2013年重慶高考數(shù)學(xué)(理)

2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）數(shù) 學(xué)（理科）一、本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1. 已知全集，集合，則（ ）.A. B. C. D. 分析 先求出兩個集合的并集，再結(jié)合補(bǔ)集概念求解.解析 因?yàn)?，所以，所?故選D.2. 命題“對任意，都有”的否定為（ ）.A. 對任意，都有 B. 不存在，都有 C. 存在，都有 D. 存在，使得分析 根據(jù)含有一個量詞的命題進(jìn)行否定的方法直接寫出.解析 “”的否定是“”，故“對任意，都有”的否定是“存在，使得”.故選D.3. 的最大值為（ ）.A. B. C. D. 分析 利用配方法結(jié)合函數(shù)的定義域求解.解析 ， 由于，所以當(dāng)時，有最大值.故選B.4. 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值分別為（ ）.A. B. C. D. 分析 結(jié)合莖葉圖上的原始數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的 概念列出方程進(jìn)行求解. 解析 由于甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以.又乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以.所以的值分別為.故選C.5. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）.A. B. C. D. 分析 先將三視圖還原為空間幾何體，再根據(jù)體積公式求解.解析 由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長為，下底長為，高為，故面積為.又棱柱的高為，所以體積.故選C.6. 若，則函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間（ ）.A. 和內(nèi) B. 和內(nèi) C. 和內(nèi) D. 和內(nèi)分析 計(jì)算出函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值并判斷符號，再利用零點(diǎn)的存在條件說明零點(diǎn)的位置.解析 因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間和內(nèi).故選A.7. 已知圓，圓，分別是圓上的動點(diǎn)，為軸上的動點(diǎn)，則的最小值為（ ）.A. B. C. D. 分析 先求出圓心坐標(biāo)和半徑，再結(jié)合對稱性求解最小值.解析 設(shè)，設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為， 那么.而，所以.故選A.8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出，那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（ ）. A. B. C. D. 分析 依據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)運(yùn)算并結(jié)合輸出結(jié)果確定條件.解析 ， ， ， . 停止，說明判斷框內(nèi)應(yīng)填.故選B.9. （ ）.A. B. C. D. 分析 借助商數(shù)關(guān)系，三角恒等變換及角度拆分求解.解析 .故選C.10. 在平面上，.若，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 分析 將所給條件轉(zhuǎn)化為以為起點(diǎn)的向量表示，再利用所給關(guān)系列出不等式求解.解析 因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?故選D.第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.ww11. 已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則 .分析 先化簡復(fù)數(shù)，再利用定義求解復(fù)數(shù)的模.解析 .12. 已知是等差數(shù)列，公差，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則 .分析 借助等比中項(xiàng)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出等差數(shù)列的公差后，再得用等差數(shù)列的求和公式直接求.解析 因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以.因?yàn)?，所?所以.13. 從名骨科、名腦外科和名內(nèi)科醫(yī)生中選派人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）.分析 根據(jù)計(jì)數(shù)原理合理分類，還要注意每一類中的合理分步. 解析 分三類：選名骨科醫(yī)生，則有（種）；選名骨科醫(yī)生，則有（種）選名骨科醫(yī)生，則有（種），所以骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有人的選派方法種類是.14. 如圖，在中，過作的外接圓的切線，與外接圓交于點(diǎn)，則的長為 .分析 結(jié)合圓的性質(zhì)求解直角三角形，再利用切割線定理解得.解析 在中，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)闉榍芯€，所以.因?yàn)椋?由切割線定理得，即，所以.15. 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為的直線與曲線（為參數(shù)）相交于兩點(diǎn)，則 .分析 先將極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為普通方程，求出交點(diǎn)即可.解析 由，知.又所以.由得或所以.16. 若關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .分析 利用三角不等式求解. 解析 因?yàn)?，所以，要使無解，只需.答案：.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17. （本小題共12分）設(shè)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn).（1）確定的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.分析（1）借助導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入已知點(diǎn)即可求得字母取值；（2）首先確定函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導(dǎo)并求出極值點(diǎn)，討論函數(shù)的單調(diào)性以便進(jìn)一步確定函數(shù)的極值，同時需要注意極值點(diǎn)兩端的導(dǎo)函數(shù)值的符號.解析（1）因?yàn)?，?令，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由點(diǎn)在切線上可得，故.（2）由（1）知，.令，解得.當(dāng)時，故在，上為增函數(shù)；當(dāng)時，故在上為減函數(shù).由此可知，在處取得極大值，在處取得極小值.18. （本小題共12分）某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎?wù)呦葟难b有個紅球與個白球的袋中任意摸出個球，再從裝有個藍(lán)球與個白球的袋中任意摸出個球，根據(jù)摸出個球中紅球與藍(lán)球的個數(shù)，設(shè)一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍(lán)球個數(shù)獲獎金額一等獎紅藍(lán)元二等獎紅藍(lán)元三等獎紅藍(lán)元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級.（1）求一次摸獎恰好摸到個紅球的概率；（2）求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額的分布列與期望.分析（1）利用古典概型結(jié)合數(shù)原理直接求解；（2）先確定離散型隨機(jī)變量的取值，求出相應(yīng)的概率分布，進(jìn)一步求出隨機(jī)變量的期望值.解析 設(shè)表示摸到個紅求，表示摸到個藍(lán)球，則與獨(dú)立.（1）恰好摸到個紅球的概率為.（2）的所有可能值為：，且，.綜上可知，獲獎金額的分布列為從而有（元）.19. （本小題共12分）如圖，四棱錐中，底面，為的中點(diǎn)，.（1）求的長；（2）求二面角的正弦值.分析 先建立空間直角坐標(biāo)系，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)求解距離 和二面角的正弦值.解析（1）如圖所示，連接交于點(diǎn)，因?yàn)?，即為等腰三角?又平分，故.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.而，所以.又，故，.因?yàn)椋稍O(shè)，由點(diǎn)為邊中點(diǎn)，.又，因?yàn)?，故，即，所以，所以的長為.（2）由（1）知，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由，得因此可取.由，得故可取得.從而法向量的夾角余弦值為.故二面角的正弦值為.20. （本小題共13分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求；（2）設(shè)，求的值.分析（1）利用余弦定理的變形求解；（2）借助三角恒等變換將所給等式化簡并求值.解析（1）因?yàn)?，由余弦定理?故.（2）由題意得，.因此.，. 因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，?解得.由得，解得.21. （本小題共14分）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，過左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取垂直于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，過作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外.若，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析（1）利用已知條件列方程組直接求解字母取值；（2）設(shè)出軌跡上點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖形找出最小值點(diǎn).解析（1）由題意知，在橢圓上，則.從而. 由，得，從而.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由橢圓的對稱性，可設(shè).又設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則.設(shè)，由題意知，點(diǎn)是橢圓上到點(diǎn)的距離最小的點(diǎn)，因此，上式當(dāng)時取最小值.又因?yàn)椋陨鲜疆?dāng)時取最小值，從而，且.因?yàn)?，且，所以，即，由橢圓方程及，得，解得，從而.故這樣的圓有兩個，其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為.22. 對正整數(shù)，記，.（1）求集合中元素的個數(shù)；（2）若的子集中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱為“稀疏集”.求的最大值，使能分成兩人上不相交的稀疏集的并.分析（1）結(jié)合集合元素的特征求出元素個數(shù)；（2）利用分類討論思想和反證法求解論證.解析（1）當(dāng)時，中有個數(shù)與中的個數(shù)重復(fù)，因此中元素的個數(shù)為.（2）先證：當(dāng)時，不能分成兩個不相交的稀疏集的并.若不然，設(shè)為不相交的稀疏集，使.不妨設(shè)，則因?yàn)椋?，?同理，又推得，但，這與為稀疏集矛盾.再