6.4 正態(tài)總體的置信區(qū)間.ppt

第四節(jié)正態(tài)總體的置信區(qū)間,一.單正態(tài)總體N(,2)的情況,二.雙正態(tài)總體的情況（略）,三.小結,1,5/22/2020,與其它總體相比，,正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間是最完,善的，,應用也最廣泛.,在構造正態(tài)總體參數(shù)的置信,區(qū)間的過程中，,本節(jié)介紹正態(tài)總體的置信區(qū)間，,討論下列情形:,單正態(tài)總體均值(方差已知)的置信區(qū)間;,單正態(tài)總體均值(方差未知)的置信區(qū)間;,單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間;,雙正態(tài)總體均值差(方差已知)的置信區(qū)間;,(1),(2),(3),(4),雙正態(tài)總體均值差(方差未知但相等)的置信區(qū)間.,雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間.,(5),(6),2,5/22/2020,明確問題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？,N(0,1),選的點估計為,解：,尋找一個待估參數(shù)和估計量的函數(shù)，要求其分布為已知.,有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.,1.單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間（1）,設總體XN(,2),2已知，未知，設X1,X2,Xn是來自X的樣本，求的置信度為1-的置信區(qū)間。,一.單正態(tài)總體N(,2)的情況,3,5/22/2020,對給定的置信水平,查標準正態(tài)分布表得,對于給定的置信水平(大概率),根據(jù)U的分布，確定一個區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.,使,從中解得,4,5/22/2020,則的一個置信度為1-的置信區(qū)間為,說明：,標準正態(tài)分布具有對稱性，,利用雙側分位數(shù)來,間長度在的有這類區(qū)間中是最短的.,其區(qū),5,5/22/2020,當然希望區(qū)間長度越短越好，但區(qū)間長度短，n必須大，即需耗費代價高，故在實際問題中，要具體分析，適當掌握，不能走極端。,注意,(1)區(qū)間長度,當給定時，置信區(qū)間的長度與n有關.,(2)置信度為1-的置信區(qū)間并不唯一。,若概率密度函數(shù)的圖形是單峰且對稱,當n固定時，取兩端對稱的區(qū)間，其長度為最短。,結論,6,5/22/2020,例1,某旅行社為調查當?shù)芈糜尾诺钠骄M額,機訪問了100名旅游者,根據(jù)經(jīng)驗,已知旅游者消費服從正態(tài)分布,且標準,為95%置信區(qū)間.,解,對于給定的置信度,查標準正態(tài)分布表,將數(shù)據(jù),隨,代入,信區(qū)間為,可,7,5/22/2020,77.6元至82.4元之間.,自己動手,已知幼兒身高服從正態(tài)分布，現(xiàn)從56歲的幼兒中隨機地抽查了9人，其高度分別為：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;,8,5/22/2020,9,5/22/2020,注意,如果X服從任意分布,只要n充分大,仍可用,作為總體均值的置信區(qū)間,這是因為由中心極限定理可知,無論X服從什么分布,當n充分大時,隨機變量,近似服從標準正態(tài)分布。,10,5/22/2020,給定置信度1-,X1,X2,Xn是來自N(,2)的樣本,分別是樣本均值和樣本方差,1.均值的置信區(qū)間,(1)2為已知,的置信度為1-的置信區(qū)間為,(2)2未知,的置信度為1-的置信區(qū)間為,2.單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間（2）,11,5/22/2020,(2)2為未知,統(tǒng)計量,服從自由度為n-1的t分布,12,5/22/2020,則的置信度為1-的置信區(qū)間為,13,5/22/2020,例2,某旅行社隨機訪問了25名旅游者,得知平均消,已知旅游者,消費額服從正態(tài)分布,的置信區(qū)間.,解,對于給定的置信度,將,均消費額在75.05元至84.95元之間,這個估計的可靠,度是95%.,估計每個旅游者的平,14,5/22/2020,若未知,利用樣本方差構造統(tǒng)計量,給定,先查2分布的臨界表,求得12,22使得,3.單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間,給定置信度1-,X1,X2,Xn是來自N(,2)的樣本,是樣本方差,15,5/22/2020,從而,則方差2的置信度為1-的置信區(qū)間為,16,5/22/2020,例3.有一大批糖果，從中隨機地取16袋，稱得重量(以克計)如下：508499503504510497512505493496506502509496設袋裝糖果得重量近似地服從正態(tài)分布，求(1)正態(tài)總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。(2)總體標準差的置信度為0.95的置信區(qū)間。,17,5/22/2020,解(1),1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,t0.025(15)=2.1315,s=6.2022,則的置信度為0.95的置信區(qū)間為(500.4,507.1).,2未知,的置信度為1-的置信區(qū)間為,則方差2的置信度為1-的置信區(qū)間為,(2),1-0.95,/2=0.025,n-1=15,s=6.2022,總體標準差的置信區(qū)間為(4.58,9.60),18,5/22/2020,假定出生嬰兒(男孩)的體重服從正態(tài)分布，隨機地抽取12名新生嬰兒，測其體重為310025203000300036003160356033202880260034002540(1)以0.95的置信度估計新生男嬰兒的平均體重。(2)以0.95的置信度對新生男嬰兒體重的方差進行區(qū)間估計。,思考,19,5/22/2020,解(1),1-0.95,/2=0.025,n-1=11,t0.025(11)=2.201,s=375.3,則的置信度為0.95的置信區(qū)間為(2818,3295).,(2),1-0.95,/2=0.025,n-1=11,(n-1)S2=1549467,查表得,總體方差2的置信區(qū)間為(70752,405620)。,20,5/22/2020,于是,評價此新技術的效果問題,就歸結為研究兩個正態(tài)總體均值之差1-2的問題.,在實際應用中經(jīng)常會遇到兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計問題.例如:考察一項新技術對提高產品的某項質量指標的作用把實施新技術前產品的質量指標看成一個正態(tài)總體N(1,12),而把實施新技術后產品質量指標看成另一個正態(tài)總體N(2,22).,二.兩個正態(tài)總體的情況,21,5/22/2020,比較甲乙兩廠生產某種藥物的治療效果把兩個廠的藥效分別看成服從正態(tài)分布的兩個總體N(1,12)和N(2,22).于是,評價兩廠生產的藥物的差異,就歸結為研究對應的兩個正態(tài)總體的均值之差1-2的問題.下面討論如何構造兩個正態(tài)總體均值之差1-2的區(qū)間估計.,22,5/22/2020,給定置信度1-,兩個樣本相互獨立,23,5/22/2020,1.兩個總體均值差1-2的置信區(qū)間,(1)12、22均為已知,所以,則,24,5/22/2020,25,5/22/2020,26,5/22/2020,27,5/2