數(shù)值分析 高斯—勒讓德積分公式VIP

高斯勒讓德積分公式摘要：高斯勒讓德積分公式可以用較少節(jié)點(diǎn)數(shù)得到高精度的計(jì)算結(jié)果,是現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常運(yùn)用到的數(shù)值積分法。然而，當(dāng)積分區(qū)間較大時，積分精度并不理想。The adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer.關(guān)鍵字： 積分計(jì)算，積分公式，高斯勒讓德積分公式，MATLABKeyword:Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab引言：眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實(shí)際上是求一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而積分是已知一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求這一函數(shù)。所以，微分與積分互為逆運(yùn)算。實(shí)際上，積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，稱為不定積分。相對而言，另一種就是定積分了，之所以稱其為定積分，是因?yàn)樗e分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。計(jì)算定積分的方法很多，而高斯勒讓德公式就是其中之一。高斯積分法是精度最高的插值型數(shù)值積分，具有2n+1階精度，并且高斯積分總是穩(wěn)定。而高斯求積系數(shù)，可以由Lagrange多項(xiàng)式插值系數(shù)進(jìn)行積分得到。高斯勒讓德求積公式是構(gòu)造高精度差值積分的最好方法之一。他是通過讓節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)待定讓函數(shù)f(x)以此取i=0,1,2.n次多項(xiàng)式使其盡可能多的能夠精確成立來求出積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)。高斯積分的代數(shù)精度是2n-1，而且是最高的。通常運(yùn)用的是（-1，1）的積分節(jié)點(diǎn)和積分系數(shù)，其他積分域是通過變換x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 變換到-1到1之間積分。1. 現(xiàn)有的方法和理論1.1高斯 勒讓德求積公式在高斯求積公式(4.5.1)中，若取權(quán)函數(shù)，區(qū)間為，則得公式 我們知道勒讓德多項(xiàng)式是區(qū)間上的正交多項(xiàng)式，因此，勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(上式)的高斯點(diǎn)形如(上式)的高斯公式特別地稱為高斯勒讓德求積公式若取的零點(diǎn)做節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求積公式令它對準(zhǔn)確成立，即可定出這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯勒讓德求積公式是中矩形公式再取的兩個零點(diǎn)構(gòu)造求積公式令它對都準(zhǔn)確成立，有由此解出，從而得到兩點(diǎn)高斯勒讓德求積公式三點(diǎn)高斯勒讓德求積公式的形式是如表列出高斯勒讓德求積公式的節(jié)點(diǎn)和系數(shù)00.00000002.000000010.57735031.000000020.77459670.00000000.55555560.888888930.86113630.33998100.34785480.652145240.90617980.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889公式(4.5.9)的余項(xiàng)由(4.5.8)得，這里是最高項(xiàng)系數(shù)為的勒讓德多項(xiàng)式，由(3.2.6)及(3.2.7)得 當(dāng)時，有它比辛普森公式余項(xiàng)還小，且比辛普森公式少算一個函數(shù)值當(dāng)積分區(qū)間不是，而是一般的區(qū)間時，只要做變換可將化為，這時 對等式右端的積分即可使用高斯勒讓德求積公式1.2復(fù)化Gauss-Legendre求積公式將被積區(qū)間m等分, 記, 作變換在每個小區(qū)間上應(yīng)用Gauss-Legendre公式, 累加即得復(fù)化Gauss-Legendre求積公式不妨設(shè)則有:Gauss點(diǎn)個數(shù)時,Gauss點(diǎn)個數(shù)時,總結(jié)復(fù)化Gauss-Legendre求積過程如下:1. 分割區(qū)間, 記錄區(qū)間端點(diǎn)值；2. 通過查表或求解非線性方程組, 在所有小區(qū)間上, 將Gauss系數(shù)和Gauss點(diǎn)的值代入變量替換后的公式；3. 將所有區(qū)間的結(jié)果累加, 即得到整個區(qū)間上的積分近似值.針對Gauss點(diǎn)個數(shù)和的復(fù)化Gauss-Legendre求積公式編寫的一個簡單的MATLAB函數(shù) compgauss() 如下: function = compgauss(a, b, n)% Composite Gauss Integration% Equation Type: n=2, n=3% Coded by Nan.Xiao 2010-05-25% Step.1 Divide Interval% Step.2 Calculate% Step.3 Sum Resultsformat longf = (x) exp(x).*sin(x);h=(b-a)/n;xk=zeros(n+1,1);xk(1,1)=a;xk(n+1,1)=b;fk1=zeros(n,1);fk2=zeros(n,1);for i=1:n-1 xk(i+1,1)=a+h*i;endfor j=1:n fk1(j)=f(xk(j)+xk(j+1)/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)+. f(xk(j)+xk(j+1)/2+(h/2)*(1/sqrt(3);endfor r=1:n fk2(r)=(5/9)*f(xk(r)+xk(r+1)/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5)+. (8/9)*f(xk(r)+xk(r+1)/2+(h/2)*(0)+. (5/9)*f(xk(r)+xk(r+1)/2+(h/2)*(sqrt(15)/5);endmysum1=h*sum(fk1)/2;mysum2=h*sum(fk2)/2;disp(Result of 2 Nodes:)disp(mysum1);disp(Result of 3 Nodes:)disp(mysum2);end1.3龍貝格，三點(diǎn)，五點(diǎn)以及變步長高斯勒讓德求積法以下是關(guān)于龍貝格，三點(diǎn)，五點(diǎn)以及變步長高斯勒讓德之間精度的相互比較#include #include #include #definePrecision10.000000000001 #definee2.71828183 #defineMAXRepeat10 doublefunction(doublex) doubles; s=1/x; returns; doubleRomberg(doublea,doubleb,doublef(doublex) intm,n,k; doubleyMAXRepeat,h,ep,p,xk,s,q; h=b-a; y0=h*(f(a)+f(b)/2.0;/計(jì)算T1(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b); m=1; n=1; ep=Precision1+1; while(ep=Precision1)&(mMAXRepeat) p=0.0; for(k=0;kn;k+) xk=a+(k+0.5)*h; p=p+f(xk); p=(y0+h*p)/2.0;/Tm(h/2),變步長梯形求積公式 s=1.0; for(k=1;k=m;k+) s=4.0*s;/pow(4,m) q=(s*p-yk-1)/(s-1.0); yk-1=p; p=q; ep=fabs(q-ym-1); m=m+1; ym-1=q; n=n+n;/24816 h=h/2.0;/二倍分割區(qū)間 returnq; doubleThreePointGaussLegendre(doublea,doubleb,doublef(doublex) doublex,w; staticdoubleX3=-sqrt(15)/5.0,0,sqrt(15)/5.0; staticdoubleL3=5/9.0,8/9.0,5/9.0; w=0.0; for(inti=0;i3;i+) x=(b-a)*Xi+(b+a)/2.0; w=w+f(x)*Li; returnw; doubleFivePointGaussLegendre(doublea,doubleb,doublef(doublex) doublex,w; staticdoubleX5=-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459; staticdoubleL5=0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851; w=0.0; for(inti=0;i=Precision1)&(fabs(h)s) g=0.0; for(i=0;im;i+) aa=a+i*h;bb=aa+h; w=0.0; for(j=0;j=4;j+) x=(bb-aa)*Xj+(bb+aa)/2.0;w=w+f(x)*Lj; g=g+w;/各個區(qū)間計(jì)算結(jié)果之和相加 g=g*h/2.0; ep=fabs(g-p)/(1.0+fabs(g);/計(jì)算精度 p=g; m=m+1; h=(b-a)/m;/分割區(qū)間 returng; main() doublea,b,s; couta; coutb; cout的真值為:endl; cout1.098612289endl; /*龍貝格求積*/ s=Romberg(a,b,function); cout龍貝格求積公式:endl; coutsetiosflags(ios:fixed)setprecision(14)sendl; /*三點(diǎn)求積公式*/ s=ThreePointGaussLegendre(a,b,function); cout三點(diǎn)求積公式:endl; coutsetiosflags(ios:fixed)setprecision(14)sendl; /*五點(diǎn)求積公式*/ s=FivePointGaussLegendre(a,b,function); cout五點(diǎn)求積公式endl; coutsetiosflags(ios:fixed)setprecision(14)sendl; s=FivePointPrecisionGaussLegendre(a,b,function); cout控制精度五點(diǎn)求積公式endl; coutsetiosflags(ios:fixed)setprecision(14)s5 error(The Number of Input Arguments Is Wrong!);endsyms xp=sym2poly(diff(x2-1)(n+1),n+1)/(2n*factorial(n);tk=roots(p); Ak=zeros(n+1,1);for i=1:n+1 xkt=tk; xkt(i)=; pn=poly(xkt); fp=(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i); Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求積系數(shù)endxk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2;fun=fcnchk(fun,vectorize);fx=fun(xk)*(b-a)/2;ql=sum(Ak.*fx);3.數(shù)值實(shí)驗(yàn)3.1 用4點(diǎn)（n=3）的高斯勒讓德求積公式計(jì)算 .解：先將區(qū)間化為，由（1）.（1）有 .根據(jù)表4-7中n=3的節(jié)點(diǎn)及系數(shù)值可求得 . （ 準(zhǔn)確值 ）3.2用的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分 解：令，則用的高斯勒讓德公式計(jì)算積分用的高斯勒讓德公式計(jì)算積分3.2用四個節(jié)點(diǎn)的高斯勒讓德求積公式計(jì)算定積分，計(jì)算過程保留4位小數(shù)解 ：高斯勒讓德求積公式只求積分區(qū)間為1,1上的積分問題需作變換，令