高等數(shù)學(xué)-第9章 - (多元函數(shù)的極值).ppt

高等數(shù)學(xué),課程相關(guān),教材及相關(guān)輔導(dǎo)用書高等數(shù)學(xué)第一版，肖筱南主編,林建華等編著,北京大學(xué)出版社2010.8.高等數(shù)學(xué)精品課程下冊(cè)第一版，林建華等編著,廈門大學(xué)出版社,2006.7.高等數(shù)學(xué)第七版,同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解（同濟(jì)第七版上下合訂本）同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編高等教育出版社,2014.8.,第九章多元函數(shù)微分學(xué)9.1多元函數(shù)的基本概念9.2偏導(dǎo)數(shù)9.3全微分9.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則9.5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式9.6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用9.7方向?qū)?shù)與梯度9.8多元函數(shù)的極值9.9綜合例題,第九章,第八節(jié),一、極值及最大值、最小值,二、條件極值的拉格朗日乘數(shù)法,多元函數(shù)的極值,三、小結(jié)、思考題,引例1：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁，問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？,顯然每天的收益為,求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.,0、問題的提出,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,一、多元函數(shù)的極值和最值,1、二元函數(shù)極值的定義,(1),(2),(3),例1,例,例,函數(shù)存在極值,?,在簡單的情形下是,容易判斷的.,2、多元函數(shù)取得極值的條件,證,仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).,駐點(diǎn),極值點(diǎn),問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？,注意：,解,求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.,與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.,3、多元函數(shù)的最值,解,如圖,解,由,無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.,33,對(duì)自變量有附加條件的極值.,其他條件.,無條件極值,對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無,條件極值,二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法,34,問題.,有時(shí)條件極值,目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值.,可通過將約束條件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介紹解決條件極值問題的一般,方法:,下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法,35,拉格朗日乘數(shù)法:,現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù),在約束條件,下取得,如函數(shù)(1)在,由條件,(1),(2),極值的必要條件.,取得所求的極值,那末首先有,(3),確定y是x的隱函數(shù),不必將它真的解出來,則,于是函數(shù)(1),即,取得所,取得極值.,求的極值.,其中,代入(4)得:,由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:,(4),取得極值.,在,(3),(5)兩式,取得極值的必要條件.,就是函數(shù)(1)在條件(2)下的,37,設(shè),上述必要條件變?yōu)?,(6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):,(6),的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在,的值.,函數(shù),稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).,38,拉格朗日乘數(shù)法:,極值的必要條件,在條件,要找函數(shù),下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù),為某一常數(shù),其中,可由,解出,其中,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).,39,如何確定所求得的點(diǎn),實(shí)際問題中,非實(shí)際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論.,拉格朗日乘數(shù)法可推廣:,判定.,可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來,的情況.,自變量多于兩個(gè),是否為極值點(diǎn),?,解,則,解,可得,即,多元函數(shù)的極值,拉格朗日乘數(shù)法,（取得極值的必要條件、充分條件）,多元函數(shù)的最值,三、小結(jié),作業(yè),習(xí)題9.8（P91）1（1）、1（3），2（1）、2（3），5，6,48,練習(xí),解,為簡化計(jì)算,令,是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為,問題化為在,下求,的最小值.,目標(biāo)函數(shù),約束條件,49,設(shè),(1),(2),(3),(4),50,由于問題確實(shí)存在最小值，,故,得唯一駐點(diǎn),還有別的簡單方法嗎,