高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件 充要條件的理解及判定方法素材 北師大版選修2-1（通用）

充要條件的理解及判定方法充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系本文主要是通過不同的知識點來剖析充分必要條件的意義，讓我們能準(zhǔn)確判定給定的兩個命題的充要關(guān)系高考中“充要條件”常見題型解題方法如下：一利用雙箭頭的傳遞性判定例1已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件那么p是q成立的（ ）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件解：用雙箭頭符號表示p、q、r、s的關(guān)系：pr，sr，qs，即pr，rs，sq，prsq，即pq，又rp，則qp，故p是q的充分非必要條件.故選A.點評：由于邏輯聯(lián)結(jié)符號“”、“”、“”具有傳遞性，因此可根據(jù)幾個條件的關(guān)系，經(jīng)過若干次的傳遞，判斷所要判斷的兩個條件之間的依存關(guān)系.本題關(guān)鍵是將所有充分（必要）條件轉(zhuǎn)化為“=”和“”表示，畫出它們的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖，再找要求的兩個條件之間的互推關(guān)系二利用集合之間的關(guān)系判定例2設(shè)集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：，NM“”是“”的必要而不充分條件. 故應(yīng)選B點評：通過集合的包含或相等關(guān)系來確定充分、必要條件，利用集合之間的關(guān)系判定主要依據(jù)：(1)若AB，就是xA則xB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；(2)若AB，就是xA則xB，且A中至少有一個元素不在B中，則A是B的充分非必要條件，B是A的必要非充分條件；(3)若A=B，就是AB且AB，則A是B的充分條件，同時A是B的必要條件，即A是B的充要條件；(4)若AB，AB，則A是B的既不充分也不必要條件三利用命題的四種形式進(jìn)行判定例3設(shè)A、B是兩個命題，如果B是的必要條件，但不是的充分條件，那么A是的 條件解： A是的必要條件；又假如，則，這與B不是的充分條件矛盾，A不是的充分條件，故A是的必要不充分條件點評：利用命題的幾種相互關(guān)系判定的依據(jù)是：(1)如果原命題成立，逆命題不成立，則原命題的條件是充分非必要的；(2)如果原命題不成立，逆命題成立，則原命題的條件是必要非充分的；(3)如果原命題和它的逆命題都成立，則原命題的條件充要的；(4)如果原命題和它的逆命題都不成立，則原命題的條件是非充分非必要的.四直接用定義判定例4“若，R，則0”的一個充分不必要條件是：0；0或0；2；0且0解：由題意知“充分不必要條件”是指：選項=已知，但已知選項據(jù)此考察四個選項：0=，同號0；0或00；2=0，但02；0且00，但00且0故填點評：直接用定義判定的理論依據(jù)是：能夠保證一個事件一定發(fā)生的條件，叫做這個事件發(fā)生的充分條件；一個事件要發(fā)生必須具備的條件叫做這個事件發(fā)生的必要條件；一個條件既能保證某個事件發(fā)生，同時又是這個事件發(fā)生必須具備的條件，就叫做這個事件發(fā)生的充要條件.在實際應(yīng)用中，體現(xiàn)充要條件的文字還有“當(dāng)且僅當(dāng)”、“有且僅有”、“必需且只需”等語句.用邏輯符號表示為：(1)若pq，且qp，則p是q的充分且不必要條件，q是p的必要且不充分條件；(2)若qp，且pq，則p是q的必要且不充分條件，q是p的充分且不必要條件；(3)若pq，且qp(或pq)，則p是q的充要條件(此時q也是p的充要條件)；(4)若pq，且qp，則p是q的非充分非必要條件.例5若是常數(shù)，則“”且“”是“對任意，有”的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解：由“且”可推得“對任意，有”成立，而當(dāng)時，仍有，即由“對任意，有”不能推出“且”故答案選A點評：此題考查了恒成立的條件，恒成立的條件是 或 可見，實際上解決有關(guān)“充要條件”的方法主要有：(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“，反之也真”等.(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).(4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要