d x F b F a 數(shù)值積分 近似計算 ba (2016/10/25 3 f(x)有表達式，原函數(shù)是初等函數(shù)，但表達式相當復(fù)雜 . 但是在許多實際問題經(jīng)常遇到下列情況： f(x)沒有解析表達式 ， 只有數(shù)表形式 f(x)有表達式，但原函數(shù)不是初等函數(shù) 它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù) . 24 21 1 2 1 1l n a r c t a n ( 2 1 ) a r c t a n ( 2 1 ) 1 4 2 2 1 2 2x x xx 210xe d xx 1 2 3 4 5 f(x) 4 8 0s i n x 016/10/25 4 插值型求積公式 近似 計算 ba (思路 利用 插值多項式 則積分易算。 ( ) ( )nL x f x 在 a, b上取 a b，做 f 的 n 次插值 多項式 ，即得到 0( ) ( ) ( )nn i x f x l x 0( ) ( ) ( )x d x f x l x d x i ()()ji 由 節(jié)點 決定，與 f (x)無關(guān)。 插值型積分公式 ba n (式中 為 求積節(jié)點 ； i 稱為 求積系數(shù) . 機械求積公式 2016/10/25 5 當 時，可得到 插值型求積公式的余項 ( 1 ) () ( , )nf x M x a b ( ) ( ) b f f x L x d x( 1 )0() ()( 1 ) !n x x d () x d x 0( 1 ) !f x x d 2016/10/25 6 求積公式的的代數(shù)精度 定義 6若求積公式對于任意次數(shù) 多項式均能準確地成立，但對于 m+1次多項式不能準確成立，則稱該求積公式的 代數(shù)精度為 m 對于代數(shù)精度為 f(x)是不超過 求積公式是精確成立的 確定代數(shù)精度的方法 一般地，欲使求積公式 具有 0( ) d ( )x x f x 精度，只要令它對于 f (x) = 1， x， ， 能準確成立，而 對于 1不成立。 2016/10/25 7 解 逐次檢查公式是否精確成立 取 f(x) = 1： 10 1111 122= 取 f(x) = x ： 1012x d x 1 1 1 3 1 32 3 2 4 2 4 此求積公式的 代數(shù)精度為 0 例 6 , 求其代數(shù)精度。 101 1 1 3( ) ( ) ( )2 3 2 4f x d x f f2016/10/25 8 解 : 3h=A2 + + 9 故求積公式的形式為 解之得 h, , h. 9 4 3 4 f(x) f(0) + f(2h) 3h 4 9h 4 3h 0 由公式的構(gòu)造知 ,公式 至少 具有 2次代數(shù)精度 ; 當 f(x)= 公式的左邊 = 右邊 =18公式的左邊 右邊 ,說明此公式對 f(x)= 因此 , 公式只具有 2次代數(shù)精度 . 81 4 例 2 試構(gòu)造形如 f(x) )+ h)+ h) 的數(shù)值求積公式 ,使其代數(shù)精度盡可能高 ,并指出其代數(shù)精度的階數(shù). 3h 0 求積公式有 令公式對 f(x)=1, x, 準確成立 , 則有 2016/10/25 9 例 3 給定形如 的 求積公式，試確定系數(shù) ，使公式具有盡可能高的 代數(shù)精度 . )0()1()0()( 01010 010 , 當 時，得 1)( 111010 時，得 )( ;211001 分別代入求積公式使它精確成立 2,1)( 當 時 ， 得 2)( ,于是得 61,31,32010 0(61)1(31)0(32)(10當 時， 而上式右端為 ，故公 式對 不精確成立，其代數(shù)精度為 2. 3)( : 2016/10/25 10 定理 6對任給的 n+1個互異的求積節(jié)點 , 一個機械求積公式的代數(shù)精度有 n 次 該 公式為 插值型求積公式 。 插值型求積公式 是代數(shù)精度 最高 的求積公式 2016/10/25 11 三個常用的求積公式及其誤差 當節(jié)點 等距分布 時： .,1,0, 00()()()x d x d )!(! )1)()( )(令 )( 數(shù)僅取決于 n 和 i，可查表得到。與 f (x) 及區(qū)間 a, b均無關(guān)。 式 0( ) ( ) ( )x d x b a C f a i h 這時求積公式 2016/10/25 12 梯形公式 f(a) f(b) 曲邊梯形的面積 f(x) a b ( ) d ( ) ( ) 2f x x f a f b () ( ) ( ) , ( , ) ,2!f x a x b d x a b 其中 3 3 2 2 311( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6a x b d x b a a b b a 3 ( ) , ( , ) f f ah b 梯形公式的 代數(shù)精度為 1； 梯形公式的余項 用 梯形 面積近似 1n 2016/10/25 13 a 物形 面積近似 普森）公式 ( ) d ( ) 4 ( ) ( ) 62f x xb a a bf a f f b 將區(qū)間 a,b二等分 ，取端點 a， a+b)/2為節(jié)點 ( 4 )51 ( ) , ( , ) f f a b 數(shù)精度為 3； 2n 2016/10/25 14 特斯）公式 ( ) 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) 9 0 4 2 4f x xb a a b a b a bf a f f f f b 取區(qū)間 a,b的 4等分 點為節(jié)點 ( 6 )78 ( ) , ( , ) f f a 數(shù)精度為 5； 項 4n 2016/10/25 15 3n 取區(qū)間 a,b的 3等分 點為節(jié)點， ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) 8 3 3f x xb a a b a bf a f f f b 5 ( 5 )3 ( ) , ( , ) f h f a b s 3/8數(shù)精度為 3； s 3/8式的 代數(shù)精度至少為 n 次。 n 為 偶數(shù)階 的 公式至少有 n+1 次代數(shù)精度。 2016/10/25 16 例 6別利用 梯形公式、 計算積分 的近似值 。 12041I d 解 24011, , ( )a b f x x 10 012( ) ( ) ( )T f f f 1 4 2 32 1 0 10 4 162( ) ( ) ( ) ( )S f f f f 3 1 3 3 3 34 33715 . 1 1 1 37 0 3 2 1 2 3 2 7 19 0 4 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C f f f f f f 66772125 3 1 4 2 1 2.3 1 4 1 5 9 2 6.2016/10/25 17 中距形公式 2)(d)(a+b)/2, 用 0次插值多項式求積分得到 中矩形求積公式 3 ( ) , ( , ) f f a b 中矩形公式的 代數(shù)精度為 1； 中矩形公式公式的余項 (a+b)/2 f(x) a b 2016/10/25 18 8n 的牛頓 ()111221 2 126 3 61 3 3 1388887 16 2 16 7490 45 15 45 9019 25 25 25 25 195288 96 144 144 96 28841 9 9 34 9 9 416840 35 280 105 280 35 840751 357 7 132 3 298 9 298 9 132 3 357 7 7517172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80 172 80989 588 88283 50 283 592830 28104 96 104 96 588 8 989283 50 283454 0 92850 283 50 228 350 50 283 5028350柯特斯系數(shù)表 當 時，柯特斯系數(shù) 出現(xiàn)負值 8n )(計算結(jié)果誤差增大， 即計算不穩(wěn)定， )1(0C )1(1C)2(0C )2(1C )2(2C)3(2C)3(0C )3(1C )3(3C)4(2C)4(0C )4(1C )4(3C (4)4 0/25 19 柯特斯系數(shù)的性質(zhì) 01(2) 系數(shù)有對稱性。 i n (3) 當 n8時開始出現(xiàn)負值的柯特斯系數(shù)。 (1) 取 f(x)1， 則 f(n+1)(x)0, Rn(f)0， 于是 01 d ( ) ,b a c 012016/10/25 20 1. 5個節(jié)點的牛頓 3. 數(shù)值求積公式 的代數(shù)精度為 11 ( ) d 2 ( 0 )f x x f 52. 要使求積公式 具有 2次代數(shù)精度 1 1101( ) d ( 0 ) ( )4f x x f A f x1x 則 1A 342312016/10/25 21 10s i n 例 用牛頓 解 取i n)( ，則 1n , 1( 0 ) ( 1 ) 0 . 9 2 0 7 3 5 52T f f 2n , 11 ( 0 ) 4 ( ) ( 1 ) 0 . 9 4 6 1 3 5 962S f f f ， 3 , 0 . 9 4 6 1 1 0 9 ， 4 , 0 . 9 4 6 0 8 3 0 , 5 , 0 . 9 4 6 0 8 3 0 。 1n , 有 1 位； 2 , 3n ，有 3 位； 4 , 5n ，有 6 位有效數(shù)字。 2016/10/25 22 陷 ： 從余項公式可以看出，要提高求積公式的代數(shù)精度，必須 增加節(jié)點 個數(shù)，而節(jié)點個數(shù)的增加，會導(dǎo)致 （ 1） 插值多項式出現(xiàn) （ 2） n7） 余項： 對于給定的被積函數(shù)而言， 積分區(qū)間縮短 時，求積誤差以更快的速度減小。 2016/10/25 23 數(shù)值計算方法 漢學(xué)院信息系 授課人：江成順 復(fù)化求積公式 復(fù)化求積的基本思想 把積分區(qū)間分成若干子區(qū)間 (通常是 等分 )，再在每個子區(qū)間上用低階求積公式，然后把他們加起來作為整個區(qū)間上的積分，目的是提高精度 . 2016/10/25 25 化梯形公式 1 ( ) ( ) 2i i f x f x將區(qū)間 a,b劃分為 點 i=0,1,n, 在每個子區(qū)間 ( i=0,1,n 采用梯形公式 ,i a ih h n ba ( 110()x 110 ( ) ( ) ( ) i f x f x R f 復(fù)化梯形公式 11 ( ) 2 ( ) ( ) ,2f a f x f b 余項 2( ) ( ) f h f 2016/10/25 26 復(fù)化梯形 公式 1122( ) ( ) ( ) ( )f f a f x f b 復(fù)化梯形 公式的幾何意義 小梯形 面積 之和 近似 2016/10/25 27 復(fù)化 將區(qū)間 a,b分為 每個子區(qū)間 上采用記 ，則得 1212x h1 / 2 1 ( ) 4 ( ) ( ) 6i i i f x f x f x ba ( 110()x 11 / 2 10 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) i i f x f x f x R f 復(fù)化 辛普森 公式 111 / 201 ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( ) ,6i f a f x f x f b 4 4 4 4 4 4( 4 ) ( ) , ( , )1 8 0 2b a hR f f a b 余項 2016/10/25 28 復(fù)化 小拋物 面積 之和 近似 2016/10/25 29 將每個小區(qū)間 做 4等分，分點分別記為 ， 在區(qū)間 采用 復(fù)化 1414x h 1 / 4 1 / 2 3 / 4 17 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) 90i i i i i f x f x f x f x f x 11 / 4 1 / 2 3 / 4 10 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( ) 90nn i i i i f x f x f x f x f x 1 1 1 11 / 4 1 / 2 3 / 40 0 0 1 7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 1 4 ( ) 7 ( ) ,6n n n ni i i ii i i ih f a f x f x f x f x f b 121 ,2x h343 ,4x h 復(fù)化 6 ( 6 )2 ( )( ) ( ) ( ) , ( , ) 5 4a hR f I C f a b 復(fù)化 2016/10/25 30 例 6將區(qū)間做 4等分，然后用復(fù)化梯形公式及復(fù)化 公式計算 12041.I d 解 復(fù)化梯形 將積分區(qū)間 0,1劃分為 4等分，則 5323 3 . 1 3 1 1 8 ;17003 . 1 4 1 5 9 2 5 041 1 1 1 3 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1 ) 2 4 4 2 4T f f f f f 41 1 1 2 3 4 ( 0 ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( )6 4 8 8 8 85 6 74 ( ) 2 ( ) 4 ( ) (1 ) 8 8 8S f f f f ff f f f 2位有效數(shù)字， 6位有效數(shù)字 , 精度差別很大 . 復(fù)化 4 , h 2016/10/25 31 （ 1） 使用 復(fù)化 梯形 公式、 先要確定步長 h ； （ 2） 而步長要根據(jù) 余項 確定，這就涉及到 高階導(dǎo)數(shù) 的估計； （ 3） 高階導(dǎo)數(shù)的估計一般比較困難，且估計值往往偏大； 注意 事項： 步長 2016/10/25 32 龍貝格求積公式 /* 變步長復(fù)化求積公式的思想 將 積分區(qū)間逐次分半 ，建立遞推公式計算，直到滿足精度要求. 變步長復(fù)化梯形公式 逐次分半算法 1,n 0 12 ( ) ( ) ,2 f a f b ,h b a2,n / 2 ,h b a )()2(2)(422 1 4,n / 4 ,h b a)()4 )(3(2)2(2)4(2)(842 2 直到滿足精度要求為止。 10221 ()2 2 2h b f a 222110 21 ()22 f x 2016/10/25 33 設(shè)將區(qū)間 a,b 分為 有 n+1個分點， 如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至 2n+1個， 每個 區(qū)間 經(jīng)過二分增加了一個分點 12 11 ( ) ,2 x x 11 ( ) 2 ( ) ( ) ,2f a f x f b 用復(fù)化梯形公式求該子區(qū)間上的積分值 12 1 ( ) 2 ( ) ( ) f x f x f x112 1 100 2( ) ( ) ( )42i f x f x f x 110 21 ( ) f x 2016/10/25 34 120( ( 2 1 ) ) , 1 , 2 , 4 ,2 2 2b a b aT f a i 變步長復(fù)化梯形公式實際計算時的遞推公式 )()(21直到 為止， 作為積分的近似值 . 2 2 0/25 35 解 12041 .I d 例 6用變步長復(fù)化梯形公式計算 24( ) ,1fx x 先對整個區(qū)間 使用梯形公式，即 h=1 1,011 ( 0) ( 1 ) 3 f f 將區(qū)間二等分， h=1/2 ，求出中點的函數(shù)值 1 1 6( ) 3 25f 211 1 1( ) 3 . 1 2T T f 進一步二分求積區(qū)間， h=1/4 ， 并計算新分點上的函數(shù)值 1 6 4 3 6 4( ) , ( ) 7 4 2 5421 1 1 3( ) ( ) 3 . 1 3 1 1 7 6 4 7 2 4 4T T f f 的近似值，精確到 21 0 . 1 0 . 0 0 0 0 0 1 記 42 0 . 0 3 1 1 7 6 4 7 2 0 . 0 0 0 0 0 1 這樣不斷二分下去，計算結(jié)果見表 6 它表明用復(fù)化梯形公式計算積分 I 要達到 7位有效數(shù)字的精度需要二分區(qū)間 10次，即要有分點 1025個，計算量很大 . 2016/10/25 36 由 復(fù)化 梯形公式的余項知 () 變化不大時 由此得到近似關(guān)系式 21( ) ,12 h f 222 ( ) 2nb a f 42 21 4 1()3 3 3n n n n T T T T 221()3n n T T 收斂慢！ 2016/10/25 37 110 21233()nn n n h f x 10 212 )(221 nk 144 2 變步長復(fù)化辛普森公式 利用復(fù)化 梯形 公式前后兩次積分近似值 作出的 線性組合 ，即為復(fù)化 有 更高的精度 。 2016/10/25 38 一般有： 144 2144222144323列 法： ? ? ? ) 0 ( 0 T ) 3 ( 0 T ) 2 ( 0 T ) 1 ( 0 T ) 0 ( 1 T ) 0 ( 3 T ) 1 ( 1 T ) 0 ( 2 T ) 1 ( 2 T ) 2 ( 1 T 2016/10/25 39 例 6龍貝格算法計算積分 1204 d 解 110 ( 0 ) ( 1 ) 2T f f3121 0 1()2 2 224 21 1 3( ( ) ( ) )2 2 4 4TT f f 1 1 7 6 448 31 1 3 5 7( ( ) ( ) ( ) ( ) )2 2 8 8 8 8TT f f f f 3 0 9 4 1 61 1 01 ( 4 )3S T T3 3 3 3 3 32 2 11 ( 4 )3S T T3 1 5 6 8 72 2 11 ( 1 6 )15C S S3 2 1 1 7 7k 0 1 2 3 4 5 3 nT nS nC 016/10/25 40 前面介紹的 n+1個節(jié)點的 特征是節(jié)點是等距的。這種特點使得求積公式便于構(gòu)造，復(fù)合求積公式易于形成。但同時也限制了公式的精度。 數(shù)精度為 n+1， 數(shù)精度為 n 。 我們知道 n+1個節(jié)點 的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于 n 。 設(shè)想： 能不能在區(qū)間 a,b上適當選擇 n+1個節(jié)點 , x n , 使插值求積公式的代數(shù)精度高于 n？ 答案是肯定的 ， 適當選擇節(jié)點 ， 可使公式的精度最高達到 2n+1， 這就是本節(jié)所要介紹的高斯求積公式 。 2016/10/25 41 數(shù)值計算方法 漢學(xué)院信息系 授課人：江成順 * )()(構(gòu)造具有 2n+1次代數(shù)精度的求積公式 將節(jié)點 及系數(shù) 作為待定系數(shù)。令 f (x) = 1, x, , 代入可求解，得到的公式具有 2n+1 次代數(shù)精度。 一般 n+1節(jié)點的求積公式的代數(shù)精度最高為 2n+1次 . 定義 6若具有 n+1個求積節(jié)點的機械求積公式的代數(shù)精度至少為 2n+1，則稱之為 高斯求積公式 ，此時求積節(jié)點 , 斯點 。 2016/10/25 43 例 6積公式 試確定節(jié)點 10 0 1 11 ( ) ( ) ( ) ,f x d x f x f x 及 和系數(shù) ，使其具有近可能高的代數(shù)精度 . 0x 1x 01,解 令公式對于 準確成立，得 32 ,1)( 330 0 1 1( 4 ) 0 01( 1 ) 2 , 0 0 1 1( 2) 0 , 220 0 1 12( 3 ) ,3 221 1 1 0( ) 0 ,x x x 20)2()4( x由此得 1 1 1 02( ) x x 1 0 1 0( ) 2 .x x x 0)1()2( x0)2()3( x由此得出 與 異號，即 ，從而有 0x 1x 01 21111 , 不是線性方程組，不易求解。 2016/10/25 44 例 6積公式 試確定節(jié)點 10 0 1 11 ( ) ( ) ( ) ,f x d x f x f x 及 和系數(shù) ，使其具有近可能高的代數(shù)精度 . 0x 1x 01,解 令公式對于 準確成立，得 32 ,1)( 330 0 1 1( 4 ) 0 01( 1 ) 2 , 0 0 1 1( 2) 0 , 220 0 1 12( 3 ) ,3 于是可取 . 再由第 (1)式得 ，于是有 01 1)()3 3()(11當 時，兩端分別為 及 ，對 不精確成立，故公式的 代數(shù)精度為 3. 4)( 5292 4)( 33,3310 0/25 45 定義 6稱僅以區(qū)間 上的 i=0,1, n)為零點且首項系數(shù)為 1的 n+1次多項式，即 010( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn i x x x x x x x x x 為 讓德 )多項式 。 當積分區(qū)間是 a,b時， 做變換 ,22可將 a,b化為 ，從而 11 2016/10/25 46 10 ,1由 有遞推 111 2 1( ) ( )k k k x P k P 定理 62!( ) ( 1 ) ( 2 ) !nn x xn d x勒讓德多項式 的 零點 就是求積公式的 高斯點 . ( ) (正交多項式 2016/10/25 47 由 造以 斯 積公式 . 0k )(1 00 勒讓德求積公式 ),0(2)(11中矩形公式 1k )13(21)( 22 1)31()(11兩點高斯 三點高斯 )5)0(98)515(95)(1101111 , ( 1 ) ( 2 1 )k k k x P k P 2016/10/25 48 式的余項： Q： 什么樣的 插值多項式 在 有 2n+1 階？ A： 項式！ 滿足 )()(),()( ba ()(2122122222()()()()( ) !()()( ) !x d x d ( 2 2 )21() ( ) . ( , )( 2 2 ) !n x x d x a 2016/10/25 49 例 6分別利用 1點、 2點和 3點 d 解 做變量代換 則 11,22112201481 4 ( 1 )d x d 1111( ) ( ) ( )33g x d x g g 兩點高斯 三點高斯 115 1 5 8 5 1 5( ) ( ) ( 0 ) ( )9 5 9 9 5g x d x g g g 記 28()4 ( 1 )gx x 一點高斯 11( ) 2 ( 0)g x d x g 16 192 3 7 5 4 0 9 8618528 3 1 0 6 8 1 42715先將區(qū)間 0,1化為 ， 2016/10/25 50 數(shù)值微分法 為什么要作數(shù)值微分？ 對于用離散數(shù)據(jù)或者圖形表示的函數(shù) ， 計算微分只有求助于數(shù)值方法。 微分是重要的數(shù)學(xué)工具，是微分方程、 概率論等的基礎(chǔ)；在實際問題中有直接應(yīng)用。 2016/10/25 51 函數(shù) y=f(x)以離散值給出 (如已知 f(a), f(a+h), f( ()()( ()()( )()( T 0 x A y=f(x) B C a a+h 計算在點 x=a 處的 導(dǎo)數(shù) 向前差商 向后差商 最常用的中心差商公式 其中 為 步長 . 2016/10/25 52 分別將 在 x 處做泰勒展開有 ( )f x h2345( 4 ) ( 5 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! 3 !( ) ( )4 ! 5 !x h f x h f