6.1留數(shù)的概念及留數(shù)的求法（課堂PPT）

復變函數(shù)論,FunctionsofOneComplexVariable,湖南第一師范學院數(shù)理系,1,第六章留數(shù)理論及其應用,6.1留數(shù),6.2用留數(shù)定理計算實積分,6.3輻角原理及其應用,2,1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理,設函數(shù)f(z)在點a解析.作圓C:|za|=r,設函數(shù)f(z)在區(qū)域0|z-a|R內(nèi)解析.選取r，使0rR，并且作圓C:|za|=r,如果f(z)在a也解析，則上面的積分也等于零；,使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析，那么根據(jù)柯西積分定理,6.1留數(shù),3,如果a是f(z)的孤立奇點，則上述積分就不一定等于零.,定義6.1設f(z)在點a的某去心鄰域0|za|R內(nèi)解析，則稱積分,為f(z)在孤立奇點a的留數(shù)(residue)，記作,4,而且這一展式在上一致收斂。逐項積分，我們有,因此,注1.我們定義的留數(shù)與圓的半徑無關：事實上，在0|z-a|R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：,5,注2.f(z)在孤立奇點a的留數(shù)等于其洛朗級數(shù)展式中,的系數(shù)c-1。,注3.如果a是f(z)的可去奇點，那么,6,柯西留數(shù)定理,定理6.1如果f(z)在周線或復周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1，a2，an外解析，在閉域D+C上除a1，a2，an外連續(xù)，則,7,8,留數(shù)定理的證明,以D內(nèi)每一個孤立奇點ak為心，作圓k，,使以它為邊界的閉圓盤上每一點都在D內(nèi)，并且使任意兩個這樣的閉圓盤彼此無公共點。從D中除去以這些k為邊界的閉圓盤的一個區(qū)域G，其邊界是C以及k.,在G及其邊界所組成的閉區(qū)域上，f(z)解析。因此根據(jù)柯西定理，,9,注1.留數(shù)定理在兩個完全不同，也不相干的概念之間架起了一座橋梁.,注2.具體計算一定要注意前面的系數(shù)2i.,注3.柯西積分定理與柯西積分公式都是柯西留數(shù)定理的特殊情形.,注4.留數(shù)定理把計算周線積分的整體問題化為計算各孤立奇點處的留數(shù)的局部問題.,10,2.留數(shù)的求法,計算f(z)在孤立奇點a的留數(shù)時，我們只關心其洛朗級數(shù)展式中的洛朗系數(shù)c-1，應用洛朗級數(shù)是求留數(shù)的一般方法.但是對于奇點較多的情形此法較繁.,對于計算f(z)在極點a處的留數(shù)時，我們有下面的定理：,11,定理6.2設a為f(z)的n階極點，,12,推論6.3設a為f(z)的二階極點，,定理6.2的結論也可寫成,推論6.3設a為f(z)的一階極點，,13,定理6.5設a為的一階極點.,其中P(z)及Q(z)在a解析，P(a)0，Q(a)=0.,14,例1.函數(shù),因此,有兩個一階極點z=i，這時,15,例2.函數(shù),在z=0有三階極點，而,因此,由上述公式也可得：,16,例3.函數(shù),在z=i有二階極點.這時,令z=i+t，那么在,的泰勒展式中，t的系數(shù)就是f(z)在z=i處的留數(shù)。寫出h(t)中每個因子的到t的一次項，我們有：,17,當|t|1時,因此當|t|1時，,于是,18,由上述公式也可得：,19,例6.3計算積分.,解只以z=0為三階極點.,20,例6.4計算積分.,解法一,21,例6.4計算積分.,解法二的全部零點為,在|z|=1內(nèi)只有z=0一個零點.且為被積函數(shù)