北京市101中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理

北京101中學(xué)2020學(xué)年上學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷滿分120分，考試時間100分鐘一、選擇題共8小題，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1. 三條直線l1，l2，l3的位置如圖所示，它們的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系是（ ）A. k1k2k3 B. k1 k3 k2 C. k3 k2 k1 D. k2 k3 k12. 如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點。若=a，=b，=c，則下列向量中與相等的向量是（ ）A. B. C. D. 3. 過點（-l，3）且與直線x-2y+3=0平行的直線方程是（ ）A. x-2y-5=0 B. x-2y+7=0 C. 2x+y-1=0 D. 2x+y-5=04. 已知球O與正方體各棱均相切，若正方體棱長為，則球O的表面積為（ ）A. B. 2 C. 4 D. 65. 在下列命題中：若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p，總存在實數(shù)x，y，z，使得p=xa+yb+zc。正確命題的個數(shù)是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 36. 如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB=OC，且AOB=AOC=，則cos（，）的值為（ ）A. B. 0 C. D. 7. 如圖，點O為正方體ABCD-ABCD的中心，點E為面BBCC的中心，點F為BC的中點，則空間四邊形DOEF在該正方體的面上的正投影不可能是（ ）A. B. C. D. 8. 如圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點。那么，當小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（ ）A. B. C. D. 二、填空題共6小題，共30分。9. 若直線ax+4y-l=0與2x-5y+6=0互相垂直，則a的值為_。10. 過原點且傾斜角為60的直線被圓x2+y2-4y=0所截的弦長為_。11. 正四面體棱長為，則它的體積是_。12. 若直線（2m2+m-3）x+（m2-m）y=4m-l與直線2x-3y=5平行，則m的值是_。13. 如圖，在一個60的二面角的棱上有兩個點A，B，AC，BD分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB=4，AC=6，BD=8，則CD的長為_。14. 在如圖所示的棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，作與平面ACD1平行的截面，則截得的三角形中，面積最大的值是_；截得的平面圖形中，面積最大的值是_。三、解答題共4小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。15. （12分）已知圓C經(jīng)過P（4，-2），Q（-1，3）兩點，且圓心在x軸上。（1）求直線PQ的方程；（2）圓C的方程；（3）若直線lPQ，且l與圓C交于點A，B，且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程。16. （12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點。（1）求證：PABD；（2）求證：平面BDE平面PAC；（3）當PA平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積。17. （12分）已知圓M：x2+（y-2）2=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別切圓M于A，B兩點。（1）若Q（1，0），求切線QA，QB的方程；（2）求四邊形QAMB面積的最小值；（3）若|AB|=，求直線MQ的方程。18. （14分）如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點。（1）求證：B1C平面A1BD；（2）求二面角A1-BD-A的大??；（3）在線段AA1上是否存在一點E，使得平面B1C1E平面A1BD，若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由。參考答案1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A 9. 10. 10. 211. 12. 13. 2 14. 2；315. （1）直線PQ的方程為x+y-2=0。（2）圓C的方程為（x-1）2+y2=13。（3）設(shè)直線l的方程為y=-x+m，A（x1，m-x1），B（x2，m-x2），由題意可知OAOB，即=0，所以x1x2+（m-x1）（m-x2）=0，化簡得2x1x2-m（x1+x2）+m2=0。（*）由得2x2-2（m+1）x+m2-12=0，所以x1+x2=m+1，x1x2=。代入（*）式，得m2-12-m（m+1）+m2=0，所以m=4或m=-3，經(jīng)檢驗都滿足判別式0，所以直線l的方程為x+y-4=0或x+y+3=0。16. （1）因為PAAB，PABC，所以PA平面ABC。又因為BD平面ABC，所以PABD。（2）因為AB=BC，D為AC中點，所以BDAC。由（1）知，PABD，所以BD平面PAC。所以平面BDE平面PAC。（3）因為PA平面BDE，平面PAC平面BDE=DE，所以PADE。因為D為AC的中點，所以DE=PA=l，BD=DC=。由（1）知，PA平面ABC，所以DE平面ABC。所以三棱錐E-BCD的體積V=BDDCDE=。17. （1）設(shè)過點Q的圓M的切線方程為x=my+1，則圓心M到切線的距離為1，所以，所以m=或0，所以QA，QB的方程分別為3x+4y-3=0和x=1。（2）因為MAAQ，所以S四邊形MAQB=|MA|QA|=|QA|=。所以四邊形QAMB面積的最小值為。（3）設(shè)AB與MQ交于P，則MPAB，MBBQ，所以|MP|=。在RtMBQ中，|MB|2=|MP|MQ|，即1=|MQ|，所以|MQ|=3，所以x2+（y-2）2=9。設(shè)Q（x，0），則x2+22=9，所以x=，所以Q（，0），所以MQ的方程為2x+y+2=0或2x-y-2=0。18. （1）連結(jié)AB1交A1B于M，連結(jié)DM，因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以四邊形AA1B1B是矩形，所以M為AB1的中點。因為D是AC的中點，所以MD是三角形AB1C的中位線，所以MDB1C。因為MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD。（2）作COAB于O，所以CO平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如圖建立空間直角坐標系O-xyz。因為AB=2，AA1=，D是AC的中點。所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0，），A1（1，0），所以D（，0，），=（，0，），=（2，0）。設(shè)n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，所以即令x=-，則y=2，z=3，所以n=（-，2，3）是平面A1BD的一個法向量。由題意可知=（0，0）是平面ABD的一個法向量，所以cos=。由題知二面角A