實變函數(shù)證明題大全(期末復習)

1、設有限的可測函數(shù)，證明：存在定義在上的一列連續(xù)函數(shù)，使得于E。證明：因為 在上可測，由魯津定理是，對任何正整數(shù)，存在的可測子集，使得， 同時存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得當時，有所以對任意的，成立由此可得，因此即，由黎斯定理存在的子列，使得，于E2、設上的連續(xù)函數(shù)，為上的可測函數(shù)，則是可測函數(shù)。證明：記，由于在上連續(xù)，故對任意實數(shù)是直線上的開集，設，其中是其構成區(qū)間（可能是有限個，可能為可有為）因此因為在上可測，因此都可測。故可測。3、設是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)，是一開集，而總是一閉集。證明：若，因為是連續(xù)的，所以存在，使任意， 即任意是開集若且，由于連續(xù)，即，因此E是閉集。 4、（1）設求出集列的上限集和下限集證明：設，則存在N，使，因此時，即，所以屬于下標比N大的一切偶指標集，從而屬于無限多，得，又顯然若有，則存在N，使任意，有，因此若時，此不可能，所以（2）可數(shù)點集的外測度為零。證明：證明：設對任意，存在開區(qū)間，使，且所以，且，由的任意性得5、設是E上的可測函數(shù)列，則其收斂點集與發(fā)散點集都是可測的。證： 顯然，的收斂點集可表示為 =.由可測及都可測，所以在上可測。從而，對任一自然數(shù)，可測。故 可測。既然收斂點集可測，那么發(fā)散點集也可測。6、設，存在兩側兩列可測集，,使得 且（-）0，（n）則可測.證明：對于任意， ，所以 又因為 ，所以對于任意，令 ，由0 得所以是可測的又由于可測，有也是可測的所以是可測的。7、設在上，而成立，則有設，則。所以因為，所以即 8、證明：。證明：因為，所以，從而反之，對任意，即對任意，有為無限集，從而為無限集或為無限集至少有一個成立，即或，所以，。綜上所述，。9、證明：若，（），則于。證明：由于，而，所以，由，（）得，。所以，從而，即于。10、證明：若，（），則（）。證明：對任意，由于，所以，由可得，和至少有一個成立。從而，所以，。又由，（）得，。所以，即（）。11、若（），則（）。證明：因為，所以，對任意，有，。又由（）得，。所以，即（）。12、證明：上的連續(xù)函數(shù)必為可測函數(shù)。證明：設是上的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性，對任意實數(shù)，是開集，從而是可測集。所以，是上的可測函數(shù)。13、證明：上的單調(diào)函數(shù)必為可測函數(shù)。證明：不妨設是上的單調(diào)遞增函數(shù)，對任意實數(shù)，記，由單調(diào)函數(shù)的特點得，當時，顯然是可測集；當時，也顯然是可測集。故是上的可測函數(shù)。14、設，是的可測子集，且，若，則。證明：因為是的可測子集，且，所以，從而由得，。又，由積分的絕對連續(xù)性，。15、設，若對任意有界可測函數(shù)都有，則于。證明：由題設，取，顯然為上的有界可測函數(shù)，從而。所以，于，即于。16、設，證明（1）；（2）。證明：由得，（1）。（2）由（1），注意到，由積分的絕對連續(xù)性得，從而注意到，所以，。17、若是上的單調(diào)函數(shù)，則是上的有界變差函數(shù)，且。證明：不妨設是上的單調(diào)增函數(shù)，任取的一個分割則 ，所以，。18、若在上滿足：存在正常數(shù)，使得對任意，都有，則 （1）是上的有界變差函數(shù)，且； （2）是上的絕對連續(xù)函數(shù)。證明：（1）由題設，任取的一個分割則，所以，是上的有界變差函數(shù)，且。（2）在內(nèi)，任取有限個互不相交的開區(qū)間，。由于，于是，對任意，取，則當時，有，即是上的絕對連續(xù)函數(shù)。19、若是上的絕對連續(xù)函數(shù)，則是上的有界變差函數(shù)。證明：由是上的絕對連續(xù)函數(shù)，取，存在，對任意有限個互不相交的開區(qū)間，只要時，有?，F(xiàn)將等分，記分點為，使得每一等份的長度小于。易得，即是上的有界變差函數(shù)。又，所以，即是上的有界變差函數(shù)。20、若是上的有界變差函數(shù)，則（1）全變差函數(shù)是上的遞增函數(shù)；（2）也是上的遞增函數(shù)。證明：（1）對任意，注意到，有，即是上的遞增函數(shù)。（2）對任意，注意到，有 ，即是上的