黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）

哈爾濱市第六中學(xué)2018-2019學(xué)年度下學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷考試說(shuō)明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘（1）答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚；（2）選擇題必須使用2B鉛筆填涂, 非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫, 字體工整,字跡清楚；（3）請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效；（4）保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀第卷（選擇題共60分）一.選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知不等式的解集可知且；從而可解得的根，根據(jù)二次函數(shù)圖象可得所求不等式的解集.【詳解】由的解集為可知：且令，解得：， 解集為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)一次不等式的解集確定方程的根和二次函數(shù)的開(kāi)口方向.2.若，則下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通過(guò)特殊值可依次排除選項(xiàng)；根據(jù)不等式的性質(zhì)可知正確.【詳解】選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，由不等式性質(zhì)可得：，可知正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，可以通過(guò)特殊值的方式排除得到結(jié)果，也可以利用性質(zhì)直接證得結(jié)論.3.已知，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通過(guò)作差得到，根據(jù)判別式和開(kāi)口方向可知，從而得到結(jié)果.【詳解】 ，即本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查作差法判斷大小問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)作差得到二次函數(shù)，根據(jù)判別式和開(kāi)口方向得到符號(hào).4.各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列中，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（ ）A. 4B. 8C. 16D. 64【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得：又各項(xiàng)不為零 ，即由等比數(shù)列性質(zhì)可得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得，成等比數(shù)列；假設(shè)，利用等比數(shù)列定義可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)可知：，成等比數(shù)列設(shè)，則 ，即 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確數(shù)列依然成等比數(shù)列，進(jìn)而可通過(guò)等比數(shù)列定義推得結(jié)果.6.已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和.已知，則 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將已知條件化成等比數(shù)列基本量的形式，構(gòu)成和的方程，解方程求得基本量；再利用等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得：又是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 且， 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)已知條件構(gòu)成關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程，求解得到首項(xiàng)和公比.7.已知菱形的邊長(zhǎng)為，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由題意得，設(shè)，根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，可知，故選D.考點(diǎn)：向量的數(shù)量積的運(yùn)算.8.在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，且三邊成等比數(shù)列，則的值為（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】試題分析：在中，由，利用正弦定理得，所以，得，由余弦定理得，又成等比數(shù)列，所以，所以，所以，故選C考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理的應(yīng)用9.數(shù)列滿足：，若數(shù)列是等比數(shù)列，則的值是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，可知，根據(jù)式子恒成立，可知對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相同，從而求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列 即：上式恒成立，可知： 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列的定義求解參數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相同求解出結(jié)果.10.已知數(shù)列：，那么數(shù)列前項(xiàng)和為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】歸納總結(jié)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到；采用裂項(xiàng)相消的方式求得.【詳解】由題意可知：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)歸納總結(jié)得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.11.向量的夾角為，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求解出；再通過(guò)平方運(yùn)算可得，根據(jù)，可求得所求最大值.【詳解】 又 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)最值的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)平方運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角的運(yùn)算問(wèn)題，再根據(jù)夾角余弦值的范圍得到所求模長(zhǎng)的最值.12.已知數(shù)列， ，且對(duì)于任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得：；由可知.【詳解】 ，則：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)的通項(xiàng)公式得到為等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.第II卷（非選擇題共90分）二.填空題（本大題共4小題,每題5分.）13.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則_【答案】.【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，求得結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證滿足此結(jié)果，從而可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)，綜上所述：，本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，關(guān)鍵是利用求得結(jié)果，一定要注意驗(yàn)證首項(xiàng).14.設(shè)，向量，且，則_.【答案】【解析】由題意可得：，故：，據(jù)此可得：.15.在數(shù)列中，則_【答案】.【解析】【分析】通過(guò)變形可得；通過(guò)累加的方式求得.【詳解】由題意得：則，左右兩側(cè)分別作和可得：又 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系的形式確定采用累加法來(lái)求解通項(xiàng)公式.16.若數(shù)列各項(xiàng)均不為零，前n項(xiàng)和為，且，則_【答案】.【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可整理得：；由此可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，通過(guò)等差數(shù)列求和公式分別求得結(jié)果，加和即可.【詳解】由得：，且，即 又 數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)遞推公式得到數(shù)列的特點(diǎn)，從而可采用分組求和的方式求得結(jié)果.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，若數(shù)列前項(xiàng)和為，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將和化成和的形式，求解出基本量后得到；根據(jù)和求解出和，從而得到；（2）根據(jù)（1）得到，采用分組求和的方法分別求解等差和等比數(shù)列的和，加和得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：，即又，可知：，即， （2）由（1）得：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解、分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.18.解關(guān)于的不等式【答案】見(jiàn)解析.【解析】【分析】將不等式變?yōu)椋桓鶕?jù)二次項(xiàng)系數(shù)為零、開(kāi)口方向、實(shí)根個(gè)數(shù)與大小分別討論不同取值范圍下的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)不等式的求解問(wèn)題，要通過(guò)二次項(xiàng)系數(shù)、開(kāi)口方向、實(shí)根個(gè)數(shù)和大小確定參數(shù)不同取值下的解集.19.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列，滿足，且（1）求數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將已知條件化為基本量的形式，分別求得公差和公比，從而根據(jù)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）由（1）可得，從而可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.【詳解】（1）由題意知： 又 （2）由（1）得：則：上下兩式作差得：即：整理可得：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)得到通項(xiàng)公式后，根據(jù)通項(xiàng)公式為等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積的形式，可確定采用錯(cuò)位相減法求和.20.在銳角中，角所對(duì)的邊是，若向量與共線.（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線得到邊角關(guān)系式，利用正弦定理和兩角和差公式可求得，進(jìn)而得到；（2）根據(jù)正弦定理可得：，從而可化簡(jiǎn)為；根據(jù)銳角三角形求得的范圍，進(jìn)而求得三角函數(shù)的范圍，即可得的范圍.詳解】（1）與共線 由正弦定理得：又 （2）由正弦定理得：則， 又為銳角三角形 ， 【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、邊長(zhǎng)范圍的求解問(wèn)題，涉及到向量共線的知識(shí)和三角函數(shù)值域的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)⑦呴L(zhǎng)的范圍通過(guò)正弦定理變?yōu)榻嵌葐?wèn)題，通過(guò)三角函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.21.在中，角所對(duì)的邊是，若（1）求的值；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，求的面積【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)和三角形內(nèi)角和關(guān)系可求得，根據(jù)正弦定理可得，從而求得結(jié)果；（2）將延長(zhǎng)到，使得，從而可構(gòu)成平行四邊形；在中利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于的方程，利用（1）中關(guān)系可求解出；代入三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：由正弦定理得：（2）延長(zhǎng)到，使得，如下圖所示：由向量運(yùn)算可知：即四邊形為平行四邊形，又 在中，由余弦定理可得：由（1）知：，解得：，【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面積公式的應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)向量關(guān)系將三角形擴(kuò)展到平行四邊形，從而在擴(kuò)展后所得三角形中利用余弦定理構(gòu)造方程，從而求解出所需的邊長(zhǎng).22.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，滿足(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求；（