小學奧數—同余問題

.數論之同余問題余數問題是數論知識板塊中另一個內容豐富，題目難度較大的知識體系，也是各大杯賽小升初考試必考的奧數知識點，所以學好本講對于學生來說非常重要。許多孩子都接觸過余數的有關問題，并有不少孩子說“遇到余數的問題就基本暈菜了！”余數問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數定理（加法余數定理，乘法余數定理，和同余定理），及中國剩余定理和有關棄九法原理的應用。知識點撥：一、帶余除法的定義及性質：一般地，如果a是整數，b是整數（b0）,若有ab=qr，也就是abqr, 0rb；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:如圖，這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數，現在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數的角色，經過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數。這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關系。并且可以看出余數一定要比除數小。二、三大余數定理：1.余數的加法定理a與b的和除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23+16=39除以5的余數等于4，即兩個余數的和3+1.當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，故23+19=42除以5的余數等于3+4=7除以5的余數，即2.2.余數的乘法定理a與b的乘積除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以2316除以5的余數等于31=3。當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之積再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以2319除以5的余數等于34除以5的余數，即2.3.同余定理若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數a，b除以同一個數m得到的余數相同，則a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整數，即m|(ab)三、棄九法原理：在公元前9世紀，有個印度數學家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結果丟失而經常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進行的：例如：檢驗算式1234除以9的余數為11898除以9的余數為818922除以9的余數為4678967除以9的余數為7178902除以9的余數為0這些余數的和除以9的余數為2而等式右邊和除以9的余數為3，那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數除以9的余數的和再除以9的余數一定與等式右邊和除以9的余數相同。而我們在求一個自然數除以9所得的余數時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數的各個位數字之和除以9的余數就可以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結出棄九發(fā)原理：任何一個整數模9同余于它的各數位上數字之和。以后我們求一個整數被9除的余數，只要先計算這個整數各數位上數字之和，再求這個和被9除的余數即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數都是0，但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算式迷問題。四、中國剩余定理：1.中國古代趣題：中國數學名著孫子算經里有這樣的問題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三?！贝祟悊栴}我們可以稱為“物不知其數”類型，又被稱為“韓信點兵”。韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統(tǒng)御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。劉邦茫然而不知其數。 我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少？ 首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945（注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積），然后再加3，得9948（人）。 孫子算經的作者及確實著作年代均不可考，不過根據考證，著作年代不會在晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法，中國人發(fā)現得比西方早，所以這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法：對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我們就以孫子算經中的問題為例，分析此方法:今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？題目中我們可以知道，一個自然數分別除以3，5，7后，得到三個余數分別為2，3，2.那么我們首先構造一個數字，使得這個數字除以3余1，并且還是5和7的公倍數。先由，即5和7的最小公倍數出發(fā)，先看35除以3余2，不符合要求，那么就繼續(xù)看5和7的“下一個”倍數是否可以，很顯然70除以3余1類似的，我們再構造一個除以5余1，同時又是3和7的公倍數的數字，顯然21可以符合要求。最后再構造除以7余1，同時又是3，5公倍數的數字，45符合要求，那么所求的自然數可以這樣計算：，其中k是從1開始的自然數。也就是說滿足上述關系的數有無窮多，如果根據實際情況對數的范圍加以限制，那么我們就能找到所求的數。例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數”，那么我們可以計算得到所求如果加上限制條件“滿足上面條件最小的三位自然數”,我們只要對最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。例題精講：【模塊一：帶余除法的定義和性質】【例 1】 (第五屆小學數學報競賽決賽)用某自然數去除，得到商是46，余數是，求和【解析】 因為是的倍還多,得到，得，所以，【鞏固】 (清華附中小升初分班考試)甲、乙兩數的和是，甲數除以乙數商余，求甲、乙兩數【解析】 (法1)因為 甲乙，所以 甲乙乙乙乙；則乙，甲乙(法2)將余數先去掉變成整除性問題，利用倍數關系來做：從中減掉以后，就應當是乙數的倍，所以得到乙數，甲數【鞏固】 一個兩位數除310，余數是37，求這樣的兩位數?！窘馕觥?本題為余數問題的基礎題型，需要學生明白一個重要知識點，就是把余數問題-即“不整除問題”轉化為整除問題。方法為用被除數減去余數，即得到一個除數的倍數；或者是用被除數加上一個“除數與余數的差”，也可以得到一個除數的倍數。本題中310-37=273，說明273是所求余數的倍數，而273=3713，所求的兩位數約數還要滿足比37大，符合條件的有39，91.【例 2】 (年全國小學數學奧林匹克試題)有兩個自然數相除，商是，余數是，已知被除數、除數、商與余數之和為，則被除數是多少？【解析】 被除數除數商余數被除數除數+17+13=2113，所以被除數除數=2083，由于被除數是除數的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數=（2083-13）（17+1）=115，所以被除數=2083-115=1968【鞏固】 用一個自然數去除另一個自然數，商為40，余數是16.被除數、除數、商、余數的和是933，求這2個自然數各是多少？【解析】 本題為帶余除法定義式的基本題型。根據題意設兩個自然數分別為x,y，可以得到,解方程組得，即這兩個自然數分別是856，21.【例 3】 (2000年“祖沖之杯”小學數學邀請賽試題)三個不同的自然數的和為2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數也相同，這三個數是_，_，_。【解析】 設所得的商為，除數為，由，可求得，所以，這三個數分別是，。【鞏固】 (2004年福州市“迎春杯”小學數學競賽試題)一個自然數，除以11時所得到的商和余數是相等的，除以9時所得到的商是余數的3倍，這個自然數是_【解析】 設這個自然數除以11余，除以9余，則有，即，只有，所以這個自然數為?！纠?4】 (1997年我愛數學少年數學夏令營試題)有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠問：第二組有多少人? 【解析】 由，知，一組是10或11人同理可知，知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二組只能是15人，一組10人【鞏固】 一個兩位數除以13的商是6，除以11所得的余數是6，求這個兩位數【解析】 因為一個兩位數除以13的商是6，所以這個兩位數一定大于，并且小于；又因為這個兩位數除以11余6，而78除以11余1，這個兩位數為【模塊二：三大余數定理的應用】【例 5】 有一個大于1的整數，除所得的余數相同，求這個數.【解析】 這個題沒有告訴我們，這三個數除以這個數的余數分別是多少，但是由于所得的余數相同，根據同余定理，我們可以得到：這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數，的約數有，所以這個數可能為?！眷柟獭?有一個整數，除39,51,147所得的余數都是3，求這個數.【解析】 (法1) ，12的約數是，因為余數為3要小于除數，這個數是；(法2)由于所得的余數相同，得到這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數，所以這個數是【鞏固】 在小于1000的自然數中，分別除以18及33所得余數相同的數有多少個?(余數可以為0) 【解析】 我們知道18，33的最小公倍數為18，33=198，所以每198個數一次 1198之間只有1，2，3，17，198(余O)這18個數除以18及33所得的余數相同，而999198=59，所以共有518+9=99個這樣的數【鞏固】 (2008年仁華考題)一個三位數除以17和19都有余數，并且除以17后所得的商與余數的和等于它除以19后所得到的商與余數的和那么這樣的三位數中最大數是多少，最小數是多少？【解析】 設這個三位數為，它除以17和19的商分別為和，余數分別為和，則根據題意可知，所以，即，得所以是9的倍數，是8的倍數此時，由知由于為三位數，最小為100，最大為999，所以，而，所以，得到，而是9的倍數，所以最小為9，最大為54當時，而，所以，故此時最大為；當時，由于，所以此時最小為所以這樣的三位數中最大的是930，最小的是154【例 6】 兩位自然數與除以7都余1，并且，求【解析】 能被7整除，即能被7整除所以只能有，那么可能為92和81，驗算可得當時，滿足題目要求，【鞏固】 學校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網，如果將這三種物品平分給每個班級，那么這三種物品剩下的數量相同請問學校共有多少個班？【解析】 所求班級數是除以余數相同的數那么可知該數應該為和的公約數，所求答案為17【鞏固】 (2000年全國小學數學奧林匹克試題)在除13511，13903及14589時能剩下相同余數的最大整數是_【解析】 因為, ，由于13511，13903，14589要被同一個數除時，余數相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數整除，所以所求的最大整數是98【例 7】 (2003年南京市少年數學智力冬令營試題) 與的和除以7的余數是_【解析】 找規(guī)律用7除2，的余數分別是2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2的個數是3的倍數時，用7除的余數為1；2的個數是3的倍數多1時，用7除的余數為2；2的個數是3的倍數多2時，用7除的余數為4因為，所以除以7余4又兩個數的積除以7的余數，與兩個數分別除以7所得余數的積相同而2003除以7余1，所以除以7余1故與的和除以7的余數是【鞏固】 (2004年南京市少年數學智力冬令營試題)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中幾個數的和被9除余7，則將這幾個數歸為一組這樣的數組共有_組【解析】 1995，1998，2000，2001，2003除以9的余數依次是6，0，2，3，5因為，所以這樣的數組共有下面4個：， ， ，【例 8】 (2005年全國小學數學奧林匹克試題)有一個整數，用它去除70，110，160所得到的3個余數之和是50，那么這個整數是_【解析】 ，除數應當是290的大于17小于70的約數，只可能是29和58，所以除數不是58，所以除數是【鞏固】 (2002年全國小學數學奧林匹克試題)用自然數n去除63，91，129得到的三個余數之和為25，那么n=_【解析】 n能整除因為，所以n是258大于8的約數顯然，n不能大于63符合條件的只有43【鞏固】 號碼分別為101,126,173,193的4個運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的余數.那么打球盤數最多的運動員打了多少盤? 【解析】 本題可以體現出加法余數定理的巧用。計算101，126，173，193除以3的余數分別為2，0，2，1。那么任意兩名運動員的比賽盤數只需要用2，0，2，1兩兩相加除以3即可。顯然126運動員打5盤是最多的?！纠?9】 (2002年小學生數學報數學邀請賽試題)六名小學生分別帶著14元、17元、18元、21元、26元、37元錢，一起到新華書店購買成語大詞典一看定價才發(fā)現有5個人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、丙3人的錢湊在一起恰好可買2本，丁、戊2人的錢湊在一起恰好可買1本這種成語大詞典的定價是_元【解析】 六名小學生共帶錢133元133除以3余1，因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰好能買3本，所以他們五人帶的錢數是3的倍數，另一人帶的錢除以3余1易知，這個錢數只能是37元，所以每本成語大詞典的定價是 (元) 【鞏固】 (2000年全國小學數學奧林匹克試題)商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31千克，兩個顧客買走了其中的五箱已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_千克【解析】 兩個顧客買的貨物重量是的倍數，剩下的一箱貨物重量除以3應當余2，只能是20千克【例 10】 求的余數【解析】 因為，根據同余定理(三)， 的余數等于的余數，而，所以的余數為5【鞏固】 (華羅庚金杯賽模擬試題)求除以17的余數【解析】 先求出乘積再求余數，計算量較大可先分別計算出各因數除以17的余數，再求余數之積除以17的余數除以17的余數分別為2，7和11，【鞏固】 求的最后兩位數【解析】 即考慮除以100的余數由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因為除以4余1，則除以4余1；即能被4 和25整除，而4與25互質，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余數即等于除以100的余數，而除以100余29，除以100余43，所以除以100的余數等于除以100的余數，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后兩位數為63【鞏固】 除以13所得余數是_.【解析】 我們發(fā)現222222整除13，20006余2，所以答案為2213余9。【鞏固】 求除以7的余數【解析】 法一：由于 (143被7除余3)，所以 (被7除所得余數與被7除所得余數相等)而，（729除以7的余數為1）， 所以故除以7的余數為5. 法二： 計算被7除所得的余數可以用找規(guī)律的方法，規(guī)律如下表： 于是余數以6為周期變化所以【鞏固】 （2007年實驗中學考題）除以7的余數是多少？【解析】 由于，而1001是7的倍數，所以這個乘積也是7的倍數，故除以7的余數是0；【鞏固】 被除所得的余數是多少？【解析】 31被13除所得的余數為5，當n取1，2，3，時被13除所得余數分別是5，12，8，1，5，12，8，1以4為周期循環(huán)出現，所以被13除的余數與被13除的余數相同，余12，則除以13的余數為12；30被13除所得的余數是4，當n取1，2，3，時，被13除所得的余數分別是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6為周期循環(huán)出現，所以被13除所得的余數等于被13除所得的余數，即4，故除以13的余數為4；所以被13除所得的余數是【鞏固】 (2008年奧數網杯)已知，問：除以13所得的余數是多少？【解析】 2008除以13余6，10000除以13余3，注意到； 根據這樣的遞推規(guī)律求出余數的變化規(guī)律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍數而除以3余1，所以除以13的余數與除以13的余數相同，為6.【鞏固】 除以41的余數是多少？【解析】 找規(guī)律：，所以77777是41的倍數，而，所以可以分成399段77777和1個7組成，那么它除以41的余數為7【鞏固】 除以10所得的余數為多少？【解析】 求結果除以10的余數即求其個位數字從1到2005這2005個數的個位數字是10個一循環(huán)的，而對一個數的冪方的個位數，我們知道它總是4個一循環(huán)的，因此把所有加數的個位數按每20個(20是4和10的最小公倍數)一組，則不同組中對應的個位數字應該是一樣的首先計算的個位數字，為的個位數字，為4，由于2005個加數共可分成100組另5個數，100組的個位數字和是的個位數即0，另外5個數為、，它們和的個位數字是的個位數 3，所以原式的個位數字是3，即除以10的余數是3【例 11】 求所有的質數P，使得與也是質數【解析】 如果，則，都是質數，所以5符合題意如果P不等于5，那么P除以5的余數為1、2、3或者4，除以5的余數即等于、或者除以5的余數，即1、4、9或者16除以5的余數，只有1和4兩種情況如果除以5的余數為1，那么除以5的余數等于除以5的余數，為0，即此時被5整除，而大于5，所以此時不是質數；如果除以5的余數為4，同理可知不是質數，所以P不等于5，與至少有一個不是質數，所以只有滿足條件因數89909192939495969798因數【鞏固】 在圖表的第二行中，恰好填上這十個數，使得每一豎列上下兩個因數的乘積除以11所得的余數都是3【解析】 因為兩個數的乘積除以11的余數，等于兩個數分別除以11的余數之積因此原題中的可以改換為，這樣上下兩數的乘積除以11余3就容易計算了我們得到下面的結果：因數89909192939495969798因數37195621048進而得到本題的答案是：因數89909192939495969798因數91958997939490989296【鞏固】 (2000年“華杯賽”試題)3個三位數乘積的算式 (其中)， 在校對時，發(fā)現右邊的積的數字順序出現錯誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的是多少？【解析】 由于， 于是，從而(用代入上式檢驗)(1)，對進行討論：如果，那么(2)，又的個位數字是6，所以的個位數字為4，可能為、，其中只有符合(2)，經檢驗只有 符合題意如果，那么(3)，又的個位數字為2或7，則可能為、，其中只有符合(3)，經檢驗，不合題意如果，那么(4)，則可能為、，其中沒有符合(4)的如果，那么，因此這時不可能符合題意綜上所述，是本題唯一的解【例 12】 一個大于1的數去除290，235，200時，得余數分別為，則這個自然數是多少？【解析】 根據題意可知，這個自然數去除290，233，195時，得到相同的余數（都為）既然余數相同，我們可以利用余數定理，可知其中任意兩數的差除以這個數肯定余0那么這個自然數是的約數，又是的約數，因此就是57和38的公約數,因為57和38的公約數只有19和1，而這個數大于1，所以這個自然數是19【鞏固】 一個大于10的自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除220后所得的余數，則這個自然數是多少？【解析】 這個自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除后所得的余數，所以254和220除以這個自然數后所得的余數相同，因此這個自然數是的約數，又大于10，這個自然數只能是17或者是34如果這個數是34，那么它去除90、164、220后所得的余數分別是22、28、16，不符合題目條件；如果這個數是17，那么他去除90、164、220后所得的余數分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個自然數是17【例 13】 甲、乙、丙三數分別為603，939，393某數除甲數所得余數是除乙數所得余數的2倍，除乙數所得余數是除丙數所得余數的2倍求等于多少？【解析】 根據題意，這三個數除以都有余數，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來： 由于，要消去余數, , ,我們只能先把余數處理成相同的，再兩數相減這樣我們先把第二個式子乘以2，使得被除數和余數都擴大2倍，同理，第三個式子乘以4于是我們可以得到下面的式子： 這樣余數就處理成相同的最后兩兩相減消去余數，意味著能被整除，51的約數有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗17和51可知17滿足，所以等于17【鞏固】 一個自然數除429、791、500所得的余數分別是、，求這個自然數和的值. 【解析】 將這些數轉化成被該自然數除后余數為的數：，、，這樣這些數被這個自然數除所得的余數都是，故同余.將這三個數相減，得到、，所求的自然數一定是和的公約數，而，所以這個自然數是的約數，顯然1是不符合條件的，那么只能是19.經過驗證，當這個自然數是時，除、所得的余數分別為、，時成立,所以這個自然數是，.【模塊三：余數綜合應用】【例 14】 著名的裴波那契數列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串數列當中第2008個數除以3所得的余數為多少？【解析】 斐波那契數列的構成規(guī)則是從第三個數起每一個數都等于它前面兩個數的和，由此可以根據余數定理將裴波那契數列轉換為被3除所得余數的數列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九項和第十項連續(xù)兩個是1，與第一項和第二項的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數列被3除的余數每8個一個周期循環(huán)出現，由于2008除以8的余數為0，所以第2008項被3除所得的余數為第8項被3除所得的余數，為0.【鞏固】 （2009年走美初賽六年級）有一串數：1，1，2，3，5，8，從第三個數起，每個數都是前兩個數之和，在這串數的前2009個數中，有幾個是5的倍數？【解析】 由于兩個數的和除以5的余數等于這兩個數除以5的余數之和再除以5的余數所以這串數除以5的余數分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以發(fā)現這串余數中，每20個數為一個循環(huán)，且一個循環(huán)中，每5個數中第五個數是5的倍數由于，所以前2009個數中，有401個是5的倍數【例 15】 (圣彼得堡數學奧林匹克試題)托瑪想了一個正整數，并且求出了它分別除以3、6和9的余數現知這三余數的和是15試求該數除以18的余數【解析】 除以3、6和9的余數分別不超過2，5，8，所以這三個余數的和永遠不超過，既然它們的和等于15，所以這三個余數分別就是2，5，8所以該數加1后能被3，6，9整除，而，設該數為，則，即（為非零自然數），所以它除以18的余數只能為17【鞏固】 (2005年香港圣公會小學數學奧林匹克試題)一個家庭，有父、母、兄、妹四人，他們任意三人的歲數之和都是3的整數倍，每人的歲數都是一個質數，四人歲數之和是100，父親歲數最大，問：母親是多少歲? 【解析】 從任意三人歲數之和是3的倍數，100除以3余1，就知四個歲數都是型的數，又是質數只有7，13，19，31，37，43，就容易看出：父43歲，母37歲，兄13歲，妹7歲【例 16】 (華杯賽試題)如圖，在一個圓圈上有幾十個孔(不到100個)，小明像玩跳棋那樣，從孔出發(fā)沿著逆時針方向，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔他先試著每隔2孔跳一步，結果只能跳到B孔他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個圓圈上共有多少個孔嗎? 【解析】 設想圓圈上的孔已按下面方式編了號：A孔編號為1，然后沿逆時針方向順次編號 為2，3，4，B孔的編號就是圓圈上的孔數我們先看每隔2孔跳一步時，小明跳在哪些孔上?很容易看出應在1，4，7，10，上，也就是說，小明跳到的孔上的編號是3的倍數加1按題意，小明最后跳到B孔，因此總孔數是3的倍數加1同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數是5的倍數加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味著總孔數是7的倍數如果將孔數減1，那么得數既是3的倍數也是5的倍數，因而是15的倍數這個15的倍數加上1 就等于孔數，設孔數為，則（為非零自然數）而且能被7整除注意15被7除余1，所以被7除余6，15的6倍加1正好被7整除我們還可以看出，15的其他(小于的7)倍數加1都不能被7整除，而已經大于1007以上的倍數都不必考慮，因此，總孔數只能是【鞏固】 (1997年全國小學數學奧林匹克試題)將依次寫到第1997個數字，組成一個1997位數，那么此數除以9的余數是 _【解析】 本題第一步是要求出第1997個數字是什么，再對數字求和共有9個數字，共有90個兩位數，共有數字： (個), 共900個三位數，共有數字： (個),所以數連續(xù)寫，不會寫到999,從100開始是3位數，每三個數字表示一個數，即有602個三位數，第603個三位數只寫了它的百位和十位從100開始的第602個三位數是701，第603個三位數是9，其中2未寫出來因為連續(xù)9個自然數之和能被9整除，所以排列起來的9個自然數也能被9整除，702個數能分成的組數是： (組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數為【例 17】 設是質數，證明：，被除所得的余數各不相同【解析】 假設有兩個數、，()，它們的平方，被除余數相同那么，由同余定理得，即，由于是質數，所以或，由于，均小于且大于0，可知，與互質，也與互質，即，都不能被整除，產生矛盾，所以假設不成立，原題得證【鞏固】 試求不大于100，且使能被11整除的所有自然數n的和【解析】 通過逐次計算，可以求出被11除的余數，依次為：為3，為9，為5，為4，為1，因而被11除的余數5個構成一個周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；類似地，可以求出被11除的余數10個構成一個周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是被11除的余數也是10個構成一個周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；這就表明，每一個周期中，只有第3、4、6個這三個數滿足題意，即時能被11整除，所以，所有滿足條件的自然數n的和為：【鞏固】 若為自然數，證明【解析】 ，由于與的奇偶性相同，所以，如果能被5整除，那么；如果不能被5整除，那么被5除的余數為1、2、3或者4，被5除的余數為、被5除的余數，即為1、16、81、256被5除的余數，而這四個數除以5均余1，所以不管為多少，被5除的余數為1，而，即14個相乘，所以除以5均余1，則能被5整除，有所以由于2與5互質，所以【例 18】 設n為正整數，k被7除余數為2，k被11除余數為3，求n的最小值【解析】 2004被7除余數為2，被11除余數也為2，所以被7除余數為2，被11除余數為3由于被7除余2，而被7除余1，所以n除以3的余數為1；由于被11除余3，被11除余1，所以n除以10的余數為8可見是3和10的公倍數，最小為，所以n的最小值為28【鞏固】 有三個連續(xù)自然數，其中最小的能被15整除，中間的能被17整除，最大的能被19整除，請寫出一組這樣的三個連續(xù)自然數【解析】 設三個連續(xù)自然數中最小的一個為n，則其余兩個自然數分別為，依題意可知：，根據整除的性質對這三個算式進行變換：從上面可以發(fā)現應為15、17、19的公倍數由于，所以 (因為是奇數)，可得當時，所以其中的一組自然數為2430、2431、2432【例 19】 (2008年西城實驗考題)從1，2，3，n中，任取57個數，使這57個數必有兩個數的差為13，則n的最大值為多少？【解析】 被13除的同余序列當中，如余1的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到兩個相鄰的，這兩個數的差為13；如果沒有兩個相鄰的數，則沒有兩個數的差為13，不同的同余序列當中不可能有兩個數的差為13，對于任意一條長度為x的序列，都最多能取個數，使得取出的數中沒有兩個數的差為13，即從第1個數起隔1個取1個基于以上，n個數分成13個序列，每條序列的長度為或，兩個長度差為1的序列，要使取出的數中沒有兩個數的差為13，能夠被取得的數的個數之差也不會超過1，所以為使57個數中任意兩個數的差都不等于13，則這57個數被分配在13條序列中，在每條序列被分配的數的個數差不會超過1，那么13個序列有8個序列分配了4個數，5個序列分配了5個數，則這13個序列中8個長度為8，5個長度為9，那么當n最小為時，可以取出57個數，其中任兩個數的差不為13，所以要使任取57個數必有兩個數的差為13，那么n的最大值為108【鞏固】 從1，2，3，4，2007中取N個不同的數，取出的數中任意三個的和能被15整除N最大為多少？【解析】 取出的N個不同的數中，任意三個的和能被15整除，則其中任意兩個數除以15的余數相同，且這個余數的3倍能被15整除，所以這個余數只能是0，5或者10在中，除以15的余數為0的有，共有個；除以15的余數為5的有，共有134個；除以15的余數為10的有，共有134個所以N最大為134【例 20】 將自然數1，2，3，4依次寫下去，若最終寫到2000，成為，那么這個自然數除以99余幾？【解析】 由于，可以分別求這個數除以9和11的余數，進而求出它除以99的余數實際上求得這個數除以9和11的余數均為3，所以這個數減去3后是9和11的倍數，那么也是99的倍數，所以這個數除以99的余數為3下面介紹另一種解法由于，所以除以99的余數等于除以99的余數同樣，等數除以99的余數等于除以99的余數可知，一個自然數，如果在它后面加上偶數個0，那么這個數除以99的余數等于除以99的余數根據這一點，可以把分成若干個后面帶有偶數個0的數之和由于的位數是奇數，那么對于組成的一位數1，2，3，9，可以分成，；對于其中的兩位數10，11，12，98，99，可以分成，；對于其中的三位數100，101，102，103，998，999，兩兩一組，可以分成，；對于其中的四位數1000，1001，1999，2000，可以分成，2000那么上面分成的所有數中，雖然每個數后面的0的個數互不相同，但都是偶數個，且它們的和恰好為，那么除以99的余數就等于分成的這些數除以99的余數的和由于這些數除以99的余數分別為1，23，45，67，89；10，11，12，98，99；100101，102103，104105，998999；1000，1001，1999，2000，而其中100101，102103，104105，998999是公差為2002的等差數列，共450項，可知所有這些余數的和為：，而248804130除以99的余數等于除以99的余數，為3所以除以99的余數為3【鞏固】 將1至2008這2008個自然數，按從小到大的次序依次寫出，得一個多位數：1234567891011121320072008，試求這個多位數除以9的余數【解析】 以19992000這個八位數為例，它被9除的余數等于被9除的余數，但是由于1999與被9除的余數相同，2000與被9除的余數相同，所以19992000就與被9除的余數相同由此可得，從1開始的自然數1234567891011121320072008被9除的余數與前2008個自然數之和除以9的余數相同根據等差數列求和公式，這個和為：，它被9除的余數為1另外還可以利用連續(xù)9個自然數之和必能被9整除這個性質，將原多位數分成123456789，101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008等數，可見它被9除的余數與2008被9除的余數相同因此，此數被9除的余數為1【例 21】 (2008年清華附中考題)已知n是正整數，規(guī)定，令，則整數m除以2008的余數為多少？【解析】2008能夠整除，所以的余數是2007【鞏固】 的末三位數是多少？【解析】 首先，僅考慮后三位數字，所求的數目相當于的平方再乘以的末三位而，其末三位為；然后來看前者它是一個奇數的平方，設其為 (k為奇數)，由于，而奇數的平方除以8余1，所以是8的倍數，則是200的倍數，設，則，所以它與105的乘積，所以不論m的值是多少，所求的末三位都是625【例 22】 有2個三位數相乘的積是一個五位數，積的后四位是1031，第一個數各個位的數字之和是10，第二個數的各個位數字之和是8，求兩個三位數的和。【解析】 本題條件僅給出了兩個乘數的數字之和，同時發(fā)現乘積的一部分已經給出，即乘積的一部分數字之和已經給出，我們可以采用棄九法原理的倒推來構造出原三位數。因為這是一個一定正確的算式，所以一定可以滿足棄九法的條件，兩個三位數除以9的余數分別為1和8，所以等式一邊除以9的余數為8，那么1031除以9的余數也必須為8，只能是3.將31031分解質因數發(fā)現僅有一種情況可以滿足是兩個三位數的乘積，即所以兩個三位數是143和217，那么兩個三位數的和是360【例 23】 設的各位數字之和為，的各位數字之和為，的各位數字之和為，的各位數字之和為，那么？【解析】 由于一個數除以9的余數與它的各位數字之和除以9的余數相同，所以與、 除以9都同余，而2009除以9的余數為2，則除以9的余數與除以9的余數相同，而除以9的余數為1，所以除以9的余數為除以9的余數，即為5另一方面，由于，所以的位數不超過8036位，那么它的各位數字之和不超過，即；那么的各位數字之和，的各位數字之和，小于18且除以9的余數為5，那么為5或14，的各位數字之和為5，即課后練習：練習1. (2002年全國小學數學奧林匹克試題)兩數相除，商4余8，被除數、除數、商數、余數四數之和等于415，則被除數是_【解析】 因為被除數減去8后是除數的4倍，所以根據和倍問題可知，除數為，所以，被除數為。練習2. 已知2008被一些自然數去除，所得的余數都是10，那么這樣的自然數共有多少個？【解析】 本題為一道余數與約數個數計算公式的小綜合性題目。由題意所求的自然數一定是2008-10即1998的約數，同時還要滿足大于10這個條件。這樣題目就轉化為1998有多少個大于10的約數，共有（1+1）（3+1）（1+1）=16個約數，其中1，2，3，6，9是比10小的約數，所以符合題目條件的自然數共有11個。練習3. (全國小學數學奧林匹克試題)六張卡片上分別標上1193、1258、1842、1866、1912、2494六個數，甲取3張，乙取2張，丙取1張，結果發(fā)現甲、乙各自手中卡片上的數之和一個人是另個人的2倍，則丙手中卡片上的數是_(第五屆小數報數學競賽初賽) 【解析】 根據“甲、乙二人各自手中卡片上的數之和一個人是另一個人的2倍”可知，甲、乙手中五張卡片上的數之和應是3的倍數計算這六個數的總和是，10565除以3余2；因為甲、乙二人手中五張卡片上的數之和是3的倍數，那么丙手中的卡片上的數除以3余2六個數中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的數為1193練習4. 求的余數 【解析】 本題為余數乘法定理的拓展模式，即數字的乘方與一個數相除的余數情況。由644319余2，求原式的余數只要求的余數即可。但是如果用219發(fā)現會進入一個死循環(huán)，因為這時被除數比除數小了，所以可以進行適當的調整，6419余數為7，那么求的余數就轉化為求的余數，即4919的余數。4919余數為11，所以原式的余數為11.練習5. 已知60，154，200被某自然數除所得的余數分別是，求該自然數的值【解析】 根據題意可知，自然數61，154，201被該數除所得余數分別是，由于，所以自然數與同余；由于，所以與201同余，所以除數是和的公約數，運用輾轉相除法可得到，該除數為29經檢驗成立練習6. (香港圣公會小學數學奧林匹克試題)有三所學校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人三校共有高中生2196人有一所學校初中人數是高中人數的2倍；有一所學校初中人數是高中人數的1.5倍；還有一所學校高中、初中人數相等三所學校總人數是5480人，那么A?？側藬凳莀人【解析】 三所學校的高中生分別是：A校742人，B校732人，C校722人如果A校或C校初中