例說圓錐曲線中證明(求)直線過定點(diǎn)的問題

對(duì)圓錐曲線中證明（求）直線過定點(diǎn)的問題探討漆紹杰在圓錐曲線中直線與圓錐曲線相結(jié)合的問題是較為復(fù)雜的問題，其中有一類問題是證明（求）直線過一定點(diǎn)，對(duì)于這一類問題如何去思考呢？它們的共同的解題思路是怎樣的呢？下面讓我們一起來探討一下。既然直線過一定點(diǎn)，說明此直線的斜率是不定的，這使我們聯(lián)想到過定點(diǎn)的直線系方程，過一定點(diǎn)的直線系方程可以寫成的，那么我們先可寫出直線的方程，再根據(jù)方程判斷直線過哪一個(gè)定點(diǎn)。下面通過具體例子來說明。例1：已知拋物線上有兩動(dòng)點(diǎn)及一個(gè)定點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，且，成等差數(shù)列。（1）求證線段的垂直平分線經(jīng)過一定點(diǎn)；（2）若，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此拋物線的方程。分析：（1）設(shè)，成等差數(shù)列，結(jié)合定義得，由此可設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為。，弦的中垂線方程為：，故弦的中垂線過定點(diǎn)。（2）略。例2：在雙曲線的一支上有不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列。（1）求的值。（2）證明線段的垂直平分線經(jīng)過一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：（1），成等差數(shù)列，則結(jié)合定義得 ，（2）由此，可設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為由弦的中垂線方程為：故弦的中垂線過定點(diǎn)。例3：過拋物線上的定點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求證直線過定點(diǎn)。分析：設(shè)，則 因?yàn)辄c(diǎn)、與點(diǎn)不重合，所以故，直線的方程為：所以直線過定點(diǎn)。評(píng)析：直線方程雖然被我們“強(qiáng)行”寫了出來，但由此方程我們根本看不出直線過哪一定點(diǎn)，為此我們要利用題中所給的其它條件對(duì)此“強(qiáng)行”寫出的直線方程進(jìn)行變形，才可以達(dá)到我們的目的。例4：是拋物線上的兩點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：（1）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別是定值；（2）直線經(jīng)過一定點(diǎn)。分析：（1）設(shè)，則又由 （2）直線的方程為，故直線過定點(diǎn)。評(píng)析：和上題一樣我們要利用題中所給的其它條件對(duì)此“強(qiáng)行”寫出的直線方程進(jìn)行變形，才可以達(dá)到我們的目的。例5：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸，證明直線經(jīng)過原點(diǎn)。分析：設(shè)，則，直線的方程為要證直線經(jīng)過原點(diǎn)，只需證評(píng)析：此處不是由方程直接看出直線經(jīng)過原點(diǎn)，而是轉(zhuǎn)化為證常數(shù)項(xiàng)為0,這樣就避免了直接證帶來的困難。例6：已知橢圓的離心率為且在軸上的頂點(diǎn)分別為。（1）求橢圓的方程；（2）若直線（為大于2的一個(gè)定值）與軸交于點(diǎn)，為上的異于的任意一點(diǎn)，直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，證明直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。分析：（1） 故橢圓的方程為（2）設(shè)，直線的斜率為，則直線的方程為由消去得 判別式，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線與直線的交點(diǎn)在直線上，又所以由兩點(diǎn)式得直線的方程為，令得將代入得，故直線經(jīng)過定點(diǎn)。評(píng)析：此題的計(jì)算量相當(dāng)大，在解題思路上它和前幾題的解法既有相同的地方又有區(qū)別，屬于難題。通過對(duì)上面幾個(gè)同一類型問題的解題方法的探討，我們可以得出解決這一問題的一般性