第10章-常微分方程數(shù)值解 2

1、常微分方程與解,為n階常微分方程。,如果函數(shù)在區(qū)間a,b內(nèi)n階可導，稱方程,為方程滿足定解條件的解。,第10章常微分方程的數(shù)值解,10.1引言,科學研究和工程技術(shù)中的問題往往歸結(jié)為求某個常微分方程的定解問題.常微分方程的理論指出，除少數(shù)簡單情況能獲得初值問題的初等解（用初等函數(shù)表示的解）外，絕大多數(shù)情況下是求不出初等解的.有些初值問題即便有初等解，也往往由于形式過于復雜而不便處理。常微分方程的數(shù)值解法常用來求近似解，由于它提供的算法能通過計算機便捷地實現(xiàn)，因此近年來得到迅速的發(fā)展和廣泛的應用。,10.2初值問題解法的基本概念,科學技術(shù)中常常需要求解常微分方程的定解問題.這類問題最簡單的形式，是本章將著重考察的一階方程的初值問題,我們知道，只有f(x,y)適當光滑譬如關(guān)于y滿足利普希茨(Lipschitz)條件,理論上就可以保證初值問題的解yf(x)存在并且唯一.我們以下的討論，都在滿足上述條件下進行。,雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一些特殊類型的方程，實際問題中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法.,所謂數(shù)值解法,就是尋求解y(x)在一系列離散節(jié)點,上的近似值y1,y2,yn,yn+1,.相鄰兩個節(jié)點的間距hn=xn+1-xn稱為步長.今后如不特別說明，總是假定hi=h(i=1,2,)為定數(shù),這時節(jié)點為xn=x0+nh(i=0,1,2,)(等距節(jié)點).,常微分方程數(shù)值解是一組離散的函數(shù)值數(shù)據(jù)，它的精確表達式很難求解得到，但可以進行插值計算后用插值函數(shù)逼近y(x),初值問題的數(shù)值解法的基本特點：都采取“步進式”，即求解過程順著節(jié)點排列的次序一步一步地向前推進.,首先，要對微分方程離散化，建立求解數(shù)值解的遞推公式.一類是計算yn+1時只用到xn+1，xn和yn，即前一步的值。因此，有了初值以后就可以逐步往下計算，其代表是龍格庫塔法稱為單步法.另一類是用到y(tǒng)n+1前面k點的值yn,yn-1,yn-k+1，稱為多步法.其次，要研究公式的局部截斷誤差和階，數(shù)值解yn與精確解y(xn)的誤差估計及收斂性，還有遞推公式的計算穩(wěn)定性等問題.,數(shù)值解的思想,（1）將連續(xù)變量離散為,（2）用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點的近似值,如果找不到解函數(shù)數(shù)學界還關(guān)注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性,第一步：連續(xù)變量離散化,第二步：用直線步進,1、Euler格式,10.3簡單單步法,10.3.1歐拉(Euler)方法,過做以為切線斜率的方程,當,時，得,，取,當,時，得,，取,過,做以,為切線斜率的方程,一般地，過,做以,為切線斜率的方程,當,時，得,，取,例1用歐拉公式求解初值問題,解取步長h=0.1，歐拉公式的具體形式為,其中xn=nh=0.1n(n=0,1,10),已知y0=1,由此式可得,依次計算下去，部分計算結(jié)果見下表.,與準確解相比，可看出歐拉公式的計算結(jié)果精度很差.,歐拉公式具有明顯的幾何意義,就是用折線近似代替方程的解曲線，因而常稱公式(3.1)為歐拉折線法.,還可以通過幾何直觀來考察歐拉方法的精度.假設yn=y(xn),即頂點Pn落在積分曲線y=y(x)上，那么，,按歐拉方法做出的折線PnPn+1便是y=y(x)過點Pn的切線.從圖形上看,這樣定出的頂點Pn+1顯著地偏離了原來的積分曲線，可見歐拉方法是相當粗糙的.,12,方法一化導數(shù)為差商的方法,由于在逐步求解的過程中，y(xn)的準確值無法求解出來，因此用其近似值代替。為避免混淆，以下學習簡記：,y(xn)：待求函數(shù)y(x)在xn處的精確函數(shù)值yn：待求函數(shù)y(x)在xn處的近似函數(shù)值,歐拉(Euler)方法（幾種推導法）,13,代入初值問題表達式可得：,根據(jù)y0可以一步步計算出函數(shù)y=y(x)在x1,x2,x3x4,上的近似值y1,y2,y3,y4,為了分析計算公式的精度，通?？捎锰├照归_將y(xn+1)在xn處展開，則有,在yn=y(xn)的前提下，f(xn,yn)=f(xn,y(xn)=y(xn).于是可得歐拉法(3.1)的公式誤差為,稱為此方法的局部截斷誤差.,方法二泰勒級數(shù)展開法,15,方法三數(shù)值積分法,同樣以近似值yn代替精確值y(xn)可得：,將微分方程y=f(x,y)在區(qū)間xn,xn+1上積分：,16,2.隱式歐拉法(后退),在數(shù)值積分法推導中，積分的近似值取為積分區(qū)間寬度與右端點處的函數(shù)值乘積，即：,這樣便得到了隱式歐拉法：,（3.3）,隱式歐拉公式與歐拉公式有著本質(zhì)的區(qū)別,后者是關(guān)于yn+1的一個直接計算公式，這類公式稱作是顯式的；前者公式的右端含有未知的yn+1，它實際上是關(guān)于yn+1的一個函數(shù)方程,這類方程稱作是隱式的.,顯式與隱式兩類方法各有特點，考慮到數(shù)值穩(wěn)定性等其他因素，人們有時需要選用隱式方法，但使用顯式算法遠比隱式方便.,隱式方程通常用迭代法求解，而迭代過程的實質(zhì)是逐步顯式化.,設用歐拉公式,給出迭代初值，用它代入(3.1)式的右端，使之轉(zhuǎn)化為顯式，直接計算得,然后再用代入(3.1)式，又有,如此反復進行，得,由于f(x,y)對y滿足Lipschitz條件(2.1).由(3.4)減(3.3)得,由此可知，只要hLn)上產(chǎn)生的擾動為，如果：,定義：設在節(jié)點xn處用數(shù)值算法得到的理想數(shù)值解為yn，而實際計算得到的近似解為，稱差值：,為第n步的數(shù)值解的擾動。,則稱該數(shù)值方法是穩(wěn)定的。,下面以歐拉法為例考察計算穩(wěn)定性.,例4用歐拉公式求解初值問題,解用歐拉法解方程y=-100y得,其準確解是一個按指數(shù)曲線衰減很快的函數(shù).,若取步長h=0.025，則歐拉公式的具體形式為,計算結(jié)果見表,明顯計算過程不穩(wěn)定,但取h=0.005,yn+1=-1.5yn,則計算過程穩(wěn)定.,對后退的歐拉公式，取h=0.025時，則計算公式為yn+1=-(1/3.5)yn.計算結(jié)果見表,這時計算過程是穩(wěn)定的.,例題表明穩(wěn)定性不但與方法有關(guān)，也與步長h有關(guān)，當然與方程中的f(x,y)有關(guān).為了只考察數(shù)值方法本身，通常只檢驗數(shù)值方法用于解模型方程的穩(wěn)定性，模型方程為,其中為已知實數(shù)或復數(shù)(Re()0)，這個方程分析較簡單，對一般方程可以通過局部線性化化為這種形式。,50,定義6單步法（4.2）用于解模型方程（4.4），若得到的解，滿足，則稱方法（4.1）是絕對穩(wěn)定的.,在的平面上，使的變量圍成的區(qū)域，稱為絕對穩(wěn)定域，,它與實軸的交稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間.,51,歐拉法：,考察模型方程：,即：,假設在節(jié)點值yn上有擾動n，在節(jié)點值yn+1上有擾動n+1，且n+1僅由n引起（即：計算過程中不再引起新的誤差）,52,歐拉法穩(wěn)定,即：,歐拉法穩(wěn)定的條件：,針對模型方程：的顯式歐拉法：,化簡得：,53,隱式歐拉法：,考察模型方程：,即：,化簡為：,假設yn上有擾動，則yn+1的擾動為：,隱式歐拉法穩(wěn)定,，上式均成立，所以：,隱式歐拉法穩(wěn)定是恒穩(wěn)定的,54,故,對有，,故絕對穩(wěn)定域為的左半平面，,梯形法的穩(wěn)定性,絕對穩(wěn)定區(qū)間為，即時梯形法均是穩(wěn)定的.,隱式歐拉法與梯形方法的絕對穩(wěn)定域均為在具體計算中步長的選擇只需考慮計算精度及迭代收斂性要求而不必考慮穩(wěn)定性，