云南省德宏州芒市第一中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.2橢圓教學(xué)設(shè)計 新人教A版選修2-1VIP

2.2 橢 圓2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 知識與技能目標(biāo)理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會用橢圓的定義解決實際問題；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡無理方程的常用的方法；了解求橢圓的動點的伴隨點的軌跡方程的一般方法 過程與方法目標(biāo)（1）預(yù)習(xí)與引入過程當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時，截口曲線是橢圓，再觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；第二、你能舉出現(xiàn)實生活中圓錐曲線的例子當(dāng)學(xué)生把上述兩個問題回答清楚后，要引導(dǎo)學(xué)生一起探究P41頁上的問題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備無彈性的細繩子一條（約10cm長，兩端各結(jié)一個套），教師準(zhǔn)備無彈性細繩子一條（約60cm，一端結(jié)個套，另一端是活動的），圖釘兩個）當(dāng)套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是橢圓啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆小（動點）滿足的幾何條件是什么？板書211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到橢圓的定義板書把平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓（ellipse）其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做橢圓的焦距即當(dāng)動點設(shè)為時，橢圓即為點集（ii）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程提問：已知圖形，建立直角坐標(biāo)系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關(guān)系 無理方程的化簡過程是教學(xué)的難點，注意無理方程的兩次移項、平方整理 設(shè)參量的意義：第一、便于寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義 類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（iii）例題講解與引申例1 已知橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用其他方法來解另解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因點在橢圓上，則例2 如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足當(dāng)點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？分析：點在圓上運動，由點移動引起點的運動，則稱點是點的伴隨點，因點為線段的中點，則點的坐標(biāo)可由點來表示，從而能求點的軌跡方程引申：設(shè)定點，是橢圓上動點，求線段中點的軌跡方程解法剖析：（代入法求伴隨軌跡）設(shè)，；（點與伴隨點的關(guān)系）為線段的中點，；（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），點的軌跡方程為；伴隨軌跡表示的范圍例3如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程分析：若設(shè)點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點的軌跡方程解法剖析：設(shè)點，則，；代入點的集合有，化簡即可得點的軌跡方程引申：如圖，設(shè)的兩個頂點，頂點在移動，且，且，試求動點的軌跡方程引申目的有兩點：讓學(xué)生明白題目涉及問題的一般情形；當(dāng)值在變化時，線段的角色也是從橢圓的長軸圓的直徑橢圓的短軸 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過作圖展示與操作，必須讓學(xué)生認同：圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學(xué)生認同與體會：橢圓的定義及特殊情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點間距離時，軌跡是線段；必須讓學(xué)生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學(xué)生用對稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；讓學(xué)生認同與領(lǐng)悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來解，培養(yǎng)學(xué)生從定義的角度思考問題的好習(xí)慣；例2是典型的用代入法求動點的伴隨點的軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的觀點解決問題；通過例3培養(yǎng)學(xué)生的對問題引申、分段討論的思維品質(zhì)能力目標(biāo)（1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線和拋物線的實際例子，能用數(shù)學(xué)符號或自然語言的描述橢圓的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)符號表示（2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3） 實踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力（4） 數(shù)學(xué)活動能力：培養(yǎng)學(xué)生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學(xué)活動能力（5） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑練習(xí)：第45頁1、2、3、4、作業(yè)：第53頁2、3、212橢圓的簡單幾何性質(zhì) 知識與技能目標(biāo)了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義 過程與方法目標(biāo)（1）復(fù)習(xí)與引入過程引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性；先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標(biāo)及長軸、短軸的概念；通過P48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率板書212橢圓的簡單幾何性質(zhì)（2）新課講授過程（i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，知道對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì)提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì) （ii）橢圓的簡單幾何性質(zhì) 范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，進一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里；對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率（），； （iii）例題講解與引申、擴展例4 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)分析：由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關(guān)量擴展：已知橢圓的離心率為，求的值解法剖析：依題意，但橢圓的焦點位置沒有確定，應(yīng)分類討論：當(dāng)焦點在軸上，即時，有，得；當(dāng)焦點在軸上，即時，有，例5 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分過對對稱的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上，由橢圓一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點已知，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口所在橢圓的方程解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，算出的值；此題應(yīng)注意兩點：注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則；關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定引申：如圖所示， “神舟”截人飛船發(fā)射升空，進入預(yù)定軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面，遠地點距地面，已知地球的半徑建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的軌跡方程例6如圖，設(shè)與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)，求點的軌跡方程分析：若設(shè)點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程引申：（用幾何畫板探究）若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點的軌跡方程是橢圓其中定點是焦點，定直線：相應(yīng)于的準(zhǔn)線；由橢圓的對稱性，另一焦點，相應(yīng)于的準(zhǔn)線： 情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)在合作、互動的教學(xué)氛圍中，通過師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長的教學(xué)活動情境，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界觀，激勵學(xué)生創(chuàng)新必須讓學(xué)生認同和掌握：橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接得到橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率；必須讓學(xué)生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個原則，充分利用圖形對稱性，注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進教學(xué)輔助手段的技能 能力目標(biāo)（1） 分析與解決問題的能力：通過學(xué)生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力（2） 思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3） 實踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力（4） 創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑練習(xí)：第52頁1、2、3、4、5、6、7作業(yè)：第53頁4、5補充： 1.課題:雙曲線第二定義學(xué)法指導(dǎo)：以問題為誘導(dǎo)，結(jié)合圖形，引導(dǎo)學(xué)生進行必要的聯(lián)想、類比、化歸、轉(zhuǎn)化.復(fù)習(xí)回顧問題推廣引出課題典型例題課堂練習(xí)歸納小結(jié)教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：橢圓第二定義、準(zhǔn)線方程；能力目標(biāo)：1使學(xué)生了解橢圓第二定義給出的背景； 2了解離心率的幾何意義； 3使學(xué)生理解橢圓第二定義、橢圓的準(zhǔn)線定義； 4使學(xué)生掌握橢圓的準(zhǔn)線方程以及準(zhǔn)線方程的應(yīng)用； 5使學(xué)生掌握橢圓第二定義的簡單應(yīng)用；情感與態(tài)度目標(biāo)：通過問題的引入和變式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，應(yīng)用運動變化的觀點看待問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價值.教學(xué)重點：橢圓第二定義、焦半徑公式、準(zhǔn)線方程；教學(xué)難點：橢圓的第二定義的運用；教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進取的精神教學(xué)過程： 學(xué)生探究過程：復(fù)習(xí)回顧1橢圓的長軸長為 18 ，短軸長為 6 ，半焦距為，離心率為，焦點坐標(biāo)為，頂點坐標(biāo)為，（準(zhǔn)線方程為）.2短軸長為8，離心率為的橢圓兩焦點分別為、，過點作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為 20 .引入課題【習(xí)題4（教材P50例6）】橢圓的方程為，M1，M2為橢圓上的點 求點M1（4，2.4）到焦點F（3，0）的距離 2.6 . 若點M2為（4，y0）不求出點M2的縱坐標(biāo)，你能求出這點到焦點F（3，0）的距離嗎？解：且代入消去得【推廣】你能否將橢圓上任一點到焦點的距離表示成點M橫坐標(biāo)的函數(shù)嗎？解：代入消去 得問題1：你能將所得函數(shù)關(guān)系敘述成命題嗎？（用文字語言表述）橢圓上的點M到右焦點的距離與它到定直線的距離的比等于離心率問題2：你能寫出所得命題的逆命題嗎？并判斷真假？（逆命題中不能出現(xiàn)焦點與離心率）動點到定點的距離與它到定直線的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓【引出課題】橢圓的第二定義當(dāng)點與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)時，這個點的軌跡是橢圓定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)是橢圓的離心率對于橢圓，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是根據(jù)對稱性，相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線方程是對于橢圓的準(zhǔn)線方程是可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線距離的比，這就是離心率的幾何意義由橢圓的第二定義可得：右焦半徑公式為；左焦半徑公式為典型例題例1、求橢圓的右焦點和右準(zhǔn)線；左焦點和左準(zhǔn)線；解：由題意可知右焦點右準(zhǔn)線；左焦點和左準(zhǔn)線變式：求橢圓方程的準(zhǔn)線方程；解：橢圓可化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故其準(zhǔn)線方程為小結(jié)：求橢圓的準(zhǔn)線方程一定要化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用準(zhǔn)線公式即可求出例2、橢圓上的點到左準(zhǔn)線的距離是，求到左焦點的距離為 .變式：求到右焦點的距離為 .解：記橢圓的左右焦點分別為到左右準(zhǔn)線的距離分別為由橢圓的第二定義可知：又由橢的第一定義可知：另解：點M到左準(zhǔn)線的距離是2.5，所以點M到右準(zhǔn)線的距離為小結(jié)：橢圓第二定義的應(yīng)用和第一定義的應(yīng)用例1、 點P與定點A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點P的軌跡；解法一：設(shè)為所求軌跡上的任一點，則由化簡得，故所的軌跡是橢圓。解法二：因為定點A（2，0）所以，定直線所以解得，又因為故所求的軌跡方程為變式：點P與定點A（2，0）的距離和它到定直線的距離的比是1：2，求點P的軌跡；分析：這道題目與剛才的哪道題目可以說是同一種類型的題目，那么能否用上面的兩種方法來解呢？解法一：設(shè)為所求軌跡上的任一點，則由化簡得配方得，故所的軌跡是橢圓，其中心在（1，0）解法二：因為定點A（2，0）所以，定直線所以解得，故所求的軌跡方程為問題1：求出橢圓方程和的長半軸長、短半軸長、半焦距、離心率；問題2：求出橢圓方程和長軸頂點、焦點、準(zhǔn)線方程；解：因為把橢圓向右平移一個單位即可以得到橢圓所以問題1中的所有問題均不變，均為長軸頂點、焦點、準(zhǔn)線方程分別為：，；長軸頂點、焦點、準(zhǔn)線方程分別為：，；反思：由于是標(biāo)準(zhǔn)方程，故只要有兩上獨立的條件就可以確定一個橢圓，而題目中有三個條件，所以我們必須進行檢驗，又因為另一方面離心率就等于這是兩上矛盾的結(jié)果，所以所求方程是錯誤的。又由解法一可知，所求得的橢圓不是標(biāo)準(zhǔn)方程。小結(jié)：以后有涉及到“動點到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)時”最好的方法是采用求軌跡方程的思路,但是這種方法計算量比較大；解法二運算量比較小，但應(yīng)注意到會不會是標(biāo)準(zhǔn)方程，即如果三個數(shù)據(jù)可以符合課本例4的關(guān)系的話，那么其方程就是標(biāo)準(zhǔn)方程，否則非標(biāo)準(zhǔn)方程，則只能用解法一的思維來解。例4、設(shè)AB是過橢圓右焦點的弦，那么以AB為直徑的圓必與橢圓的右準(zhǔn)線（ ）A.相切 B.相離 C.相交 D.相交或相切分析：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？解：設(shè)AB的中點為M，則M即為圓心，直徑是|AB|；記橢圓的右焦點為F，右準(zhǔn)線為；過點A、B、M分別作出準(zhǔn)線的垂線，分別記為由梯形的中位線可知又由橢圓的第二定義可知即又且故直線與圓相離例5、已知點為橢圓的上任意一點，、分別為左右焦點；且求的最小值分析：應(yīng)如何把表示出來解：左準(zhǔn)線：，作于點D，記由第二定義可知： 故有所以有當(dāng)A、M、D三點共線時，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是變式1：的最小值；解：F1AMD變式2：的最小值；解：鞏固練習(xí)1已知 是橢圓 上一點，若 到橢圓右準(zhǔn)線的距離是 ，則 到左焦點的距離為_2若橢圓 的離心率為 ，則它的長半軸長是_答案：1 21或2教學(xué)反思1橢圓第二定義、焦半徑公式、準(zhǔn)線方程；2橢圓定義的簡單運用；3離心率的求法以及焦半徑公式的應(yīng)用；課后作業(yè)1.例題5的兩個變式；2. 已知 ， 為橢圓 上的兩點， 是橢圓的右焦點若 ， 的中點到橢圓左準(zhǔn)線的距離是 ，試確定橢圓的方程解：由橢圓方程可知 、兩準(zhǔn)線間距離為 設(shè) ， 到右準(zhǔn)線距離分別為 ， ，由橢圓定義有 ，所以 ，則 ， 中點 到右準(zhǔn)線距離為 ，于是 到左準(zhǔn)線距離為 ， ，所求橢圓方程為 思考：1方程表示什么曲線？解：；即方程表示到定點的距離