四川德陽高三數(shù)學第二次診斷性考試理

四川省德陽市高中2016級高三第二次診斷性考試數(shù)學(理工農(nóng)醫(yī)類)試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知全集U=R，則AB=（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在全集U下，先由集合A的補集求出集合A，再與集合B進行并集運算。詳解】故選：C【點睛】考查描述法的定義，以及并集、補集的運算在解題過程中，正確求出補集和交集是關(guān)鍵。2.復(fù)數(shù)z滿足（1+i）=2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】對復(fù)數(shù)進行化簡，在由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出?！驹斀狻繌?fù)數(shù)可變形為則復(fù)數(shù)。故選A.【點睛】在對復(fù)數(shù)的除法進行化簡時，要采用分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母“實數(shù)化”。3.展開式中項的系數(shù)是（）A. 270B. 180C. 90D. 45【答案】A【解析】【分析】把按照二項式定理展開，可得展開式中項的系數(shù)詳解】，展開式中項的系數(shù)為 270， 故選：A【點睛】本題可用二項式定理展開，即可得出所求系數(shù)。4.運行如圖程序框圖，輸出m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)程序框圖進行模擬運算即可【詳解】a=16，a0否，a=4，a0否， a=2，a0否， a=1，a0否， a=0，a0是，輸出m=4， 故選：D【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，解決此類問題的關(guān)鍵是讀懂程序框圖，明確順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)的真正含義。5.已知為銳角，且tan，則cos（2）=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用誘導(dǎo)公式對進行化簡，按二倍角公式展開，對進行適當變形，結(jié)合即可得出答案?！驹斀狻俊军c睛】本題的關(guān)鍵是對的變形的處理，結(jié)合平方關(guān)系即可得出，利用化弦為切簡化運算量。6.已知雙曲線=1（a0，b0）的焦距為8，一條漸近線方程為y=，則此雙曲線方程為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由焦距為8可得,利用漸近線方程得出的關(guān)系，再結(jié)合即可得出雙曲線方程?！驹斀狻恳李}意可得： ，即雙曲線方程為：，故選D?！军c睛】解決本題的關(guān)鍵是要從雙曲線的漸近線方程中得到的關(guān)系，從而列出等式。7.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三視圖確定該幾何體的直觀圖，利用三角形面積公式、正方形面積公式得出該幾何體表面積?！驹斀狻坑深}意該幾何體的直觀圖是一個四棱錐構(gòu)成，如下圖所示，則該幾何體的表面積為、正方形的面積之和，即該幾何體表面積為故選C.【點睛】三視圖往往與幾何體的體積、表面積以及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)合，解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖準確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見幾何體的三視圖.8.已知拋物線的準線與圓C：相切，則拋物線的方程為（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】由拋物線的準線與圓C：相切，知，解得由此能求出拋物線方程【詳解】圓C：，拋物線準線為，拋物線的準線與圓C：相切， ，解得拋物線方程為：故選：B【點睛】本題考查了怎么求拋物線的方程，根據(jù)題意確定拋物線的開口方向，是向上還是向下，再由準線方程確定的值.9.已知ABC外接圓的圓心為O，若AB=3，AC=5，則的值是（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】可畫出圖形，并將O和AC中點D相連，O和AB的中點E相連，從而得到，根據(jù)數(shù)量積的計算公式及條件可得出，而，即可得出的值?！驹斀狻咳鐖D，取AC中點D,AB中點E,并連接OD,OE,則； 故選C.【點睛】解題的關(guān)鍵是要熟練的運用數(shù)量積的公式以及三角形法則。10.公元前5世紀下半葉開奧斯地方的希波克拉底解決了與化圓為方有關(guān)的化月牙形為方如圖，以O(shè)為圓心的大圓直徑為1，以AB為直徑的半圓面積等于AO與BO所夾四分之一大圓的面積，由此可知，月牙形（圖中陰影部分）區(qū)域的面積可以與一個正方形的面積相等現(xiàn)在在兩個圓所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點來自于陰影所示月牙形區(qū)域的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出陰影部分面積，再用幾何概型概率公式可得【詳解】解：陰影部分面積等于，所以根據(jù)幾何概型得陰影所示月牙形區(qū)域的概率故選：B【點睛】求與面積有關(guān)的幾何概型的概率時，關(guān)鍵是弄清某事件所有結(jié)果對應(yīng)的平面區(qū)域的形狀并能準確的計算面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，利用平面直角坐標系，找到全部實驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形及某事件所有結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解。11.ABC中，BD是AC邊上的高，A=，cosB=-，則=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角形面積公式和正弦定理分別求出，從而確定的比值?！驹斀狻拷猓河烧叶ɡ砜芍?故選：A【點睛】在求解三角形時我們不僅可以利用正弦定理、余弦定理，還可以結(jié)合三角形面積公式來解決問題。12.函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將有且只有一個零點轉(zhuǎn)化為與只有一個交點，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，從而確定實數(shù)的取值范圍?！驹斀狻慨敃r，函數(shù)，沒有零點，即。當時，依題意只有一個根，等價于與只有一個交點， 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。函數(shù)與只有一個交點必須滿足：故選C. 【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究參函數(shù)的零點主要有兩種方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，從而轉(zhuǎn)化為的圖像與軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想。（2）分離參變量，即由=0分離參變量，得，研究與的圖像的交點問題。（本題采用這一種方法）二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.某人在公園進行射擊氣球游戲，排除其它因素的影響，各次射擊相互獨立，每次擊中氣球的概率均為0.8，若連續(xù)射擊10次，記擊中氣球的次數(shù)為，則D（）=_【答案】1.6【解析】【分析】根據(jù)變量對應(yīng)的事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式，求出方差即可【詳解】由題意可知各次射擊相互獨立，每次擊中氣球的概率均為0.8，若連續(xù)射擊10次，記擊中氣球的次數(shù)為可得所以故答案為：1.6【點睛】本題主要考查了n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率，在解題過程中注意：若，則性質(zhì)的運用。14.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x-2y的最大值是_【答案】9【解析】【分析】先作可行域，再平移直線，確定目標函數(shù)最大值的取法.【詳解】易求得由變形為，繪制不等式組表示的可行域，當目標函數(shù)經(jīng)過點處取得最大值， 所以的最大值為.【點睛】本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有：截距型，即 ，主要根據(jù)目標函數(shù)在坐標軸上的截距判斷最值。分式型，其幾何意義是已知點與未知點的斜率；平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方；絕對值型，轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點到直線的距離.15.正四面體ABCD的體積為，則正四面體ABCD的外接球的體積為_【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，設(shè)正四面體ABCD的棱長為，由已知求得，進一步求出外接球半徑，代入體積公式求解【詳解】解：如圖，設(shè)正四面體ABCD的棱長為，過A作ADBC，設(shè)等邊三角形ABC的中心為O，則，即再設(shè)正四面體ABCD的外接球球心為G，連接GA，則，即正四面體ABCD的外接球的體積為.故答案為：【點睛】本題考查正四面體外接球體積的求法，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，正確的找到外接球的半徑是關(guān)鍵。16.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值是_【答案】【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最大值，即可得到結(jié)果【詳解】解：函數(shù)，若在區(qū)間-，上單調(diào)遞增，可得可得，即所以.所以的最小值為：故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，求解參數(shù)時可將參數(shù)分離出來，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，從而得到參數(shù)的取值范圍。三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）求證為等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足=，求 的前n項和【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由結(jié)合已知條件推出為等比數(shù)列，即可證明結(jié)論（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法即可得出前n項和【詳解】（1） 證明：由，時，化為：時，解得為等比數(shù)列，首項為2，公比為2（2）解：由（1）可得： 的前n項和相減可得：整理為：【點睛】1.利用求通項公式時，要注意檢驗的情況。2.如果數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，常采用錯位相減法。18.某水果種植戶對某種水果進行網(wǎng)上銷售，為了合理定價，現(xiàn)將該水果按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）789111213銷量y（kg）120118112110108104（1）已知銷量與單價之間存在線性相關(guān)關(guān)系求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若在表格中的6種單價中任選3種單價作進一步分析，求銷量恰在區(qū)間110，118內(nèi)的單價種數(shù)的分布列和期望附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：=，【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知表格中數(shù)據(jù)求得與，則可求得線性回歸方程；（2）求出的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率，可得分布列與期望【詳解】解：（1），=112=，y關(guān)于x的線性回歸方程為；（2）6種單價中銷售量在110，118內(nèi)的單價種數(shù)有3種銷量恰在區(qū)間110，118內(nèi)的單價種數(shù)的取值為0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=的分布列為：0123P期望為E（）=【點睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查離散型隨機變量的期望，考查計算能力，求離散型隨機變量的分布列與均值的方法：（1）理解離散型隨機變量的意義，寫出的所有可能取值；（2）求取每個值的概率；（3）寫出的分布列；（4）根據(jù)均值的定義求19.如圖四棱錐中，平面平面， （1）求證：平面平面；（2）若與平面所成的角的正弦值為，求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理得到，再結(jié)合兩平面垂直的性質(zhì)，得到平面，從而平面平面（2）以B為原點，BC為軸，BA為軸，過B作平面ABCD的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值【詳解】證明：（1），又平面平面平面平面平面平面平面，平面平面解：（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，過B作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，=（0，4，0），=（0，4，a），=（2，2，0），設(shè)平面PBD的法向量=，則，取，得=（1，-1，），AB與平面PBD所成的角的正弦值為，| |=，解得=，=（1，-1，），=（2，0，0），=（0，4，），設(shè)平面PBC的法向量=，則，取z=3，得=（0，-2，3），設(shè)二面角C-PB-D的平面角為，則cos=二面角C-PB-D的余弦值為【點睛】立體幾何解答題第一問通常考查線面位置關(guān)系的證明,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題, 主要體現(xiàn)在以下幾個方面： 求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角； 求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關(guān)鍵.多用空間向量解決.多用空間向量解決.20.已知橢圓C：=1（ab0）上的動點P到其左焦點的距離的最小值為1，且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，Q是橢圓C的左頂點，若|+|=|，試證明直線l經(jīng)過不同于點Q的定點【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知可得，求解可得的值，則橢圓方程可求；（2）由，得，設(shè)直線方程為 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及向量數(shù)量積可得即或，驗證判別式后可得直線經(jīng)過不同于點Q的定點【詳解】（1）解：由已知可得，解得橢圓的方程；（2）證明：由|+|=|，得，設(shè)直線方程為 聯(lián)立，得，由題意，Q（-2，0），則，由，得=0，即即或當時，滿足0，此時直線方程：，過定點（）；當時，滿足0，此時直線方程為：y=，過定點Q（-2，0），不合題意綜上，直線經(jīng)過不同于點Q的定點（）【點睛】與圓錐曲線有關(guān)的定點問題主要步驟為：第一步：求（或設(shè)）方程求出（或設(shè)出）圓錐曲線和直線的方程。第二步：代入或聯(lián)立將直線方程代入圓錐曲線方程，或聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，消去（或者），得到關(guān)于（或）的一元二次方程。第三步：列式列出關(guān)于直線方程的系數(shù)的方程（組）或有關(guān)參數(shù)的方程（組）或?qū)懗雠c定點有關(guān)的式子，并化簡。第四步：得出結(jié)論21.已知函數(shù)（1）當時，求在點處的切線方程；（2）當時，是否存在兩個極值點，若存在，求實數(shù)的最小整數(shù)值；若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程 （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的根，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可【詳解】（1）函數(shù)導(dǎo)數(shù)當時，即在點（1，）處的切線斜率，則對應(yīng)的切線方程為即（2）當時，若存在兩個極值點，則有兩個不同的解，即有兩個根，即有兩個不同的根，設(shè)當時，所以上單調(diào)遞增，不符合題意。當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增要使函數(shù)與軸有兩個不同的交點，必須，得設(shè)，則，即在（1，+）上為減函數(shù)，存在使得.即當時，此時有最小正整數(shù)，使得函數(shù)與軸有兩個不同的交點.即當時，是存在兩個極值點，此時最小的的整數(shù)值為4【點睛】本題利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想，先將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，通過直函數(shù)圖像與軸的交點個數(shù)來確定參數(shù)的取值范圍。22.在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標方程為（