常微分方程課程教學大綱

常微分方程課程教學大綱一、課程說明1、課程性質(zhì)本課程及大綱適用于數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學、數(shù)學教育專業(yè)、信息與計算科學等專業(yè)，為4學分，總學時為68學時，包括講課及習題課。 常微分方程是數(shù)學各專業(yè)必修的基礎(chǔ)課之一，它是數(shù)學分析，高等代數(shù)和解析幾何的應(yīng)用和發(fā)展。微分方程是數(shù)學理論聯(lián)系實際的重要渠道之一，也是其它數(shù)學分支的一個綜合應(yīng)用場所，我們所研究的方程多數(shù)是由其它學科（如物理、氣象、生態(tài)學、經(jīng)濟學）推導(dǎo)而來，通過本課程的學習不僅使學生了解到微分方程和其它數(shù)學分支的聯(lián)系及其在其它自然科學學科中的應(yīng)用，使學生進一步了解到數(shù)學的重要性和廣泛的應(yīng)用背景，提高應(yīng)用能力，而且為后繼的數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學各課程準備解決問題的方法和工具，更是通向物理，力學，經(jīng)濟等學科和工程技術(shù)的橋梁。通過對微分方程發(fā)展史的回顧，讓學生從一個側(cè)面了解人類對自然界的認識過程和科學研究的探索過程，逐步培養(yǎng)學生的活學活用能力和創(chuàng)造發(fā)展的能力。通過本課程的學習，使學生熟練掌握各類方程的判別與求解，掌握基本理論的基本思想和證明方法，了解定性和穩(wěn)定性的初步理論和方法。并簡要介紹一些其它學科需要我們解決而目前我們尚不能解決的問題，為其它后續(xù)課程留下引子，并通過一些例子讓學生知道目前這個學科的最新研究動態(tài)。2、教學目的要求目的是要學習和逐步掌握常微分方程的基本理論和方法，學習建立和解決確定性數(shù)學模型的思想方法，把數(shù)學理論和方法運用到解決實際問題中去。本課程要求學生能熟練掌握各類微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理論：存在唯一性定理和線性常微分方程的基本理論。了解常微分方程穩(wěn)定性理論和定性理論初步。3、先行或后繼課程先行課程：數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何，普通物理等。后繼課程：數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。微分方程的發(fā)展也離不開實變函數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論、拓撲學與代數(shù)幾何的支援。4、教學時數(shù)分配表章節(jié)目錄課時分配第一章緒論第一節(jié)微分方程 某些物理過程的數(shù)學模型24第二節(jié)基本概念2第二章一階微分方程的初等解法第一節(jié)變量分離方程與變量變換416第二節(jié)線性方程與常數(shù)變易法4第三節(jié)恰當方程與積分因子2第四節(jié)一階隱方程與參數(shù)表示2習題課4第三章一階微分方程的解的存在定理第一節(jié)解的存在唯一性定理與逐步逼近法410第二節(jié)解的延拓2第三節(jié)解對初值的連續(xù)性和可微性定理2第四節(jié)奇解2第四章高階微分方程第一節(jié)線性微分方程的一般理論412第二節(jié)常系數(shù)線性方程的解法4第三節(jié)高階方程的降價和冪級數(shù)解法2習題課2第五章線性微分方程組第一節(jié)存在唯一性定理214第二節(jié)線性微分方程組的一般理論4第三節(jié)常系數(shù)線性微分方程組4習題課4第六章非線性微分方程和穩(wěn)定性第一節(jié)引言210第二節(jié)相平面2第三節(jié)按線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性2第四節(jié)李雅普諾夫第二方法2第五節(jié)周期解和極限圈2習題課2總課時數(shù)68 5、使用教材王高雄等編常微分方程（第二版式），高等教育出版社，1982。 6、教學方法與手段本課程以黑板講授、學生自學、精講精練相結(jié)合的教學方法為主，適當安排習題課與討論課（主要是對存在唯一性定理以及定性與穩(wěn)定性理論簡介部分）。適當組織12個大型的有應(yīng)用背景的微分方程模型，從建模、求解、到解釋，讓學生在教師指導(dǎo)下，自己動手，通過討論，經(jīng)歷全過程，得到一定訓練。個別章節(jié)輔之以多媒體教學手段或數(shù)學實驗手段。在教學過程中，應(yīng)當積極開展對教學內(nèi)容與課程體系、教學方法與教學手段的改革，認真總結(jié)經(jīng)驗，并將教學改革的成果逐步吸收到教學中來，不斷提高教學質(zhì)量。要不斷更新教學內(nèi)容，逐步實現(xiàn)教學內(nèi)容的現(xiàn)代化；要加強不同數(shù)學分支間的相互結(jié)合和相互滲透，進行課程和內(nèi)容的重組；要突出數(shù)學思想方法的教學，加強數(shù)學應(yīng)用能力的培養(yǎng)，注重運算技巧的訓練；要尊重個性，發(fā)揮特長，探索現(xiàn)階段因材施教的新方法、新模式；要不斷探索以學生為主體有利于調(diào)動學生自主學習積極性的啟發(fā)式、討論式、研究式的教學方法；要積極采用現(xiàn)代教育技術(shù)手段，使傳統(tǒng)的教學手段與現(xiàn)代教學手段相互結(jié)合，取長補短。應(yīng)努力創(chuàng)造條件，盡快開設(shè)或引入與理論教學相配套的數(shù)學實驗課，使學生學會使用常用的數(shù)學軟件，逐步培養(yǎng)和提高學生用數(shù)學軟件解決問題的意識和能力。7、考核方式 本課程為專業(yè)必修課，采取閉卷方式進行考試。8、主要參考書目 常微分方程,東北師大數(shù)學系編，高教出版社 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社。 常微分方程講義，葉彥謙編，人教出版社。 微分方程，.艾利斯哥爾茲著，人教出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編，上?？萍汲霭嫔?。 常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學出版社。 常微分方程，林武忠 等編，科學出版社；差分方程和常微分方程，阮炯 編，復(fù)旦大學出版社；常微分方程習題解，莊萬 主編，山東科學技術(shù)出版社；常微分方程習題集，周尚仁，權(quán)宏順 編，人民教育出版社。二、課程內(nèi)容第一章 緒論（4課時）第一節(jié) 微分方程：某些物理過程的數(shù)學模型（2課時）1、教學目的和要求了解微分方程的背景即某些物理過程的數(shù)學模型，如冷卻過程、質(zhì)點運動(自由落體，數(shù)學擺)、R-L-C回路等。2、教學要點與知識點教學要點：某些物理過程的數(shù)學模型的思想和例子；知識點： 把實際問題抽象為常微分方程。3、教學重點與難點建立微分方程模型的思想、方法和例子。第二節(jié) 基本概念（2課時）1、教學目的和要求理解常微分方程、偏微分方程、常微分方程的階、線性、非線性、解、隱式解、通解、特解、定解問題、積分曲線、方向場、等斜線等基本概念。2、教學要點與知識點教學要點： 微分方程基本概念。知識點： 常微分方程的解；線性、非線性概念。3、教學重點與難點微分方程的基本概念。第二章 一階微分方程的初等解法（12+4課時）第一節(jié) 變量分離方程與變量變換（4課時）1、教學目的和要求： 熟練掌握變量可分離方程、齊次方程、可化為齊次方程的一階微分方程的解法（包括通解和滿足初始條件的特解），對一些簡單的實際問題會建立相應(yīng)的微分方程。 2、教學要點與知識點：教學要點：變量分離方程的基本解法與運用變量變換法求解齊次方程。知識點：變量分離方程；齊次方程。伯努利方程；恰當方程與積分因子；一階隱方程的解法與解的參數(shù)表示法 3、教學重點與難點 重點：變量分離方程、兩類可化為變量分離方程的方程的求解。 難點：利用變量替換思想將某些方程轉(zhuǎn)化為已知類型求解。 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度要求能熟練掌握變量分離方程的求解方法。注意強調(diào)求解過程中可能遺漏的特解，并讓學生初步體會到某些方程的初值解未必唯一存在。 第二節(jié) 線性方程與常數(shù)變易法（4+2課時） 1、教學目的和要求： 掌握一階齊線性微分方程的基本解法及基本公式；掌握運用常數(shù)變易法求解一階非齊線性微分方程；掌握運用變量變換法化伯努利方程為一階線性微分方程；記住一階非齊線性方程的通解表達式.2、教學要點與知識點：教學要點：一階齊線性微分方程；一階非齊線性微分方程與常數(shù)變易法、伯努利方程的解法。知識點： 一階非齊線性微分方程與常數(shù)變易法； 3、教學重點與難點 重點：掌握一階齊線性微分方程；一階非齊線性微分方程的求解方法與常數(shù)變易法。 難點：方程類型的判斷 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 要求能熟練運用常數(shù)變易法求解一階非齊線性微分方程；對一些簡單的實際問題會建立相應(yīng)的微分方程。第三節(jié) 恰當方程與積分因子（2+2課時）1、教學目的和要求： 掌握恰當方程的判別法與非恰當方程的積分因子的求法；會用變量代換法、交換x與y的位置、微分與微商轉(zhuǎn)換和尋找積分因子等方法求解非典型的一階微分方程。掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示。會求解幾種可降階的高階方程。了解黎卡蒂方程。2、教學要點與知識點：教學要點：恰當方程的判別法與非恰當方程的積分因子的求法；知識點： 恰當方程的求解方法；積分因子的求法。 3、教學重點與難點 重點：恰當方程的判別法與非恰當方程的積分因子的求法。 難點：判斷方程類型采用正確解法求解；恰當方程判定條件的證明；積分因子的尋求。 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 要求能熟練判斷方程類型采用正確解法求解。第四節(jié) 一階隱方程與參數(shù)表示（2課時）1、教學目的和要求： 掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示；會求解幾種可降階的高階方程；了解黎卡蒂方程。2、教學要點與知識點：教學要點：掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示；知識點：一階隱方程的解法。 3、教學重點與難點重點：一階隱方程的解法和其參數(shù)表示難點：不顯含x或y的一階隱方程的求解，參數(shù)表示法中參數(shù)變換的適當選擇 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 要求能熟練掌握一階隱方程的解法和其參數(shù)表示第三章 一階微分方程的解的存在定理（10課時）第一節(jié) 解的存在與唯一性定理與逐步逼近法（4課時）1、教學目的和要求： 掌握解的存在唯一性定理，該定理是微分方程中的基本定理，同時也是微分方程近似計算的前提和根據(jù). 理解近似計算和誤差估計.3 熟練掌握運用逐步逼近法這一重要的分析方法，運用該定理證明解的存在唯一性定理.2、教學要點與知識點：教學要點：掌握存在唯一性定理及證明方法逐次逼近法；知識點：存在唯一性定理及逐次逼近法。 3、教學重點與難點 重點：存在唯一性定理；會求方程的近似解和誤差估計。難點：存在唯一性定理的證明方法逐次逼近法 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 熟記初值問題的存在唯一性條件。第二節(jié) 解的延拓（2課時）1、教學目的和要求： 理解解的延拓定理，此定理揭示了微分方程解的重要性質(zhì).2、教學要點與知識點：教學要點：有界及無界區(qū)域中解的延拓定理； 知識點：解的延拓。 3、教學重點與難點 重點：解的延拓定理，結(jié)合解的存在唯一性和延拓定理會初步應(yīng)用于討論某些方程解的最大存在區(qū)間。難點：解的延拓定理結(jié)論的準確含義。 第三節(jié) 解對初值的連續(xù)性和可微性定理（2課時）1、教學目的和要求： 理解解對初值的連續(xù)性和可微性定理.2、教學要點與知識點：教學要點：解對初值的連續(xù)性和可微性定理； 知識點：解對初值的可微性定理。 3、教學重點與難點 解對初值的連續(xù)性和可微性定理 第四節(jié) 奇解（2課時）1、教學目的和要求： 理解奇解的概念并會求方程的奇解及克萊羅方程.2、教學要點與知識點：教學要點：奇解的概念；求奇解的方程及克萊羅方程的求法； 知識點：奇解；克萊羅方程。 3、教學重點與難點 求奇解的方程及克萊羅方程的求法第四章 高階微分方程（12課時）第一節(jié) 線性微分方程的一般理論（4課時）1、教學目的和要求： （1）了解n階線性方程的解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論；（2）掌握齊線性方程的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)疊加原理，純量函數(shù)線性相關(guān)/線性無關(guān)的概念，利用純量函數(shù)組的Wronsky行列式判定齊線性方程的解的線性關(guān)系，n階齊線性方程通解結(jié)構(gòu)定理，基本解組的概念。（3）掌握n階非齊線性方程的解的性質(zhì)和通解結(jié)構(gòu)，以二階非齊線性方程為主要對象介紹n階非齊線性方程的常數(shù)變易法。2、教學要點與知識點：教學要點：掌握齊（非齊）線性方程的解的性質(zhì)和通解結(jié)構(gòu)，二階非齊線性方程的常數(shù)變易法。知識點：基本解組；通解結(jié)構(gòu)。 3、教學重點與難點 重點：齊線性方程解的線性關(guān)系的判定，齊（非齊）線性方程的通解結(jié)構(gòu)，二階非齊線性方程的常數(shù)變易法。難點：函數(shù)的線性相關(guān)、無關(guān)與Wronsky行列式的關(guān)系。 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 熟記齊（非齊）線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)；伏朗斯基行列式與齊線性微分方程的基本解組；非齊線性微分方程與常數(shù)變易法 第二節(jié) 常系數(shù)線性方程的解法（4+2課時） 1、教學目的和要求： 1理解復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解的概念和性質(zhì)；并能運用復(fù)數(shù)法求解非齊線性微分方程的特解.2熟練掌握常系數(shù)齊線性微分方程的基本解組的特征根法（或歐拉待定指數(shù)函數(shù)法）3掌握常系數(shù)非齊線性微分方程的特解的待定系數(shù)法及運用常數(shù)變易法求出一般非齊線性微分方程的特解.4熟練掌握常系數(shù)線性微分方程與歐拉方程2、教學要點與知識點：教學要點：掌握常系數(shù)齊（非齊）線性方程的解法。知識點：常系數(shù)齊（非齊）線性方程的求解。 3、教學重點與難點 重點：待定指數(shù)函數(shù)法求解常系數(shù)齊線性方程，比較系數(shù)法求解帶特殊自由項的常系數(shù)非齊線性方程。難點：各解法的推理過程。 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 能熟練求常系數(shù)齊（非齊）線性微分方程的解 第三節(jié) 高階方程的降階和冪級數(shù)解法（2課時） 1、教學目的和要求： 熟練掌握高階方程中的可降階的一些方程類型的解法；理解一般二階齊線性方程的特解的冪級數(shù)解法；理解n階貝塞耳方程概念及其解法.2、教學要點與知識點：教學要點：降階法求高階方程的解；知識點： 降階法 3、教學重點與難點重點：高階方程中的可降階的一些方程類型的解法難點：各解法的區(qū)別 4、教學內(nèi)容的深度、廣度和熟練程度 高階方程的降階；二階線性方程的冪級數(shù)解法第五章 線性微分方程組（16課時）第一節(jié) 存在唯一性定理（4課時）1教學目的和要求了解線性微分方程組的有關(guān)概念，解的存在唯一性定理及證明。理解線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)，通解基本定理，掌握常數(shù)變易法和劉維爾公式。熟練掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法（單特征根情形）。 1、教學目的和要求： 了解線性微分方程組的有關(guān)概念，解的存在唯一性定理及證明。2、教學要點與知識點：教學要點：矩陣表示下線性微分方程組的解、初值問題的定義，n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價轉(zhuǎn)化。知識點： n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價轉(zhuǎn)化。 3、教學重點與難點重點：線性微分方程組的相關(guān)概念在矩陣范疇下的表達方式；n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價轉(zhuǎn)化。難點：n階線性微分方程與某類一階n維線性微分方程組的等價轉(zhuǎn)化。第二節(jié) 線性微分方程組的一般理論（4+2課時）1、教學目的和要求： 1會利用向量函數(shù)組的Wronsky行列式判定齊線性方程的解的線性關(guān)系；2掌握齊線性方程組的通解結(jié)構(gòu)，基本解組的概念，齊線性方程組的解結(jié)構(gòu)理論在n階齊線性方程中的推論，解結(jié)構(gòu)理論的矩陣表述（包括：解矩陣、基解矩陣的概念及基解矩陣的關(guān)系）；3掌握非齊線性方程組的通解結(jié)構(gòu)，非齊線性方程組的常數(shù)變易法及其在n階非齊線性方程中的推論。2、教學要點與知識點：教學要點：解矩陣、基解矩陣的概念及基解矩陣的關(guān)系知識點：基解矩陣 3、教學重點與難點重點：齊線性方程組的解向量線性關(guān)系的判定，齊（非齊）線性方程的通解結(jié)構(gòu)。難點：向量函數(shù)的線性相關(guān)、無關(guān)其與Wronsky行列式的關(guān)系。線性方程組的通解結(jié)構(gòu)理論與n階線性方程相關(guān)結(jié)論的關(guān)系。第三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程組（4+2課時）1、教學目的和要求： 1了解待定指數(shù)向量函數(shù)法求解方程組的非零解的思想，常系數(shù)齊線性方程的特征方程、特征根的概念與計算。2熟練掌握基解矩陣、實值基解矩陣的計算3掌握常系數(shù)線性微分方程組的基本解法；掌握運用常數(shù)變易法求解非齊線性微分方程組，記住常數(shù)變易公式 4理解拉普拉斯變換的一些應(yīng)用，它往往能簡化常系數(shù)線性微分方程組的初值問題的求解.5掌握高階線性方程與線性微分方程組的關(guān)系，懂得將線性微分方程組的有關(guān)結(jié)果推論到高階線性方程上去.2、教學要點與知識點：教學要點：基解矩陣、