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湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2019屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，則 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A中的元素，從而求出A的補(bǔ)集即可或者將分別代入檢驗(yàn).【詳解】解法1：，故 ，所以選C.解法2：將分別代入檢驗(yàn)，可得，故 ，所以選C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的運(yùn)算，考查不等式解法，是基礎(chǔ)題2.若為第二象限角則復(fù)數(shù) （為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)，然后判斷對(duì)應(yīng)三角函數(shù)的符號(hào)即可得到答案.【詳解】解：因?yàn)闉榈诙笙藿撬?，即?fù)數(shù)的實(shí)部為負(fù)數(shù)，虛部為正數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)平面的點(diǎn)的相關(guān)概念，難度較小.3.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，則A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】試題分析：由已知，所以故選C.【考點(diǎn)】等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法.4.條件，條件，則是的（）A. 充分非必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要的條件【答案】A【解析】試題分析：條件等價(jià)于，條件等價(jià)于集合，因?yàn)?，且，所以是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件考點(diǎn)：充分必要條件5.設(shè)函數(shù)，則使成立的的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通過(guò)判斷原函數(shù)單調(diào)性和奇偶性脫離f，建立不等式關(guān)系解出即可.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，即函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，易得為增函數(shù)，則，變形可得：，解可得或，即的取值范圍為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性以及通過(guò)函數(shù)性質(zhì)解不等式問(wèn)題，難度中等.6.如圖所示，半徑為1的圓是正方形的內(nèi)切圓，將一顆豆子隨機(jī)地扔到正方形內(nèi)，用表示事件“豆子落在圓內(nèi)”，表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內(nèi)”，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用幾何概型先求出，再由條件概率公式求出【詳解】如圖所示，半徑為1的圓O是正方形MNPQ的內(nèi)切圓，將一顆豆子隨機(jī)地扔到正方形MNPQ內(nèi)，用A表示事件“豆子落在圓O內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形陰影部分內(nèi)”，則，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查幾何概型、條件概率能等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題7.某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長(zhǎng)，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個(gè)數(shù).詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個(gè)，故選C.點(diǎn)睛：此題考查三視圖相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)可將簡(jiǎn)單幾何體放在正方體或長(zhǎng)方體中進(jìn)行還原，分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長(zhǎng)，進(jìn)而可進(jìn)行棱長(zhǎng)、表面積、體積等相關(guān)問(wèn)題的求解.8.已知，則的展開式中的系數(shù)為（）A. B. 15C. D. 5【答案】D【解析】由題意得，故求的展開式中的系數(shù)， 展開式的通項(xiàng)為展開式中的系數(shù)為選D9.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，并且的圖象如圖所示，則的表達(dá)式可以為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件先求出和，結(jié)合函數(shù)圖象變換關(guān)系進(jìn)行求解即可【詳解】g（0）2sin1，即sin，或（舍去）則g（x）2sin（x），又當(dāng)k=1,即g（x）2sin（x），把函數(shù)g（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到到原來(lái)的，得到y(tǒng)2sin（4x），再把縱坐標(biāo)縮短到到原來(lái)的，得到y(tǒng)sin（4x），再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，即g（x）sin（x-）故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)條件求出 和的值以及利用三角函數(shù)圖象平移變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵10.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用對(duì)稱求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可得，再利用兩點(diǎn)間距離得出關(guān)于方程，從而解得漸近線方程.【詳解】解：設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，不妨設(shè)漸近線方程為，故有，解得，因?yàn)?，所以，根?jù)兩點(diǎn)間距離可得，即，即，即，即，可得，所以，故漸近線方程為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí)，考查了雙曲線漸近線方程、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，解題時(shí)需要有較強(qiáng)的運(yùn)算能力.11.電子計(jì)算機(jī)誕生于20世紀(jì)中葉，是人類最偉大的技術(shù)發(fā)明之一計(jì)算機(jī)利用二進(jìn)制存儲(chǔ)信息，其中最基本單位是“位（bit）”，1位只能存放2種不同的信息：0或l，分別通過(guò)電路的斷或通實(shí)現(xiàn)“字節(jié)（Byte）”是更大的存儲(chǔ)單位，因此1字節(jié)可存放從至共256種不同的信息將這256個(gè)二進(jìn)制數(shù)中，所有恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的所有數(shù)相加，則計(jì)算結(jié)果用十進(jìn)制表示為（）A. 254B. 381C. 510D. 765【答案】B【解析】【分析】將符合題意的二進(jìn)制數(shù)列出，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，然后相加得出結(jié)果.【詳解】恰有相鄰兩位數(shù)是1其余各位數(shù)均是0的二進(jìn)制數(shù)為，共個(gè).轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制并相加得，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制，閱讀與理解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a=A. B. C. D. 1【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為.設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為，若，函數(shù)與函數(shù)沒有交點(diǎn)；若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)，即，解得.故選C.【名師點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量滿足，且，則在方向上的投影為_【答案】1【解析】【分析】通過(guò)向量的數(shù)量積及投影的相關(guān)概念建立方程即可得到答案.【詳解】解： 向量滿足，且，則在方向上的投影為：故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積，及投影的相關(guān)概念，難度較小.14.設(shè)滿足約束條，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_【答案】4【解析】【分析】畫出不等式表示的平面區(qū)域，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)表示的斜率式觀察圖像即可得到答案.【詳解】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，由圖象知的斜率最大，由得，此時(shí)的斜率，即的最大值為4故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，在于考查學(xué)生的作圖能力及轉(zhuǎn)化能力，此題只需將目標(biāo)函數(shù)化為斜率式即可得到答案.15.已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若，則_【答案】【解析】【分析】畫出幾何圖像，建立幾何關(guān)系，通過(guò)建立方程即可得到答案.【詳解】解：由題意利用定義，結(jié)合其他幾何性質(zhì)可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線又直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，連接，所以設(shè)，所以，作，則垂足為的中點(diǎn)，設(shè)，則，求得、，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等.16.某工廠現(xiàn)將一棱長(zhǎng)為的正四面體毛坯件切割成一個(gè)圓柱體零件，則該圓柱體體積的最大值為_【答案】【解析】【分析】找出正四面體中內(nèi)接圓柱的最大值的臨界條件，通過(guò)體積公式即可得到答案.【詳解】解：圓柱體體積最大時(shí)，圓柱的底面圓心為正四面體的底面中心，圓柱的上底面與棱錐側(cè)面的交點(diǎn)在側(cè)面的中線上正四面體棱長(zhǎng)為，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則由三角形相似得：，即，圓柱的體積，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)圓柱的最大體積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生空間想象能力,以及分析問(wèn)題的能力，基本不等式的運(yùn)用,難度較大.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知分別是的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，角是最小的內(nèi)角，且（）求的值；（）若的面積為42，求的值【答案】() ;() .【解析】【分析】()由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理可得，結(jié)合，整理可得，又，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值 ()由()及三角形的面積公式可求的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)余弦定理可求的值【詳解】() 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：()由()知，又的面積為42，且，從而有，解得，又角是最小的內(nèi)角，所以，且，得，由余弦定理得，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想。18.如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)通過(guò)面面垂直的判定轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直從而證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量計(jì)算即可.【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)， ，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，又，四邊形是平行四邊形，是等邊三角形，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面解：（2）由（1）得平面，又，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力及計(jì)算能力,難度不大.建立合適的空間直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵.19.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，分別記，的面積為，求的最大值【答案】（）（）4【解析】【分析】（）根據(jù)橢圓中相關(guān)量的幾何性質(zhì)即可算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線，直曲聯(lián)立，得到維達(dá)定理，進(jìn)而表示出相關(guān)量，從而算出最大值.【詳解】解：（）根據(jù)題意可得：，解得：故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（）由（）知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，于是；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，設(shè)，聯(lián)立，得，于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)的最大值為4綜上，的最大值為4【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)計(jì)算，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及基本不等式問(wèn)題,主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.20.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)10元；重量超過(guò)的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過(guò)的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需再收5元該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如表：包裹重量（單位：kg）12345包裹件數(shù)43301584公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如表：包裹件數(shù)范圍0100101200201300301400401500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)6630126以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率（1）計(jì)算該公司未來(lái)3天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101400之間的概率；（2）估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每天攬件不超過(guò)150件，工資100元公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利？【答案】(1)；(2)(i)15元；(ii)答案見解析.【解析】試題分析：先計(jì)算出包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為，然后得到頻率，估計(jì)出概率，運(yùn)用二項(xiàng)分布求出結(jié)果(2)運(yùn)用公式求出每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值(3)先將天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，分別計(jì)算出不裁員和裁員兩種情況的利潤(rùn)，從而作出比較解析：（1）樣本包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為，頻率，故可估計(jì)概率為，顯然未來(lái)天中，包裹件數(shù)在之間的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，故所求概率為.（2）（i）樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：）快遞費(fèi)（單位：元）包裹件數(shù)故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為（元），故該公司對(duì)每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為元.（ii）根據(jù)題意及（2）（i），攬件數(shù)每增加，可使前臺(tái)工資和公司利潤(rùn)增加（元），將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍包裹件數(shù)（近似處理）天數(shù)頻率若不裁員，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)（近似處理）實(shí)際攬件數(shù)頻率 故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為（元）；若裁員人，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)（近似處理）實(shí)際攬件數(shù)頻率 故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為（元）.因，故公司將前臺(tái)工作人員裁員人對(duì)提高公司利潤(rùn)不利.點(diǎn)睛：本題考查了頻率和概率、平均值的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算出頻率來(lái)估計(jì)概率的取值，運(yùn)用二項(xiàng)分布求出事件概率，在比較裁員與不裁員的情況下分別算出期望值，來(lái)比較利潤(rùn)的大小，從而為作出決策提供依據(jù)。21.已知函數(shù)（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在上恒成立【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）可得m=lnx-x令g（x）=lnx-x，可得g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+）單調(diào)遞減，則mg（1）=-1即可，（2）f（x）+（x-2）ex0，可得m（x-2）ex+lnx-x設(shè)h（x）=（x-2）ex+lnx-x，x，；，設(shè)設(shè)，使得，即，x0=-lnx0，設(shè)，可得，即當(dāng)時(shí)，即可【詳解】（1）令，；令， 令，解得，令，解得， 則函數(shù)在上單點(diǎn)遞增，在上單點(diǎn)遞減，。要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖像與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為。 （2），；設(shè)，； 設(shè)，則在上單調(diào)遞增. 又，.，使得，即，. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. .設(shè)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在上恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點(diǎn)（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值【答案】(1) 曲線的直角坐標(biāo)方程為即，直線的普通方程為；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù)，可得直線的普通方程，極坐標(biāo)方程兩邊同乘以