數(shù)學(xué)分析(華東師大)第九章定積分

第 九 章 定 積 分1 定積分概念 一 問題提出不定積分和定積分是積分學(xué)中的兩 大基 本問 題 .求不定 積分 是求導(dǎo) 數(shù)的 逆 運算 , 定積分則是某種特殊和式的極 限 , 它們 之間 既有區(qū) 別又 有聯(lián)系 .現(xiàn) 在先 從 兩個例子來看定積分概念是怎樣提出來的 .1 . 曲邊梯形的面積 設(shè) f 為閉區(qū) 間 a , b 上 的連 續(xù)函 數(shù) , 且 f ( x ) 0 . 由曲線 y = f ( x ) , 直線 x = a , x = b 以及 x 軸所 圍成 的平 面圖 形 ( 圖 9 - 1) , 稱 為曲邊梯形 .下面討論曲邊梯形的面積 ( 這是求任何曲線邊界圖形面積的基礎(chǔ) ) .圖 9 - 1圖 9 - 2在初等數(shù)學(xué)里 , 圓面積是用一系列邊 數(shù)無 限增多 的內(nèi) 接 ( 或 外切 ) 正 多邊 形 面積的極限來定義的 .現(xiàn)在我們?nèi)杂妙愃频霓k法來定義曲邊梯形的面積 .在區(qū)間 a , b 內(nèi)任取 n - 1 個分點 , 它們依次為a =x0 x1 x2 xn - 1 x n = b,這些點把 a , b 分割成 n 個小區(qū)間 xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .再用 直線 x = xi , i = 1 , 2 , n - 1把曲邊梯形分割成 n 個小曲邊梯形 ( 圖 9 - 2 ) .在每個小區(qū)間 xi - 1 , xi 上任取一點 i , 作 以 f (i ) 為高 , x i - 1 , xi 為底 的 小矩形 .當分割 a , b 的分點較多 , 又分割得較細密時 , 由于 f 為連續(xù)函 數(shù) , 它 在 每個小區(qū)間上的值變化不大 , 從而可 用這些 小矩 形的 面積近 似替 代相應(yīng) 小曲 邊歡迎下載1 定積分概念201梯形的面積 .于是 , 這 n 個小矩形 面積 之和 就可 作為 該曲 邊梯 形 面積 S 的近 似 值 , 即nS i = 1f (i )xi ( xi =xi -xi - 1 ) .( 1) 注意到 (1 ) 式右邊的和式既依賴于對區(qū)間 a , b 的分割 , 又與所 有中間點 i ( i = 1 , 2 , , n ) 的 取法 有關(guān) .可 以 想象 , 當 分點 無 限增 多 , 且 對 a , b 無限 細 分 時 , 如果此和式與某一常數(shù)無限接近 , 而且與分點 xi 和中間點i 的選取無關(guān) , 則 就把此常數(shù)定義作為曲邊梯形的面積 S .2 . 變力所作 的 功 設(shè) 質(zhì) 點 受 力 F 的 作 用沿 x 軸由點 a 移動到點 b, 并設(shè) F 處處平行 于 x 軸 ( 圖 9 - 3 ) .如 果 F 為 常力 , 則它 對 質(zhì)點所作的功為 W = F( b - a) .現(xiàn)在的問題是 ,圖 9 - 3F 為變力 , 它連續(xù)依賴于質(zhì)點所在位置的坐 標 x , 即 F = F( x) , x a , b 為 一 連續(xù)函數(shù) , 此時 F 對質(zhì)點所作的功 W 又該如何計算 ?由假設(shè) F( x ) 為一 連續(xù) 函數(shù) , 故在 很小 的一 段位 移 區(qū)間 上 F( x ) 可以 近 似 地看作 一 常 量 .類 似 于 求 曲 邊 梯 形 面 積 那 樣 , 把 a , b 細 分 為 n 個 小 區(qū) 間 xi - 1 , xi , xi = xi - xi - 1 , i = 1 , 2 , , n ; 并在每個小區(qū)間上任取一點 i , 就有F( x) F(i ) , x xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .于是 , 質(zhì)點從 xi - 1 位移到 xi 時 , 力 F 所作的功就近似等于 F(i )xi , 從而nW F(i )xi .( 2)i = 1 同樣地 , 對 a , b 作無限細分時 , 若 (2 ) 式右邊的和 式與某 一常數(shù)無 限接近 ,則就把此常數(shù)定義作為變力所作的功 W .上面兩個例子 , 一個是計算曲邊梯形面積的幾何問題 , 另一個是求變力作功 的力學(xué)問題 , 它們最終都歸結(jié)為一個特定形式的和式逼近 .在科學(xué)技術(shù)中還有許 多同樣類型的數(shù)學(xué)問題 , 解決這類問 題的思 想方 法概括 說來 就是“分 割 , 近似 求 和 , 取極限”.這就是產(chǎn)生定積分概念的背景 . 二 定積分的定義定義 1 設(shè)閉區(qū)間 a, b 內(nèi)有 n - 1 個點 , 依次為a =x0 x1 x2 xn - 1 x n = b,它們把 a , b 分成 n 個小 區(qū)間 i = xi - 1 , xi , i = 1 , 2 , n .這些分 點或這 些 閉子區(qū)間構(gòu)成對 a , b 的一個分割 , 記為T = x0 , x1 , xn 或 1 ,2 ,n .小區(qū)間 i 的長度為 xi = x i - xi - 1 , 并記202第九章 定 積 分稱為分割 T 的模 . T = max xi ,1 i n注 由于 xi T , i = 1 , 2 , , n , 因此 T 可 用來 反映 a , b 被 分 割的細密程度 .另外 , 分割 T 一旦給出 , T 就隨之而確定 ; 但是 , 具有同 一細 度 T 的分割 T 卻有無限多個 .定義 2 設(shè) f 是定義在 a , b 上的 一個 函數(shù) .對于 a , b 的一 個 分割 T =1 , 2 ,n , 任取點 i i , i = 1 , 2 , n , 并作和式ni = 1f (i ) xi .稱此和式為函數(shù) f 在 a , b 上的一個積分和 , 也稱黎曼和 .顯然 , 積分和既與分割 T 有關(guān) , 又與所選取的點集 i 有關(guān) .定義 3 設(shè) f 是定義在 a , b 上的 一個 函數(shù) , J 是一 個確 定的實 數(shù) .若對 任 給的正數(shù) , 總存在某一正數(shù) , 使得對 a , b 的任何分割 T , 以及在其上任意選 取的點集 i , 只要 T , 就有ni = 1f (i )xi - J ,則稱函數(shù) f 在區(qū)間 a , b 上可積 或黎 曼可 積 ; 數(shù) J 稱為 f 在 a , b 上 的 定積 分或黎曼積分 , 記作bJ =f ( x) d x .( 3)a其中 , f 稱為被積函數(shù) , x 稱為積分變量 , a , b 稱為積分 區(qū)間 , a、b 分別 稱為 這 個定積分的下限和上限 .以上定義 1 至定義 3 是定積分抽象 概念 的完 整敘述 .下 面是 與定積 分概 念 有關(guān)的幾點補充注釋 .注 1 把定積分定 義的 - 說法和 函數(shù)極限 的- 說法相 對照 , 便會 發(fā) 現(xiàn)兩者有相似的陳述方式 , 因此我們也常用極限符號來表達定積分 , 即把它寫作J =lim T 0ni = 1bf (i )xi =f ( x )d x .( 4)a然而 , 積 分 和 的 極 限 與 函 數(shù) 的 極 限 之 間 其 實 有 著 很 大 的 區(qū) 別 : 在 函 數(shù) 極 限limx af ( x) 中 , 對每一個極限變量 x 來說 , f ( x ) 的值是唯 一確定 的 ; 而 對于積分 和的極限而言 , 每一個 T并不唯一對應(yīng)積分和的一個值 .這使得積 分和的極 限 要比通常的函數(shù)極限復(fù)雜得多 .注 2 可積性是函數(shù)的又一分析性質(zhì) .稍后 ( 定理 9 .3) 就會知道連續(xù)函數(shù)是 可積的 , 于是本節(jié)開頭兩個實例都可用定積分記號來表示 :1) 連 續(xù) 曲 線y=f ( x) 0 在 a , b 上 形 成 的 曲 邊 梯 形 面 積 為1 定積分概念203bS =f ( x ) d x;a2) 在 連 續(xù) 變 力F ( x ) 作 用 下 , 質(zhì) 點 從a 位 移 到 b 所 作 的 功 為 W=bF( x )d x .a注 3 ( 定積 分的幾 何意 義 ) 由 上 述 1) 看到 , 對 于 a , b 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) f , 當 f ( x) 0 , x a , b 時 , 定積 分 (3 ) 的幾 何 意義就是該曲邊梯形的面積 ; 當 f ( x ) 0 ,bx a , b 時 , 這 時 J = - -f ( x) d xa是位 于 x 軸 下 方 的 曲 邊 梯形面積的 相 反圖 9 - 4數(shù) , 不妨稱之為“ 負面積”; 對于一般非定號的 f ( x ) 而 言 ( 圖 9 - 4 ) , 定積 分 J 的 值則是曲線 y = f ( x ) 在 x 軸 上方 部分所 有曲 邊梯 形的 正面 積與 下 方部 分所 有 曲邊梯形的負面積的代數(shù)和 .注 4 定積分作為積分和的極限 , 它的值只與被積函數(shù) f 和積分區(qū)間 a, b有關(guān) , 而與積分變量所用的符號無關(guān) , 即bbbf ( x) d x =f ( t ) d t =f () d =.aaa 例 1 求 在 區(qū) 間 0 , 1 上 , 以拋 物 線 y = x2 為 曲 邊 的 曲 邊 三 角 形 的 面 積( 圖 9 - 5) . 解 由注 3 , 因 y = x2 在 0 , 1 上連 續(xù) , 故所 求面積為1S = x2 d x =limnii2 x.0 T 0i = 1為求得此極限 , 在定 積 分 存 在的 前 提 下 , 允 許 選 擇某種特殊的分割 T 和特殊的點集 i .在此只 需取等分分割 :T = 0 , 1, 2, n - 1 , 1 , T = 1 ;n i - 1nn i - 1 in圖 9 - 5并取 i =nn, n, i = 1 , 2 , n .則有2nS = lim i - 1 1= lim 1 n( i - 1) 2n i = 1nnn 3 i = 1n= limn ( n - 1) n (2 n - 1 )16 n3=3 .204第九章 定 積 分習(xí) 題1 . 按定積分定義證明:bkd x = k( b - a) .a2 . 通過對 積分區(qū)間作等分分割 , 并取適當?shù)狞c集 i , 把定積分看作是對 應(yīng)的積分和的 極限 , 來計算下列定積分 :( 1)n1x3 d x; 提示 : i3 = 1 n2 ( n + 1 )20i= 141b( 2)ex d x; (3 )0bex d x;a( 4)d x (0 a 0 , 要 證存 在 0 , 當 T 時 , 有ni = 1f (i ) xi - F( b) -F( a) 0 , 存 在 0 , 當 x、2 牛頓萊布尼茨公式205x a , b 且 | x- x| 時 , 有f ( x) -f ( x) .b -a于是 , 當 xi T 時 , 任取 i xi - 1 , x i , 便有 |i - i | , 這就證得ni = 1f (i ) xi - F( b) -F( a) n= f (i ) -f (i ) xii = 1n i = 1f (i ) -f (i ) xib -a nx= .ii = 1所以 f 在 a , b 上可積 , 且有公式 (1 ) 成立 .注 1 在應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式時 , F( x ) 可由積分法求得 .注 2 定理條件尚可適當減弱 , 例如 :1) 對 F 的要 求可 減 弱為 : 在 a , b 上連 續(xù) , 在 ( a , b) 內(nèi) 可導(dǎo) , 且 F( x ) =f ( x) , x ( a , b) .這不影響定理的證明 .2) 對 f 的要 求可 減 弱為 : 在 a, b 上可 積 ( 不 一定 連 續(xù) ) .這 時 ( 2 ) 式 仍 成b立 , 且由 f 在 a , b 上可積 , (2 ) 式右 邊當 T 0 時的 極限 就是f ( x ) d x ,a而左邊恒為一常數(shù) .( 更一般的情形參見本節(jié)習(xí)題第 3 題 .)注 3 至5 證得連續(xù)函數(shù) 必有 原函 數(shù)之 后 , 本 定理 的條 件中 對 F 的假 設(shè) 便是多余的了 .例 1 利用牛頓萊布尼茨公式計算下列定積分 :b1)2)xn d x( n 為正整數(shù) ) ;abe x d x; 3 )ad x (0 a M + G.xkni = 1f (i ) xif (k )xk- f (i ) xii k M + G xk -G =M .xk由此可見 , 對于無論多小的 T , 按上 述 方法 選取 點集 i 時 , 總 能使 積分 和 的絕對值大于任何預(yù)先給出的正數(shù) , 這與 f 在 a, b 上可積相矛盾 .208第九章 定 積 分這個定理指出 , 任何可積函數(shù)一 定是 有界的 ; 但要注 意 , 有界 函數(shù)卻 不一 定 可積 .例 1 證明狄利克雷函數(shù)在 0 , 1 上有界但不可積 .D( x) =1 ,x 為有理數(shù) ,0 ,x 為無理數(shù)證 顯然 | D( x ) | 1 , x 0 , 1 .對于 0 , 1 的任一分割 T , 由有理數(shù)和無 理數(shù)在 實數(shù)中的 稠密性 , 在屬 于 Tnn的任一小區(qū)間 i 上 , 當取 i 全為有理數(shù)時 , D(i ) xi = xi = 1 ; 當 取i = 1ni = 1i 全為無理數(shù)時 , D(i ) xi = 0 .所以不論 T 多 么小 , 只要點集 i 取i = 1法不同 ( 全取有理數(shù)或全取無理數(shù) ) , 積分和有不同 極限 , 即 D( x) 在 0 , 1 上 不 可積 .由此例可見 , 有界是可積的必要 條件 .所 以在 以后討 論函 數(shù)的可 積性 時 , 總 是首先假設(shè)函數(shù)是有界的 , 今后不再一一申明 . 二 可積的充要條件要判斷一個函數(shù)是否可積 , 固然可以根據(jù)定義 , 直接考察積分和是否能無限 接近某一常數(shù) , 但由于積分和的復(fù)雜性和那個常數(shù)不易預(yù)知 , 因此這是極其困難 的 .下面即將給出的可積準則只與被積函數(shù)本身有關(guān) , 而不涉及定積分的值 .設(shè) T = i | i = 1 , 2 , , n 為對 a , b 的任一分割 .由 f 在 a , b 上有界 , 它 在每個 i 上存在上、下確界 :Mi = sup f ( x) , mi =inf f ( x ) , i = 1 , 2 , n .x i作和x inS( T ) = i = 1nMi xi , s( T) = i = 1mixi ,分別稱為 f 關(guān)于 分 割 T 的 上 和 與 下 和 ( 或 稱 達 布 上 和 與 達 布 下 和 , 統(tǒng) 稱 達 布 和 ) .任給 i i , i = 1 , 2 , n , 顯然有ns( T ) i = 1f (i ) xi S ( T) .( 1)與積分和相比較 , 達布和只與分割 T 有關(guān) , 而與點 集 i 無關(guān) .由不等 式 ( 1 ) , 就 能通過討論上和與下和當 T 0 時的極限來揭示 f 在 a , b 上是否可積 .所 以 , 可積性理論總是從討論上和與下和的性質(zhì)入手的 .定理 9 .3 ( 可積準則 ) 函數(shù) f 在 a , b 上可積的充要條件是 : 任給 0 ,3 可 積 條 件209總存在相應(yīng)的一個分割 T , 使得S( T ) - s( T) 0 , 總存 在相 應(yīng) 的某一分割 T , 使得i xi 0 , 存在 0 , 對 a, b 中任意兩點 x、x, 只要 | x- x| , 便有f ( x) -f ( x) .b -a所以只要對 a , b 所 作 的分 割 T 滿足 T 0 , 取 滿足 0 2 ( M - m) b - a , 其中 M 與 m 分別為 f 在 a , b 上的上確界與下確界 ( 設(shè) m M , 否則 f 為常量函數(shù) , 顯然 可積 ) .記 f 在 小區(qū)間 = b - , b 上的振幅為 , 則 ( M -m) 2 ( M -m)= .2 因為 f 在 a , b - 上連續(xù) , 由 定理 9 .3 知 f 在 a , b - 上 可積 .再 由定 理 9 .2( 必要性 ) , 存在對 a , b - 的某個分割 T= 1 ,2 ,n - 1 , 使得2i xi .T 令n =, 則 T = 1 ,2 , n - 1 ,n 是對 a , b 的一個分割 , 對于 T , 有ixi = i xi + 2 + 2= .TT根據(jù)定理 9 .2( 充分性 ) , 證得 f 在 a , b 上可積 .定理 9 .6 若 f 是 a , b 上的單調(diào)函數(shù) , 則 f 在 a , b 上可積 .證 設(shè) f 為增函數(shù) , 且 f ( a ) 0 , 只要 T , 這時就有f ( b) - f ( a )i xi ,T所以 f 在 a , b 上可積 .注意 , 單調(diào)函數(shù)即使有無限多個間斷點 , 仍不失其可積性 .例 2 試用兩種方法證明函數(shù)0 ,x = 0 ,f ( x) =1n , 1n + 1 0 , 由于 lim 1 = 0 , 因此當 n 充分大時 1 , 這n nn2說明 f 在, 1 上 只 有 有 限 個 間 斷 點 .利 用 定 理29 .4 和定理 9 .2推知 f 在, 1上可 積 , 且存 在對2圖 9 - 82 , 1的某一分割 T, 使得2i xi .T再把小區(qū)間 0 , 2與 T合并 , 成為對 0 , 1 的一 個分 割 T .由于 f 在0 , 上2的振幅 0 1 , 因此得到i xi = 0 2 + i xi p ,在區(qū)間 0 , 1 上可積 , 且0 ,x = 0 , 1 以及 (0 , 1 ) 內(nèi)的無理數(shù)1f ( x) d x = 0 .0分析 已 知 黎曼 函 數(shù) 在 x = 0 , 1 以 及一切無理 點處 連續(xù) , 而 在 ( 0 , 1 ) 內(nèi) 的 一 切有理點處 間斷 .證 明它 在 0 , 1 上 可 積 的直觀構(gòu)思如下 : 如圖 9 - 9 所示 , 在黎 曼函數(shù)的圖象中畫一條水平直線 y = .在2圖 9 - 9此直線上方只有函數(shù)圖象中有限個點 , 這些點所對應(yīng)的自變量可被含于屬于分割 T 的有限 個小區(qū)間 中 , 當 T 足夠 小212第九章 定 積 分時 , 這有限個小區(qū)間的總長 可為任 意小 ; 而 T 中 其余 小區(qū)間 上函 數(shù) 的振 幅不 大T于2 , 把這兩部分相合 , 便可證得 ixi 0 , 在 0 , 1 內(nèi) 使得 1 的有 理 點 p 只 有有 限個 , 設(shè)它 們 為q2qr1 , , rk .現(xiàn)對 0 , 1 作分割 T = 1 ,2 , ,n , 使 T 2 k , 并把 T 中所有小區(qū)間分為 i | i = 1 , 2 , , m 和 i | i = 1 , 2 , , n - m 兩 類 .其中 i 為 含有 ri | i = 1 , 2 , , k 中點的 所有小區(qū) 間 , 這類小 區(qū)間的個 數(shù) m 2 k( 當所 有 ri 恰好都是 T 的分割點時才有 m = 2 k) ; 而 i 為 T 中所 有其余不 含 ri 中 點的小區(qū)間 .由于 f 在 i 上的振幅 i 12, 于是m i xi 1m22 xi 1 2 k T ;2i = 1i = 1而 f 在 i 上的振幅 i 2 , 于是n - mn - m i xi i = 1把這兩部分合起來 , 便證得 xi .22i = 1nmn - mixi = ixi + ixi 0 , 存在 a0 , 當 T 時 ,ni = 1從而f (i ) xi - J | k | ,即 k f 在 a , b 上可積 , 且bni = 1kf (i )xi -kJ 0 , B 0 ( 否則 f 、g 中 至少有 一個 恒為零 值函 數(shù) , 于是 fg 亦為 零值 函 數(shù) , 結(jié)論顯然成立 ) .任給 0 , 由 f 、g 可積 , 必分別存在分割 T、T, 使得214第九章 定 積 分f ii xi T, gxi2 BT 2 A .令 T = T+ T( 表示把 T、T的所有分割點合并而成的一個新的分割 T) .對于 a , b 上 T 所屬的每一個 i , 有f gi=supx, xisupx, xif ( x) g( x) -f ( x) g( x)g(