2016年黑龍江省大慶市高考數(shù)學一模試卷（文科）含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2016 年黑龍江省大慶市高考數(shù)學一模試卷（文科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4， 5，則（ ） A A B B B A C AB=2， 3 D A B=1， 4， 5 2若復數(shù) x 滿足 x+i= ，則復數(shù) x 的模為（ ） A B 10 C 4 D 3雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 4已知數(shù)列 是等差數(shù)列，若 a2+， a4+，則 a7+ ） A 7 B 8 C 9 D 10 5下列說法中不正確的個數(shù)是（ ） 命題 “ x R， 0”的否定是 “ R， 0”； 若 “p q”為假命題，則 p、 q 均為假命題； “三個數(shù) a， b， c 成等比數(shù)列 ”是 “b= ”的既不充分也不必要條件 A O B 1 C 2 D 3 6若 函數(shù) f（ x） =2 的一個零點， （ 0， （ +），則（ ） A f（ 0， f（ 0 B f（ 0， f（ 0 C f（ 0， f（ 0 D f（ 0， f（ 0 7已知直線 l 平面 ，直線 m平面 ，給出下列命題 =l m； l m； l m ； l m 其中正確命題的序號是（ ） A B C D 8已知向量 =（ ， ）， =（ = ，且 ，則 x+ ）的值為（ ） A B C D 9設變量 x， y 滿足約束條件 ，目標函數(shù) z=y（ a， b 均大于 0）的最大值為 8，則 a+b 的最小值為（ ） A 8 B 4 C 2 D 2 第 2 頁（共 17 頁） 10一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為 4 的兩個全等的等腰直角三角形若該幾何體的體積為 V，并且可以用 n 個這樣的幾何體拼成一 個棱長為 4 的正方體，則 V， n 的值是（ ） A V=32， n=2 B C D V=16， n=4 11在平面直角坐標系 ，已知 C： y 1） 2=5，點 A 為 C 與 x 軸負半軸的交點，過 A 作 C 的弦 線段 中點為 M，若 |則直線 斜率為（ ） A 2 B C 2 D 4 12已知函數(shù) f（ x） =x+a 的圖象與 x 軸只有一個交點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， 1） （ ， +） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， ） （ 1， +） 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13拋物線 y= 4準線方程是 _ 14若 | |=1， | |= ， ，且 ，則向量 與 的夾角為 _ 15設函數(shù) f（ x） = ，且函數(shù) f（ x）為奇函數(shù)，則 g（ 2） =_ 16已知在三棱錐 P ， B=， ， 面 平面 三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為 _ 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17已知在等比數(shù)列 ， ， a =2 （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）設 bn=+數(shù)列 的前 n 項和 18已知 內角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 2c 2b=0 （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 a=1，求 長的取值范圍 19如圖，四棱錐 P 底面是矩形， 等邊三角形，且平面 平面 ， F 分別為 中點 （ 1）證明： 平面 （ 2）證明：平面 平面 （ 3）若 ， ，求四棱錐 P 體積 第 3 頁（共 17 頁） 20已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = （ 1）求函數(shù) h（ x） =f（ x） x+1 的最大值； （ 2）對于任意 （ 0， +），且 否存在實數(shù) m，使 +為正數(shù)？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由 21已知橢圓 E： 過點（ 0， ），且離 心率為 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若以 k（ k 0）為斜率的直線 l 與橢圓 E 相交于兩個不同的點 A， B，且線段 垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形面積為 ，求 k 的取值范圍 選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑，過點 B 作 O 的切線 O 于點 E， 延長線交 點 D （ 1）求證： D （ 2）若 C=2，求 長 選修 4標系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）以原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程是 =2 （ I）求出直線 l 的普通方程與曲線 C 的直角坐標方程； （ 直線 l 與曲線 C 的交點為 A， B，求 |值 選修 4等式選講 24設函數(shù) f（ x） =|2x 1| |x+2| （ 1）解不等式： f（ x） 0； （ 2）若 f（ x） +3|x+2| |a 1|對一切實數(shù) x 均成立，求 a 的取值范圍 第 4 頁（共 17 頁） 2016 年黑龍江省大慶市高考數(shù)學一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4， 5，則（ ） A A B B B A C AB=2， 3 D A B=1， 4， 5 【考點】 交集及其運算；并集及其運算 【分析】 根據(jù) A 與 B，找出 A 與 B 的交集，并集，即可做出判斷 【解答】 解： A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， 5， AB=2， 3， A B=1， 2， 3， 4， 5， 1B， 4， 5A， 故選： C 2若復數(shù) x 滿足 x+i= ，則復數(shù) x 的模為（ ） A B 10 C 4 D 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算求得復數(shù) x，再求其模即可 【解答】 解： x+i= ， x= i= 1 3i， |x|= ， 故選： A 3雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 利用雙曲線的漸近線方程，轉化求出雙曲線的離心率即可 【解答】 解：雙曲線 的一條漸近線方程為 ， 可得 = ，即 ，解得 ， e= 故選： A 4已知數(shù)列 是等差數(shù)列，若 a2+， a4+，則 a7+ ） A 7 B 8 C 9 D 10 第 5 頁（共 17 頁） 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 由數(shù)列 是等差數(shù)列，得 an+等差數(shù)列，由已知求出 an+公差，再代入等差數(shù)列通項公式求得 a7+ 【解答】 解： 數(shù)列 是等差數(shù)列， an+等差數(shù)列， 由 a2+， a4+，得 d= a7+ a4+3 1=5+3=8 故選： B 5下列說法中不正確的個數(shù)是（ ） 命題 “ x R， 0”的否定是 “ R， 0”； 若 “p q”為假命題，則 p、 q 均為假命題； “三個數(shù) a， b， c 成等比數(shù)列 ”是 “b= ”的既不充分也不必 要條件 A O B 1 C 2 D 3 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 根據(jù)含有量詞的命題的否定判斷 根據(jù)復合命題與簡單命題之間的關系判斷 根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷 【解答】 解： 全稱命題的否定是特稱命題， 命題 “ x R， 0”的否定是 “ R， 0”正確 若 “p q”為假命題，則 p、 q 至少有一個為假命題；故錯誤 “三個數(shù) a， b， c 成等比數(shù)列 ”則 b2= b= ， 若 a=b=c=0，滿足 b= ，但三個數(shù) a， b， c 成等比數(shù)列不成立， “三個數(shù) a， b， c 成等比數(shù)列 ”是 “b= ”的既不充分也不必要條件，正確 故不正確的是 故選： B 6若 函數(shù) f（ x） =2 的一個零點， （ 0， （ +），則（ ） A f（ 0， f（ 0 B f（ 0， f（ 0 C f（ 0， f（ 0 D f（ 0， f（ 0 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 因為 函數(shù) f（ x）的一個零點 可得到 f（ =0，再由函數(shù) f（ x）的單調性可得到答案 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =2x 的一個零點， f（ =0， 又 f（ x） =2 0， f（ x） =2x 是單調遞增函數(shù)，且 （ 0， （ +）， f（ f（ =0 f（ 故選： D 第 6 頁（共 17 頁） 7已知直線 l 平面 ，直線 m平面 ，給出下列命題 =l m； l m； l m ； l m 其中正確命題的序號是（ ） A B C D 【考點】 平面與平面之間的位置關系 【分析】 由兩平行平面中的一個和直線垂直，另一個也和平面垂直得直線 l 平面 ，再利用面面垂直的判定可得 為真命題； 當直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平 面內，故 為假命題； 由兩平行線中的一條和平面垂直，另一條也和平面垂直得直線 m 平面 ，再利用面面垂直的判定可得 為真命題； 當直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平面內，如果直線 內，則有 和 相交于 m，故 為假命題 【解答】 解： l 平面 且 可以得到直線 l 平面 ，又由直線 m平面 ，所以有 lm；即 為真命題； 因為直線 l 平面 且 可得直線 l 平行與平面 或在平面 內，又由直線 m平面 ，所以 l 與 m，可以平行，相交，異面；故 為假命題； 因為直線 l 平面 且 l m 可得直線 m 平面 ，又由直線 m平面 可得 ；即 為真命題； 由直線 l 平面 以及 l m 可得直線 m 平行與平面 或在平面 內，又由直線 m平面 得 與 可以平行也可以相交，即 為假命題 所以真命題為 故選 C 8已知向量 =（ ， ）， =（ = ，且 ，則 x+ ）的值為（ ） A B C D 【考點】 兩角和與差的余弦函數(shù)；平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)公式可得 x+ ），再由角的范圍和同角三角函數(shù)基本關系可得 【解答】 解： 向量 =（ ， ）， =（ = ， = x+ ） = ， x+ ） = ， 又 ， 第 7 頁（共 17 頁） x+ ， x+ ） = = ， 故選： A 9設變量 x， y 滿 足約束條件 ，目標函數(shù) z=y（ a， b 均大于 0）的最大值為 8，則 a+b 的最小值為（ ） A 8 B 4 C 2 D 2 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件，畫出滿足約束條件的可行域，再根據(jù)目標函數(shù) z=y（ a 0， b 0）的最大值為 8，求出 a， b 的關系式，再利用基本不等式求出 a+b 的最小值 【解答】 解：滿足約束條件的區(qū)域是一個 四邊形，如下圖： 4 個頂點是（ 0， 0），（ 0， 2），（ ， 0），（ 2， 6）， 由圖易得目標函數(shù)在（ 2， 6）取最大值 8， 即 8=2， ， a+b 2 =2，在 a=b=2 時是等號成立， a+b 的最小值為 2 故選： D 10一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為 4 的兩個全等的等腰直角三角形若該幾何體的體積 為 V，并且可以用 n 個這樣的幾何體拼成一個棱長為 4 的正方體，則 V， n 的值是（ ） 第 8 頁（共 17 頁） A V=32， n=2 B C D V=16， n=4 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知，幾何體為底面是正方形的四棱錐，再根據(jù)公式求解即可 【解答】 解：由三視圖可知，幾何體為底面是正方形的四棱錐， 所以 V= ， 邊長為 4 的正方體 V=64，所以 n=3 故選 B 11在平面直角坐標系 ，已知 C： y 1） 2=5，點 A 為 C 與 x 軸負半軸的交點，過 A 作 C 的弦 線段 中點為 M，若 |則直線 斜率為（ ） A 2 B C 2 D 4 【考點】 直線與圓的位置關系 【分析】 因為圓的半徑為 ，所以 A（ 2， 0），連接 出圓的直徑，在三角形 ，利用正弦定理求出 用 補，即可得出結論 【解答】 解：因為圓的半徑為 ，所以 A（ 2， 0），連接 題意 因此，四點 C， M， A， O 共圓，且 是該圓的直徑， 2R=， 在三角形 ，利用正弦定理得 2R= ， 根據(jù)題意， M=2， 所以， = ， 所以 ， 2（ 鈍角）， 而 補， 所以 ，即直線 斜率為 2 故選： C 12已知函數(shù) f（ x） =x+a 的圖象與 x 軸只有一個交點，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） 第 9 頁（共 17 頁） A（ ， 1） （ ， +） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， ） （ 1， +） 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 求出導數(shù)，求出單調區(qū)間，求出極值，曲線 f（ x）與 x 軸僅有一個交點，可轉化成 f（ x） 極大值 0 或 f（ x） 極小值 0 即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =x+a 的導數(shù)為 f（ x） =32x 1， 當 x 1 或 x 時， f（ x） 0， f（ x）遞增； 當 x 1 時， f（ x） 0， f（ x）遞減 即有 f（ 1）為極小值， f（ ）為極大值 f（ x）在（ ， ）上單調遞增， 當 x 時， f（ x） ； 又 f（ x）在（ 1， +）單調遞增，當 x+時， f（ x） +， 當 f（ x） 極大值 0 或 f（ x） 極小值 0 時，曲線 f（ x） 與 x 軸僅有一個交點 即 a+ 0 或 a 1 0， a （ ， ） （ 1， +）， 故選： D 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13拋物線 y= 4準線方程是 【考點】 拋物線的簡單性質 【分析】 化拋物線的方程為標準方程，可得 p 值，結合拋物線的開口方向可得方程 【解答】 解：化拋物線方程為標準方程可得 ， 由此可得 2p= ，故 ， ， 由拋物線開口向下可知，準線的方程為： y= ， 故答案為： 14若 | |=1， | |= ， ，且 ，則向量 與 的夾角為 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù)向量的數(shù)量積運算和向量的夾角公式即可求出 【解答】 解：設向量 與 的夾角為 ， ，且 ， 第 10 頁（共 17 頁） =（ + ） = + =| |2+| | |， 即 1+ ， 即 ， 0 = ， 故答案為： 15設函數(shù) f（ x） = ，且函數(shù) f（ x）為奇函數(shù)，則 g（ 2） = 6 【考點】 函數(shù)奇偶性的性質 【分析】 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質進行轉化求解即可得到結論 【解答】 解： 函數(shù) f（ x）為奇函數(shù)， f（ 2） =g（ 2） = f（ 2） =（ 22+2） = 6； 故答案為： 6 16已知在三棱錐 P ， B=， ， 面 平面 三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為 3 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 求出 P 到平面 距離為 ， 截面圓的直徑， ，由勾股定理可得 ） 2+ ） 2+（ d） 2，求出 R，即可求出球的表面積 【解答】 解：由題意， 截面圓的直徑， ， 設球心到平面 距離為 d，球的半徑為 R， B=1， ， 平面 平面 P 到平面 距離為 由勾股定理可得 ） 2+ ） 2+（ d） 2， d=0， ， 球的表面積為 4 故答案為： 3 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17已知在等比數(shù)列 ， ， a =2 第 11 頁（共 17 頁） （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）設 bn=+數(shù)列 的前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ I）設數(shù)列 公比為 q，從而由 a =2 可解得 q= ， ，從而解得； （ 簡 bn=+（ 1+2+3+n） = ，故 = 2（ ），從而求和 【解答】 解：（ I）設數(shù)列 公比為 q， 由 a =2（ 2=2a1 q= ， 由 得 故數(shù)列 通項公式為 （ bn=+（ 1+2+3+n） = ， = = 2（ ）， 2（ 1 ） +（ ） +（ ） = 18已知 內角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 2c 2b=0 （ 1）求 A 的大?。?（ 2）若 a=1，求 長的取值范圍 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由余弦定理化簡已知等式，整理得 c2+a2=求 ，結合范圍 0 A ，即可得解 A 的值 （ 2）由（ 1）可求 正弦定理可得 = = ，可求 l=2B+ ） +1由 0 ，利用正弦函數(shù)的性質可求周長的取值范圍 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：（ 1）由已知 2c 2b=0， 由余弦定理得： 2a +c 2b=0， 整理得 c2+a2= 第 12 頁（共 17 頁） ， 0 A ， A= （ 2） ， ， 由正弦定理得： = = ， 周長： l=1+ （ =1+ B+ ） =2B+ ） +1 0 ， B+ ， B+ ） 1， 因此 2 l 3，故 周長的取值范圍為：（ 2， 3 19如圖，四棱錐 P 底面是矩形， 等邊三角形，且平面 平面 ， F 分別為 中點 （ 1）證明： 平面 （ 2）證明：平面 平面 （ 3）若 ， ，求四棱錐 P 體積 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可 （ 2）根據(jù)面面垂直的判定定理進行證明即可 （ 3）根據(jù)條件求出四棱錐的高，利用棱錐的體積公式進行求解即可 【解答】 解：（ I）連結 F 也是 中點， 又 E 是 中點， 又 面 面 平面 （ 平面 平面 平面 面 D， 面 平面 又 面 平面 平面 （ 中點 H，連接 等邊三角形， 又平面 平面 平面 面 D， 第 13 頁（共 17 頁） 面 平面 ， ， = 20已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = （ 1）求函數(shù) h（ x） =f（ x） x+1 的最大值； （ 2）對于任意 （ 0， +），且 否存在實數(shù) m，使 +為正數(shù)？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請說明理由 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的定義域、導數(shù) h（ x），由導數(shù)的符號可知函數(shù)單調性，根據(jù)單調性即可得到最大值； （ 2） + 0 恒成立，只需 +設 （ x） =x） +x） = 0 只需 （ x）在（ 0， +）上單調遞減從而有 （ x） =2+0 在（ 0， +）上恒成立，分離出參數(shù) m 后化為函數(shù)最值即可，利用導數(shù)可求得函數(shù)的最值 【解答】 解：（ 1）函數(shù) h（ x）的定義域為（ 0， +）， h（ x） =x+1， h（ x） = ， 當 x （ 0， 1）時， h（ x） 0；當 x （ 1， +）時， h（ x） 0 h（ x）在（ 0， 1）上是單調遞增，在（ 1， +）上單調遞減， h（ x） h（ 1） =0，即函數(shù)的最大值為 0 （ 2）若 + 0 恒成立，只需 + + 設 （ x） =x） +x） = 又 0 只需 （ x）在（ 0， +）上單調遞減 （ x） =2+0 在（ 0， +）上成立，得 2m ， 設 t（ x） = ，則 t（ x） = ，知函數(shù) t（ x）在（ 0， 1）上單調遞減，在（ 1， +）上單調遞增，即 t（ x） t（ 1） = 1 存在實數(shù) m ，使 +為正數(shù) 21已知橢圓 E： 過點（ 0， ），且離心率為 第 14 頁（共 17 頁） （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若以 k（ k 0）為斜率的直線 l 與橢圓 E 相交于兩個不同的點 A， B，且線段 垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形面積為 ，求 k 的取值范圍 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）運用橢圓 的離心率公式和 a， b， c 的關系，即可得到橢圓方程； （ 2）設直線 l 的方程為 y=kx+m（ k 0）， A（ B（ 聯(lián)立方程 ，整理得（ 3+412=0，運用判別式大于 0 和韋達定理，以及中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為 1，求得垂直平分線方程，求得與坐標軸的交點，可得三角形的面積，解不等式即可得到所求范圍 【解答】 解：（ 1）由題意可得 b= ， e= = ， b2= 解得 a=2， b= ， c=1， 橢圓 E 的方程為 + =1； （ 直線 l 的方程為 y=kx+m（ k 0）， A（ B（ 聯(lián)立方程 ，整理得（ 3+412=0， 此方程有兩個不等實根，可得 =（ 82 4（ 3+4 412） 0， 整理得 3+40 由根與系數(shù)的關系，可得線段 中點坐標（ 足 = ， y0=m= ， 垂直平分線方程為 y = （ x+ ） 此直線與 x 軸、 y 軸的交點坐標分別為（ ， 0），（ 0， ）， 由已知得 | | |= 整理得 ， k 0 將 代入 得 4+3 0， 整理得（ 3+4 48|k|+3） 0， k 0， 解得 |k| ， 所以 k 的取值范圍為（ ， ） （ ， ） 第 15 頁（共 17 頁） 選修 4何證明選講 22如圖， O 的直徑，過點 B 作 O 的切線 O 于點 E， 延長線交 點 D （ 1）求證： D （ 2）若 C=2，求 長 【考點】 與圓有關的比例線段 【分析】 （ 1）要證 D合題意，只需證明 可，故連接 用弦切角的知識即可得證； （ 2）在 ，利用勾股定理即可得出 長，由（ 1）知， D入可得出 長 【解答】 （ 1）證明：連接 O 的切線 0 O 的直徑 0