第一輪復習數(shù)學：4.2兩角和與差、二倍角的公式一

4.2 兩角和與差、二倍角的公式（一）知識梳理1.C（+）的推導角的始邊為Ox，交單位圓于P1，終邊OP2交單位圓于P2，角的始邊為OP2，終邊交單位圓于P3，角的始邊為Ox，終邊交單位圓于P4，由|=|，得cos（+）12+sin2（+）=cos（）cos2+sin（）sin2.cos（+）=coscossinsin.2.S（）、C（）、T（）以及推導線索（1）在C（+）中以代即可得到C（）.（2）利用cos（）=sin即可得到S（+）；再以代即可得到S（）.（3）利用tan=即可得到T（）.說明：理清線索以及各公式間的內(nèi)在聯(lián)系，是記憶公式的前提.只有這樣才能記牢公式，才能用活公式.點擊雙基1.（2004年重慶，5）sin163sin223+sin253sin313等于A.B.C.D.解析：原式=sin17（sin43）+（sin73）（sin47）=sin17sin43+cos17cos43=cos60=.答案：B2.（2005年春季北京，7）在ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么ABC一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.cosAsinBsinAcosB=0.sin（BA）=0.B=A.答案：B3.的值是A.B.C.D.解析：原式=.答案：C4.已知（0，），（，），sin（+）=，cos=，則sin=_.解析：由0，得+.故由sin（+）=，得cos（+）=.由cos=，得sin=.sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=（）（）=.答案：5.ABC中，若b=2a，B=A+60，則A=_.解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin（A+60）2sinA=0cosA3sinA=0sin（30A）=030A=0（或180）A=30.答案：30典例剖析【例1】 設(shè)cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.剖析：=（）（）.依上述角之間的關(guān)系便可求之.解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos（）=cos（）（）=.cos（+）=2cos21=.評述：在已知角的某一三角函數(shù)值而求另外一些角的三角函數(shù)值時，首先要分析已知和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系.其中變角是常見的三角變換.【例2】 （2000年春季京、皖）在ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c.證明：=.剖析：由于所證結(jié)論是三角形的邊、角關(guān)系，很自然地使我們聯(lián)想到正弦定理、余弦定理.證明：由余弦定理a2=b2+c22bccosA，b2=a2+c22accosB，a2b2=b2a22bccosA+2accosB，整理得=.依正弦定理有=，=，=.評述：在解三角形中的問題時，首先應(yīng)想到正余弦定理，另外還有A+B+C=，a+bc，abABsinAsinB等.【例3】 已知、（0，），sin+sin=sin，cos+cos=cos，求的值.剖析：由已知首先消去是解題關(guān)鍵.解：由已知，得sin=sinsin，cos=coscos.平方相加得（sinsin）2+（coscos）2=1.2cos（）=1.cos（）=.=.sin=sinsin0，.=.評述：本題極易求出=，如不注意隱含條件sin0，則產(chǎn)生增根.因此求值問題要注意分析隱含條件.闖關(guān)訓練夯實基礎(chǔ)1.（2004年上海，1）若tan=，則tan（+）=_.解析：tan（+）=3.答案：32.要使sincos=有意義，則應(yīng)有A.mB.m1C.m1或mD.1m解析：2sin（）=sin（）=.由111m.答案：D3.（2004年福建，2）tan15+cot15等于A.2B.2+C.4D.解析一：tan15+cot15=+=4.解析二：由tan15=tan（4530）=.原式=+=4.答案：C4.在ABC中，若=，則ABC的形狀為_.解析：左邊利用正弦定理，右邊“切變弦”，原式可化為=sin2A=sin2B2A=2B或2A=2BA=B或A+B=.答案：等腰三角形或直角三角形5.（2004年湖南，17）已知tan（+）=2，求的值.解：由tan（+）=2，得tan=.于是=.6.已知cos=，cos（+）=，、（0，），求.解：由cos=，cos（+）=，得cos=cos（+）=，得=.培養(yǎng)能力7.已知sin（x）=，0x，求的值.分析：角之間的關(guān)系：（x）+（+x）=及2x=2（x），利用余角間的三角函數(shù)的關(guān)系便可求之.解：（x）+（+x）=，cos（+x）=sin（x）.又cos2x=sin（2x）=sin2（x）=2sin（x）cos（x），=2cos（x）=2=.8.已知sin=msin（2+）（m1），求證：tan（+）=tan.證明：sin=msin（2+），sin（+）=msin（+）+.sin（+）coscos（+）sin=msin（+）cos+mcos（+）sin.（1m）sin（+）cos=（1+m）cos（+）sin.tan（+）=tan.9.（2005年北京西城區(qū)抽樣測試）已知sin2=，（，）.（1）求cos的值；（2）求滿足sin（x）sin（+x）+2cos=的銳角x.解：（1）因為，所以23.所以cos2=.由cos2=2cos21，所以cos=.（2）因為sin（x）sin（+x）+2cos=，所以2cos（1sinx）=.所以sinx=.因為x為銳角，所以x=.探究創(chuàng)新10.sin+sin=，求cos+cos的取值范圍.解：令t=cos+cos，sin+sin=，2+2，得t2+=2+2cos（）.2cos（）=t22，2.t，.思悟小結(jié)1.不僅要能熟練推證公式（建議自己推證一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，還要熟練掌握公式的變形應(yīng)用.2.注意拆角、拼角技巧，如=（+），2=（+）+（）等.3.注意倍角的相對性，如3是的倍角.4.要時時注意角的范圍的討論.教師下載中心教學點睛1.本節(jié)公式多，內(nèi)在聯(lián)系密切，建議復習時，要使學生理清公式間的推導線索，讓學生親自推導一下C（+）.2.公式應(yīng)用講究一個“活”字，即正用、逆用、變形用，還要創(chuàng)造條件應(yīng)用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意結(jié)合題目使學生體會其間的規(guī)律.拓展題例【例1】 已知a=（cos，sin），b=（cos，sin），（ab）.求證：（a+b）（ab）.分析：只要證（a+b）（ab）=0即可.證法一：（a+b）（ab）=|a|2|b|2=11=0，（a+b）（ab）.證法二：在單位圓中設(shè)=a，=b，以、為鄰邊作OACB，則OACB為菱形.=0，即（a+b）（ab）=0.