B-S期權定價模型

Black-Scholes期權定價模型,歐式期權和美式期權,期權按期權行使期限分美式期權(Americanoptions):AnAmericanoptionmaybeexercisedanytimeuptotheexpirationdate.歐式期權（Europeanoptions):AEuropeanoptiondiffersformanAmericanoptioninthatitcanbeexercisedonlyontheexpirationdate.,看漲期權和看跌期權,calloption（看漲期權)：Acalloptiongivestheownertherighttobuyanassetatafixedpriceduringaparticularperiod.putoption（看跌期權）：Aputoptiongivestheholdertherighttosellanassetforafixedexercisedprice.,4,1、股票價格的運動過程,：股票的瞬間收益率：股票的期望瞬間收益率：股價收益率的瞬間標準差,5,波動率估計,1觀測證券價格的歷史數(shù)據(jù)S0、S1、Sn，觀測時間間隔為t（以年為單位）2計算每期以復利計算的回報率uiLn(Si/Si-1),i=1,n3計算回報率的標準差s4波動率估計,6,2、伊藤引理（Itoslemma）,若已知x的運動過程，利用伊藤引理能夠推知函數(shù)G(x,t)的運動過程由于任何衍生品（期權）價格均為其標的資產(chǎn)（股票）價格及時間的函數(shù)，因而可利用伊藤引理推導衍生品（期權）價格的運動過程,7,伊藤引理（Ito，1951）若隨機過程x遵循伊藤過程：則G(x,t)將遵循如下伊藤過程：,8,股價運動是一種簡單的伊藤過程：以股票為標的資產(chǎn)的衍生品價格f(S,t)，其運動過程可通過伊藤引理得到：,9,3、Black-Scholes微分方程,（1）原理衍生品與標的資產(chǎn)（股票）價格不確定性的來源相同與二叉樹期權定價模型的思想類似，我們通過構造股票與衍生品的組合來消除這種不確定性,10,（2）模型的七個假設條件,股票價格遵循對數(shù)正態(tài)模型，即假設收益率是正態(tài)分布。沒有交易費用或稅收，即無摩擦的市場假設，且所有證券都是高度可分的。在期權的有效期內無風險利率和金融資產(chǎn)收益的變量恒定。不存在無風險套利機會。證券交易是連續(xù)的，即不存在股票價格的跳躍行為。投資者能夠以相同的無風險利率借款或貸款，無風險利率r為常數(shù)且對所有到期日都相同。該期權是歐式期權,11,（3）B-S微分方程的推導,股票及衍生品的運動過程分別為：,為消除不確定性，構造投資組合：衍生品：1；股票：,12,投資組合的價值為：,投資組合的價值變動為：,價值變動僅與時間dt有關，因此該組合成功消除了dz帶來的不確定性,13,根據(jù)無套利定價原理，組合收益率應等于無風險利率r(無套利機會)：,此即Black-Scholes微分方程。,14,任意依賴于標的資產(chǎn)S的衍生品價格f應滿足該方程衍生品的價格由微分方程的邊界條件決定例：歐式看漲期權的邊界條件為：C(0，t)0C(ST,T)=max（STK，0）理論上通過解B-S微分方程，可得Call的價格。,15,4、風險中性定價方法,觀察B-S微分方程及歐式期權的邊界條件發(fā)現(xiàn)：C(S,t)與S、r、t、T、以及K有關，而與股票的期望收益率無關。這說明歐式期權的價格與投資者的風險偏好無關。在對歐式期權定價時，可假設投資者是風險中性的（對所承擔的風險不要求額外回報，所有證券的期望收益率等于無風險利率）,16,用風險中性方法對歐式期權定價,假設股價期望收益率為無風險利率r，則：歐式期權到期時的期望收益為：將該期望收益以無風險利率折現(xiàn)，得到歐式期權價格：,17,得：其中：此即Black-Scholes期權定價公式。,上式中N(d)表示累計正態(tài)分布：S-表示股票當前的價格K-表示期權的執(zhí)行價格r-代表無風險年利率T-t-表示行權價格距離現(xiàn)在到期日N-表示正態(tài)分布-表示波動率,19,如何理解B-S期權定價公式,（1）可看作證券或無價值看漲期權的多頭；可看作K份現(xiàn)金或無價值看漲期權的多頭。,（2）可以證明，。為構造一份歐式看漲期權，需持有份證券多頭，以及賣空數(shù)量為的現(xiàn)金。注：市價*概率-執(zhí)行價格*概率=看漲期權價值,20,Black-Scholes期權定價公式用于不支付股利的歐式看漲期權的定價（通過Call-Put平價公式可計算歐式看跌期權的價值）。注意：該公式只在一定的假設條件下成立，如市場完美（無稅、無交易成本、資產(chǎn)無限可分、允許賣空）、無風險利率保持不變、股價遵循幾何布朗運動等。,21,影響歐式看漲期權價格的因素,當期股價S越高，期權價格越高到期執(zhí)行價格K越高，期權價格越低距離到期日時間T-t越長，期權價格越高股價波動率越大，期權價格越高無風險利率r越高，期權價格越高,22,組合一：小王想炒股，購買了A股票“可是如果一年后，股價下跌，我不就得賠挺多”？為了保險起見，他又買了此股票的看跌期權，“這樣的話，如果股價一路上漲，我可就發(fā)了，如果股價跌了我又可以最大限度的避免損失，怎么算都合適！”該組合的成本：股票價格看跌期權價格；該組合的現(xiàn)金流量：股價上漲時=股票價格；股價下跌時=執(zhí)行價格,23,組合二：如果小王購買的是零息票債券和股票的看漲期權。該組合的成本：執(zhí)行價格的現(xiàn)值（零息票債券的現(xiàn)值）+看漲期權價格該組合的現(xiàn)金流量：股價上漲時=執(zhí)行價格的現(xiàn)值+（股票價格-執(zhí)行價格現(xiàn)值）=股票價格，股價下跌時=執(zhí)行價格所以，由無套利原理推出：股票價格看跌期權價格執(zhí)行價格的現(xiàn)值+看漲期權價格，知道其中的三個參數(shù)就可以求出第四個。,24,【解釋】無套利原理，最后導致套利者無利可套。因此，當對兩個事物的投入相同時，那么他們的產(chǎn)出也一定相同。由此推出了看漲與看跌的評價關系：構造兩個分別包含看漲期權和看跌期權的投資組合，如果這兩個投資