2020高中數(shù)學 2-3 第2課時角度和物理問題同步導學案 北師大版必修5

第2課時角度和物理問題知能目標解讀1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法求解三角形的實際問題.2.學會處理測量角度問題等解三角形的實際問題.3.用解三角形的知識，解決有關的實際問題，目的是進一步鞏固所學知識，提高分析和解決簡單的實際問題的能力、動手操作能力以及用數(shù)學語言進行交流的能力，增強應用數(shù)學的意識，以達到學習數(shù)學的目的.重點難點點撥重點：構建數(shù)學模型探求角度測量方法.難點：將實際問題抽象成數(shù)學模型.學習方法指導要測量角的大小，可利用測角儀或通過測量出距離計算角的大小，根據(jù)所測出的三角形中的量，運用正、余弦定理和三角形中的有關性質計算出所要求的角.在計算面積和航海問題中，也都與求角的問題相聯(lián)系.要清楚問題中的角的含義，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根據(jù)已知線段和角以及要求的角，選擇有充分條件的三角形求解.知能自主梳理1.測量角度就是在三角形內利用和求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夾角叫做.3.坡面的鉛直高度與水平寬度之比（如圖中的），叫做.答案1.正弦定理余弦定理2.坡角3.坡比思路方法技巧命題方向測量角度問題例1在南海伏季漁中，我漁政船甲在A處觀測到一外國偷漁船乙在我船北偏東60的方向，相距a海里，偷漁船正在向北行駛，若我船速度是漁船速度的倍，問我船應沿什么方向前進才能追上漁船？此時漁船已行駛多少海里？解析如圖所示，設乙船沿B點向北行駛的速度大小為v,則甲船行駛的速度大小為v,兩船相遇的時間為t,則BC=vt,AC=vt，在ABC中，ABC=120,AB=a,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120,即3v2t2=a2+v2t2+vat,2v2t2-vat-a2=0,解得t1=,t2=- (舍去).BC=a,CAB=30.即甲船應沿北偏東30的方向去追趕乙船，在乙船行駛a海里處相遇.說明解答此類問題，首先應明確各個角的含義，然后分析題意，分清已知和所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，將圖形中的已知量與未知量之間的關系轉化為三角形的邊與角的關系，運用正、余弦定理求解.變式應用1在地面上某處，測得塔頂?shù)难鼋菫椋纱颂幭蛩?0米，測得塔頂仰角為2，再向塔走10米，測得塔頂仰角為4，試求角的度數(shù).分析如圖所示，求角，必須把角、2、4和邊長30、10盡量集中在一個三角形中，利用方程求解.解析解法一：PAB=，PBC=2，BPA=，BP=AB=30，又PBC=2，PCD=4，BPC=2，CP=BC=10 ，在BPC中，根據(jù)正弦定理得：，即=，由于sin20,cos2=，0290，2=30,=15.解法二：在BPC中，根據(jù)余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PBBCcos2把PC=BC=10，PB=30代入上式得，300=302+（10）2-23010cos2化簡得：cos2=,0290，2=30,=15.解法三：如下圖，過頂點C作CEPB，交PB于E，BPC為等腰三角形,PE=BE=15,在RtBEC中，cos2=,02OB,ABO=25.49或ABO=154.51,當ABO=25.49時，AOB=136.51，AB=4.77108（km）.當ABO=154.51時，AOB=7.49，AB=9.03107（km）.答：此時地球與金星之間的距離約為4.77108km或9.03107km.名師辨誤做答例4海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（-1）n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A處2n mile的C處的緝私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船.此時，走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？誤解緝私船用t小時，在D處追上走私船，在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=(-1) 2+22-2（-1）2cos1206，BC=.在BCD中，BD=10t,CD=10t,由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD,(10t) 2=6+(10t) 2-210t（-），整理，得100t2-5t-3=0,解得t=.BD=,又BC=,CBD=120.BCD=BDC=30.故緝私船沿東偏北30的方向能最快追上走私船.辨析述解法錯誤的原因在于默認為CBD=120，而沒有給出證明，并且多余的求出時間t.正解緝私船用t小時在D處追上走私船.在ABC,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=(-1) 2+22-2（-1）2cos1206，BC=.在BCD中，由正弦定理，得sinABC=sinBAC=,ABC=45，BC與正北方向垂直.CBD=120.在BCD中，由正弦定理，得,sinBCD=,BCD=30.故緝私船沿東偏北30的方向能最快追上走私船.課堂鞏固訓練一、選擇題1.在某測量中，設A在B的南偏東3427，則B在A的（）A.北偏西3427B.北偏東5533C.北偏西5532D.南偏西5533答案A2.如果在測量中，某渠道斜坡的坡比為，設為坡角，那么cos等于（）A. B. C. D. 答案B解析由題意，得tan=,即,為銳角，cos=.3.一船以22km/h的速度向正北航行,在A處看燈塔S在船的北偏東45,1小時30分后航行到B處,在B處看燈塔S在船的南偏東15,則燈塔S與B之間的距離為 ()A.66 kmB.132 kmC.96 kmD.33 km答案A解析如圖，ASB=180-15-45=120，AB=22，由正弦定理，得，SB=66km.二、填空題4.一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經過h，該船實際航程為.答案6 km解析如圖，水流速和船速的合速度為v，在OAB中： OB2=OA2+AB-2OAABcos60，OB=v=2km/h.即船的實際速度為2km/h，則經過h，其路程為2=6 km.5.一只螞蟻沿東北方向爬行xcm后，再向右轉105爬行20cm，又向右轉135，這樣繼續(xù)爬行可回到出發(fā)點處，那么x=.答案cm解析如圖ABC中，A=451560，B=45+30=75,ACB=45,由正弦定理知,x=.課后強化作業(yè)一、選擇題1.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的（）A.北偏東10B.北偏西10C.南偏東10D.南偏西10答案B解析如圖，由題意知ACB=180-40-6080，AC=BC,ABC=50,=60-50=10.2.甲船在B島的正南A處，AB=10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同時，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們航行的時間是 ()A. minB. hC.21.5minD.2.15h答案A解析如圖，設經過x小時時距離為s，則在BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcos120，即s2=(10-4x) 2+(6x) 2-2(10-4x)6x(-)=28x2-20x+100.當x=-時，s2最小，此時x=h=min.3.如圖所示，B、C、D三點在地面同一直線上，DC=a，從C、D兩點測得A點的仰角分別為、（)，則A點離地面的高AB等于（）A. B. C. D. 答案A解析由tan=,tan=，聯(lián)立解得AB.4.一質點受到平面上的三個力、（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知、成60角，且、的大小分別為2和4，則的大小為 ()A.6B.2C.2D.2答案D解析由題意，得+0，、-,(+)2=2,+2+22，4+16+224cos602，228，|=2.故選D.5.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向上，另一燈塔在船的南偏西75方向上，則這艘船的速度是每小時（）A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里答案C解析如圖，依題意有BAC=60,BAD=75，CAD=CDA=15，從而CD=CA=10，在RtABC中，求得AB=5，這艘船的速度是=10(海里/小時).6.江岸邊有一炮臺高30米，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距（）A.10米B.100米C.20米D.30米答案D解析設炮臺頂部為A，兩條船分別為B,C,炮臺底部為D，可知BAD=45，CAD=60，BDC=30，AD=30.分別在RtADB,RtADC中，求得BD=30,DC=30.在DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DBDCcos30，解得BC=30.7.如圖，在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0，底部的俯角為45，那么這座塔吊的高是（）A.20（1+）mB.20（1+）mC.10（）mD.20（）m答案B解析由仰角與俯角的意義可知，DAE=60，EAC45，又EC20m,BC=AE=20m,在AED中，DE=AEtan6020m.塔吊的高度是20（1+）m.8.如下圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為（）A. 海里/小時 B.34海里/小時C.海里/小時 D.34海里/小時答案 A解析 由題意知PM=68，MPN=120，N=45,由正弦定理知MN=68=34,速度為（海里/小時）.二、填空題9.一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ABED是矩形，已知DAC=50，CBE=70，AC=90，BC=150，則DE= .答案210解析由題意知ACB=120，在ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=902+1502-290150（-）44100.AB=210,DE=210.10.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達對岸，那么船前進的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為.答案30解析水流速度與船速的合速度為v,方向指向河岸，如圖由題意可知sin=30.11.有一長為100米的斜坡，它的傾斜角為45，現(xiàn)在要把傾斜角改成30，則坡底要伸米.答案50（）解析如圖所示，在ABC中，C=90，ABC=45，AB=100,AC=50.又在ACD中，ADC=30，DAB=45-3015.sin15=sin(45-30)=.在ABD中，由正弦定理，得,BD=50()（米）.12.在燈塔上面相距50米的兩點A、B，測得海內一出事漁船的俯角分別為45和60，試計算該漁船離燈塔的距離.答案25（+1）（米）解析由題意，作出圖形如圖所示，設出事漁船在C處，根據(jù)在A處和B處測得的俯角分別為45和60，可知CBD=30，BAC=45+90=135,ACB=180-135-30=15,又AB=50,在ABC中，由正弦定理，得,AC=25（）（米）.出事漁船離燈塔的距離CD= (米).三、解答題13.甲船在A處遇險，在甲船西南10海里B處的乙船收到甲船的求救信號后，測得甲船正沿著北偏西15的方向，以每小時9海里的速度向某島靠近.如果乙船要在40分鐘內追上甲船，問乙船應以多大速度、向何方向航行？（注：sin2147=）分析解答本題可先畫示意圖，然后運用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.解析設乙船速度為v海里/時，在ABC中，由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2ACABcosCAB,v=21海里/時.又由正弦定理可知：,sinB=,B2147,即乙船應按北偏東4521472313的方向航行.14.A、B是海平面上的兩個點，相距800 m，在A點測得山頂C的仰角為45，BAD=120，又在B點測得ABD=45，其中D是點C到水平面的垂足，求山高CD.解析如圖，由于CD平面ABD，CAD=45,所以CD=AD.因此，只需在ABD中求出AD即可.在ABD中，BDA=180-45-120=15,由（m）.CD平面ABD，CAD=45，CD=AD=800（+1）2 186（m）.答：山高CD為2 186 m.15.如圖所示，海中一小島周圍3.8 n mile內有暗礁，一船從A由西向東航行望見此島在北75東.船行8 n mile后，望見此島在北60東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進，有沒有觸礁的危險.解析在ABC中，AC=8，ACB=90+60=150,CAB=90-75=15,ABC=15.ABC為等腰三角形，BC=AC=8，在BCD中，BCD=30,BC=8,BD=BCsin30=43.8.故該船沒有觸礁危險.16.如圖所示，A、B兩個小島相距21n mile,