拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程PPT精選文檔

1,2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,2,y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),y2=2px(p0),復(fù)習(xí)回顧,3,拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程對比,2.如何根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷拋物線的焦點(diǎn)位置及開口方向？,焦點(diǎn)在一次項字母對應(yīng)的坐標(biāo)軸上.,一次項系數(shù)的符號決定了拋物線的開口方向.,1.拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式上有什么共同特點(diǎn)?,左邊都是平方項，右邊都是一次項.,4,題型一（由方程求有關(guān)量）,感悟：求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程要注意兩點(diǎn):1.先化為標(biāo)準(zhǔn)方程2.判斷焦點(diǎn)的位置,即：準(zhǔn)確“定型”,5,練習(xí)：填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）,開口向右,開口向左,開口向上,開口向下,6,1.焦點(diǎn)為F（-2，0），則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.2.準(zhǔn)線方程是y=-2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.3.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.,y2=-8x,x2=8y,y2=8x、x2=8y,（1）,（2）,題型二（由有關(guān)量求標(biāo)準(zhǔn)方程）,感悟：1.“定型”“定量”2.如果焦點(diǎn)位置或者開口方向不定則要注意分類討論.,7,4.標(biāo)準(zhǔn)方程中p前面的正負(fù)號決定拋物線的開口方向,1.拋物線的定義:,2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式:每一對焦點(diǎn)和準(zhǔn)線對應(yīng)一種形式.,3.p的幾何意義是:,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,8,例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；,（2）已知拋物線的方程是y=6x2，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；,（3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。,112,9,練習(xí)1：,1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：,（1）焦點(diǎn)是F（3，0）；,（2）準(zhǔn)線方程是x=；,（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2。,y2=12x,y2=x,y2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y,10,課堂練習(xí),2、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)y2=20 x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,11,思考:M是拋物線y2=2px（p0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是,這就是拋物線的焦半徑公式!,12,3、(1)拋物線y2=2px（p0）上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a，則點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離是_，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為_,P67練習(xí)3(1),a,13,3、(2)拋物線y2=12x上與焦點(diǎn)的距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)為_,P67練習(xí)3(2),3,-3,14,2.若拋物線y2=8x上一點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是_.,15,變式練習(xí):已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)M(-3,m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,數(shù)形結(jié)合,用定義轉(zhuǎn)化條件。,16,5.求過點(diǎn)A（-3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,感悟：1.待定系數(shù)法2.數(shù)形結(jié)合3.分類討論,題型三（由有關(guān)量求標(biāo)準(zhǔn)方程）,17,4.求焦點(diǎn)在直線3x+4y-12=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,題型三（由有關(guān)量求標(biāo)準(zhǔn)方程）,標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的拋物線焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.,分析:,18,例2點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.,解：如圖,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),依題意可知點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4,0）為焦點(diǎn)的拋物線.,焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)M的軌跡方程為：y2=16x,l,x,O,y,F,19,題型四拋物線的應(yīng)用,例3:一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道,如下圖所示,已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍,若拱寬為am,求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值.,20,分析:要求拱寬a的最小值,需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出拋物線方程,然后利用方程求解.,21,22,23,24,25,題型一利用拋物線的定義求方程例1:若動圓M與圓C:(x-2)2+y2=1外切,又與直線x+1=0相切,則動圓圓心的軌跡方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x,答案:A,26,解析:如圖所示,設(shè)動圓圓心為M(x,y),半徑為R,由題設(shè)可知定圓圓心為C(2,0),半徑r=1.兩圓外切,|MC|=R+1.又動圓M與已知直線x+1=0相切,圓心M到直線x+1=0的距離d=R,|MC|=d+1.即動點(diǎn)M到定點(diǎn)C(2,0)的距離等于它到定直線x+2=0的距離.由拋物線的定義可知點(diǎn)M的軌跡為以C為焦點(diǎn),x+2=0為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=8x.故正確答案為A.,27,變式訓(xùn)練1:動點(diǎn)P到點(diǎn)(3,0)的距離比它到直線x=-2的距離大1,則動點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線C.雙曲線一支D.拋物線解析:將直線x=-2向左平移一個單位,由已知可得動點(diǎn)P到點(diǎn)(3,0)的距離等于到直線x=-3的距離.,答案:D,28,2.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是()A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4答案:A,解析:y2=8x=24x,p=4,準(zhǔn)線方程為,29,答案:B,解析:x2=ay的準(zhǔn)線方程為,a=-8.,30,答案:C,31,答案:B,32,33,6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線關(guān)于x軸對稱,頂點(diǎn)在原點(diǎn),且過點(diǎn)P(2,4),則該拋物線的方程為_.,y2=8x,解析:設(shè)拋物線方程為y2=ax,又拋物線過點(diǎn)P(2,4),則16=2a,a=8,y2=8x.,34,7.(2008上海,6)若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),則實(shí)數(shù)a=_.,-1,解析:由y2=4x得焦點(diǎn)F(1,0),代入直線方程得a+1=0.a=-1.,35,11.(2010福建卷)以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為圓心且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0,解析:拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑r=1,圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:D,36,題型二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析:首先需確定使用哪種標(biāo)準(zhǔn)方程形式,若無法確定,則應(yīng)討論,然后由條件求p的值.,37,例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點(diǎn)(-3,2);,38,(2)令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為F(0,-2)時,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p0),則由=2得p=4,所求拋物線方程為x2=-8y.令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為F(4,0)時,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),則由=4得p=8,所求拋物線方程為y2=16x.綜上,所求拋物線方程為x2=-8y或y2=16x.,例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上;,39,(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=所求拋物線方程為:y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.規(guī)律技巧:(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形狀,主要看其焦點(diǎn)的位置和開口方向.(2)不知道焦點(diǎn)的具體位置時,標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種一般形式:y2=mx(m0)或x2=ny(n0).,例2:求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,40,變式訓(xùn)練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過點(diǎn)(3,-4);,解:(1)點(diǎn)(3,-4)在第四象限,設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)或x2=-2p1y(p10).把點(diǎn)(3,-4)的坐標(biāo)分別代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p53,32=-2p15(-4),41,(2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15.拋物線的焦點(diǎn)為(0,-5)或(-15,0).故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-20y或y2=-60 x.,變式訓(xùn)練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)焦點(diǎn)在直線x+3y+15=0上.,42,1.到定點(diǎn)(3,5)與定直線2x+3y-21=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是()A.圓B.拋物線C.線段D.直線,解析:因為定點(diǎn)(3,5)在直線上,所以點(diǎn)的軌跡是直線.答案:D,43,方法：利用平移,44,3.動點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比到直線l:y=-4的距離小2，則動點(diǎn)P的軌跡方程為_,x2=8y,45,1.抓住標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn),注意與焦點(diǎn)位置,開口方向的對應(yīng)關(guān)系;2.拋物線的定義反映了拋物線的本質(zhì)，靈活應(yīng)用定義往往可以化繁為簡、化難為易，且思路清晰，解法簡捷，巧妙解法常常來源于對定義的恰當(dāng)運(yùn)用.,46,題型三與拋物線有關(guān)的最值問題例3:已知拋物線x2=4y,點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,6).求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之和的最小值.,提示：利用準(zhǔn)線,47,分析:由定義知,拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d,求|PA|與點(diǎn)P到x軸的距離之和的最小值,轉(zhuǎn)化成求|PA|+d-的最小值.,48,解:如下圖,易判斷知點(diǎn)A在拋物線外側(cè),設(shè)P(x,y),則P到x軸的距離即y值,設(shè)P到準(zhǔn)線y=-1的距離為d,則y=d-1.,故|PA|+y=|PA|+d-1,由拋物線定義知|PF|=d.于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由圖可知,當(dāng)APF三點(diǎn)共線時,|PA|+|PF|取最小值為13.故所求距離之和的最小值為|FA|-1=12.,49,規(guī)律技巧:定義是解決問題的基礎(chǔ)和靈魂,要善于思考定義和應(yīng)用定義,本題如果設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),利用兩點(diǎn)間距離公式求解,無法得到答案.由拋物線定義可知,|PF|等于P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,當(dāng)PAF三點(diǎn)共線時,|PA|+|PF|的距離最小,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.,50,變式訓(xùn)練3:(2008遼寧高考)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個動點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為(),解析:由拋物線的定義可知,拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離.由圖可知,P點(diǎn),(0,2)點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)(0.5,0)三點(diǎn)共線時距離之和最小.,51,答案:A,52,1.已知定點(diǎn)A(3,2)和拋物線y2=2x,F是拋物線焦點(diǎn)，試在拋物線上求一點(diǎn)P,使PA與PF的距離之和最小，并求出這個最小值.,提示：利用點(diǎn)到直線距離定義及二次函數(shù)最值,提示：利用準(zhǔn)線,53,54,55,規(guī)律技巧:這是拋物線的應(yīng)用問題.解題時,可畫出示意圖,幫助理解題意,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,作出解答.,56,變式訓(xùn)練4:某河上有座拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱頂5m時,水面寬8m,一木船寬4m,高2m,載貨后木船露在水面上的部分高為m,問水面上漲到與拱頂相距多少時,木船開始不能通航?,57,答:水面上漲到與拋物線拱頂相距2m時,船開始不能通航.,58,8.(2009海南寧夏卷)已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若P(2,2)為AB的中點(diǎn),則拋物線C的方程為_.,y2=4x,解析:設(shè)拋物線方程為y2=ax(a0),由方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0),B(a,a),而點(diǎn)P(2,2)為AB的中點(diǎn),從而a=4.故所求拋物線方程為y2=4x.,59,9.已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)M(m,-