冪的運算總結(jié)及方法歸納

冪的運算一、知識網(wǎng)絡(luò)歸納二、學(xué)習(xí)重難點學(xué)習(xí)本章需關(guān)注的幾個問題：在運用（、為正整數(shù)），（，、為正整數(shù)且），（、為正整數(shù)），（為正整數(shù)），（，為正整數(shù)）時，要特別注意各式子成立的條件。上述各式子中的底數(shù)字母不僅僅表示一個數(shù)、一個字母，它還可以表示一個單項式，甚至還可以表示一個多項式。換句話說，將底數(shù)看作是一個“整體”即可。注意上述各式的逆向應(yīng)用。如計算，可先逆用同底數(shù)冪的乘法法則將寫成，再逆用積的乘方法則計算，由此不難得到結(jié)果為1。通過對式子的變形，進一步領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。如同底數(shù)冪的乘法就是將乘法運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運算，同底數(shù)冪的除法就是將除法運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)的減法運算，冪的乘方就是將乘方運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運算等。在經(jīng)歷上述各個式子的推導(dǎo)過程中，進一步領(lǐng)悟“通過觀察、猜想、驗證與發(fā)現(xiàn)法則、規(guī)律”這一重要的數(shù)學(xué)研究的方法，學(xué)習(xí)并體會從特殊到一般的歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法。一、同底數(shù)冪的乘法1、同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.公式表示為：2、同底數(shù)冪的乘法可推廣到三個或三個以上的同底數(shù)冪相乘，即 注意點：（1） 同底數(shù)冪的乘法中，首先要找出相同的底數(shù)，運算時，底數(shù)不變，直接把指數(shù)相加，所得的和作為積的指數(shù).（2） 在進行同底數(shù)冪的乘法運算時，如果底數(shù)不同，先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為相同的底數(shù)，再按法則進行計算.例題：例1：計算列下列各題（1） ； （2） ； （3） 簡單練習(xí)：一、選擇題1. 下列計算正確的是( ) A.2+3=5 B.23=5 C.3m+2m=5m D.2+2=24 2. 下列計算錯誤的是( )A.52-2=42 B.m+m=2m C.3m+2m=5m D.2m-1= 2m 3. 下列四個算式中33=23 3+3=6 32=5 p2+p2+p2=3p2 正確的有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4. 下列各題中，計算結(jié)果寫成底數(shù)為10的冪的形式，其中正確的是( ) A.100102=103 B.10001010=103 C.100103=105 D.1001000=104 二、填空題1. 44=_；44=_。 2、 b2bb7=_。3、103_=1010 4、(-)2(-)35=_。5、5( )=2( ) 4=18 6、(+1)2(1+)(+1)5=_。中等練習(xí)：1、 (-10)310+100(-102)的運算結(jié)果是( ) A.108 B.-2104 C.0 D.-104 2、(-)6(-)5=_。 3、10m10m-1100=_。 4、a與b互為相反數(shù)且都不為0，n為正整數(shù)，則下列兩數(shù)互為相反數(shù)的是( ) A.2n-1與-2n-1 B.2n-1與2n-1 C.2n與2n D.2n與2n 5. 計算(-)n(-)n-1等于( ) A.(-)2n-1 B.(-)2n-1 C.(-)2n-1 D.非以上答案6. 7等于( )A.(-2 )5 B、(-2)(-5) C.(-)34 D.(-)(-)6 7、解答題(1) 2(-3) (2) (-)23 (3) 2(-)2(-)3 (4) (-2)(-)2(-3)(-)3(5) (6)x4m x4+m(-x)(7) x6(-x)5-(-x)8 (-x)3 (8) -3(-)4(-)57. 計算(-2)1999+(-2)2000等于( ) A.-23999 B.-2 C.-21999 D.21999 8. 若2n+1x=3 那么x=_較難練習(xí)：一、 填空題：1. =_,=_.毛2. =_,=_.3. =_.4. 若,則x=_.5. 若,則m=_;若,則a=_; 若,則y=_;若,則x=_. 6. 若,則=_. 二、選擇題7. 下面計算正確的是( ) A； B； C； D8. 8127可記為( ) A.; B.; C.; D.9. 若,則下面多項式不成立的是( ) A.; B.;C.; D.10. 計算等于( ) A.; B.-2; C.; D.11. 下列說法中正確的是( )A. 和 一定是互為相反數(shù) B. 當(dāng)n為奇數(shù)時, 和相等C. 當(dāng)n為偶數(shù)時, 和相等 D. 和一定不相等三、解答題:12. 計算下列各題: （1）；（2）（3）； （4）。13. 已知的土地上,一年內(nèi)從太陽得到的能量相當(dāng)于燃燒煤所產(chǎn)生的能量,那么我國的土地上,一年內(nèi)從太陽得到的能量相當(dāng)于燃燒煤多少千克？14 (1) 計算并把結(jié)果寫成一個底數(shù)冪的形式:；。(2)求下列各式中的x: ；。15計算。16. 若，求x的值.二、冪的乘方與積的乘方1、冪的乘方冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.公式表示為：.2、積的乘方積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.公式表示為：.注意點：（1） 冪的乘方的底數(shù)是指冪的底數(shù)，而不是指乘方的底數(shù). （2） 指數(shù)相乘是指冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，一定要注意與同底數(shù)冪相乘中“指數(shù)相加”區(qū)分開. （3） 運用積的乘方法則時，數(shù)字系數(shù)的乘方，應(yīng)根據(jù)乘方的意義計算出結(jié)果;（4） 運用積的乘方法則時，應(yīng)把每一個因式都分別乘方，不要遺漏其中任何一個因式.例題：1.計算：表示 .2.計算：（x）= .3計算：（1）； 簡單練習(xí)：一、判斷題1、 ( ) 2、 ( )3、 （ ） 4、 （ ）5、 ( )二、填空題：1、；2、，；3、，；4、；5、若 ， 則_.三、選擇題1、等于（ ）A、 B、 C、 D、2、等于（ ）A、 B、 C、 D、3、可寫成（ ）A、 B、 C、 D、4等于（ ）A B C D無法確定5計算的結(jié)果是（ ）A B C D6若N=，那么N等于（ ）A B C D7已知,則的值為（ ）A15 B C D以上都不對中等練習(xí)：一、填空題1.計算：（y）+（y）= .2.計算：3.（在括號內(nèi)填數(shù)）二、選擇題4.計算下列各式，結(jié)果是的是（ ）Ax2x4； B（x2）6； Cx4+x4； Dx4x4.5.下列各式中計算正確的是（ ）A（x）=x； B.（a）=a； C.（a）=（a）=a； D.（a）=（a）=a.6.計算的結(jié)果是（ ）A.； B.； C.； D.7.下列四個算式中：（a3）3=a3+3=a6；（b2）22=b222=b8；（x）34=（x）12=x12；（y2）5=y10，正確的算式有（ ）A0個； B1個； C2個； D3個.8.下列各式：；，計算結(jié)果為的有（ ）A.和； B.和； C.和； D.和. 較難練習(xí)：1、2(anbn)2+(a2b2)n2、(-2x2y)3+8(x2)2(-x2)(-y3)3、-2100X0.5100X(-1)1994+4.已知2m=3，2n=22，則22m+n的值是多少5已知，求的值6.已知，求的值7.已知xn=5,yn=3,求 (x2y)2n的值。8比較大小：218X310與210X3159.若有理數(shù)a,b,c滿足(a+2c-2)2+|4b-3c-4|+|-4b-1|=0，試求a3n+1b3n+2- c4n+210、太陽可以近似的看作是球體，如果用V、r分別代表球的體積和半徑，那么,太陽的半徑約為6X105千米，它的體積大約是多少立方千米？(取3)三、同底數(shù)冪的除法1、同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.公式表示為：.2、零指數(shù)冪的意義任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.用公式表示為：.3、負整數(shù)指數(shù)冪的意義任何不等于0的數(shù)的-n(n是正整數(shù))次冪，等于這個數(shù)的n次冪的倒數(shù)，用公式表示為4、絕對值小于1的數(shù)的科學(xué)計數(shù)法 對于一個小于1且大于0的正數(shù)，也可以表示成的形式，其中.注意點：(1) 底數(shù)不能為0，若為0，則除數(shù)為0，除法就沒有意義了；(2) 是法則的一部分，不要漏掉.（3） 只要底數(shù)不為0，則任何數(shù)的零次方都等于1.例題：計算下列各題：（1）（m-1）（m-1）；（2）（x-y）（y-x）（x-y）；（3）（a）（-a）(a);(4) 2-（-）+（）.簡單練習(xí)：1. a=a. 2.若5=1，則k= .33+（）= .4用小數(shù)表示-3.02110= 。5.計算：= ，= .6.在橫線上填入適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式：，.7.計算： = ， = 8.計算：= .9.計算：_10（-a）（-a）= ，9273= 。中等練習(xí)：1.如果aa=a，那么x等于（ ） A3 B.-2m C.2m D.-32.設(shè)a0，以下的運算結(jié)果：（a） a=a；aa=a；（-a）a=-a；（-a）a=a，其中正確的是（ ）A. B. C. D. 3.下列各式計算結(jié)果不正確的是( )A.ab(ab)2=a3b3； B.a3b22ab=a2b； C.(2ab2)3=8a3b6； D.a3a3a3=a2.4.計算：的結(jié)果，正確的是（ ）A.； B.； C. ； D.5. 對于非零實數(shù)，下列式子運算正確的是（ ）A ； B；C ； D.6若，,則等于( ) A.； B.6 ； C.21； D.20.7.計算：； ； . 8.地球上的所有植物每年能提供人類大約大卡的能量，若每人每年要消耗大卡的植物能量，試問地球能養(yǎng)活多少人？較難練習(xí)：1觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，則89的個位數(shù)字是（ ）A.2 ； B4； C8； D6.2.若有意義，則x的取值范圍是（ ） Ax3； Bx2 ； Cx3或x2； Dx3且x2. 3.某種植物花粉的直徑約為35000納米,1納米=米，用科學(xué)記數(shù)法表示該種花粉的直徑為 . 4. 已知，則x= 5計算：.6.已知：，請你計算右邊的算式求出S的值7. 解方程：（1）； （2）.8. 已知,求的值.9.已知,求(1)；(2).10.化簡求值：（2x-y）（2x-y）（y-2x），其中x=2，y=-1。運用冪的運算法則的四個注意一、注意法則的拓展性對于含有三個或三個以上同底數(shù)冪相乘（除）、冪（積）的乘方等運算，法則仍然適用。例1. 計算：（1）（2）（3）二、注意法則的底數(shù)和指數(shù)的廣泛性運算法則中的底數(shù)和指數(shù)，可取一個或幾個具體的數(shù)；也可取單獨一個字母或一個單項式，甚至可以是一個多項式。例2. 計算：（1）（2）三、注意法則的可逆性逆向應(yīng)用運算法則，由結(jié)論推出條件，或?qū)⒛承┲笖?shù)進行分解。例3. 在下面各小題的括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)或代數(shù)式：（1）（2）四、注意法則應(yīng)用的靈活性在運用法則時，要仔細觀察題目的特點，采取恰當(dāng)、巧妙的解法，使解題過程簡便。例4. 計算：冪的運算方法總結(jié) 作為整式乘除的前奏，冪的運算看似非常簡單，實際運用起來卻靈活多變。不過，只要熟悉運算的一些基本方法原則，問題就迎刃而解了。而且通過這些方法原則的學(xué)習(xí)，不但能使我們熟悉冪的運算，還可得到全面的思維訓(xùn)練?，F(xiàn)在對此做一探索。 冪的運算的基本知識就四條性質(zhì)，寫作四個公式：aman=am+n (am)n=amn (ab)m=ambm aman=am-n只要理解掌握公式的形狀特點，熟悉其基本要義，直接應(yīng)用一般都容易，即使運用公式求其中的未知指數(shù)難度也不大。問題1、已知a7am=a3a10，求m的值。思路探索：用公式1計算等號左右兩邊，得到等底數(shù)的同冪形式，按指數(shù)也相等的規(guī)則即可得m的值。方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化簡試一試。方法原則：可用公式套一套。但是，滲入冪的代換時，就有點難度了。問題2、已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。思路探索：(x2y)3n中沒有xn和yn，但運用公式3就可將(x2y)3n化成含有xn和yn的運算。因此可簡解為，(x2y)3n =x6ny3n=(xn)6(yn)3=2633=1728方法思考：已知冪和要求的代數(shù)式不一致，設(shè)法將代數(shù)式變形，變成已知冪的運算的形式即可代入求值。方法原則：整體不同靠一靠。然而，遇到求公式右邊形式的代數(shù)式該怎么辦呢？問題3、已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。思路探索：試逆用公式，變形出與已知同形的冪即可代入了。簡解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3254=300方法思考：遇到公式右邊的代數(shù)式時，通常倒過來逆用公式，把代數(shù)式展開，然后代入。方法原則：逆用公式倒一倒。當(dāng)?shù)讛?shù)是常數(shù)時，會有更多的變化，如何思考呢？問題4、已知22x+322x+1=48，求x的值。思路探索：方程中未知數(shù)出現(xiàn)在兩項的指數(shù)上，所以必須統(tǒng)一成一項，即用公式把它們變成同類項進行合并。由此，可考慮逆用公式1，把其中常數(shù)的整數(shù)指數(shù)冪，化作常數(shù)作為該項的系數(shù)。簡解：22x+322x+1=22x2322x21=822x222x =622x=48 22x=8 2x=3 x=1.5方法思考:冪的底數(shù)是常數(shù)且指數(shù)中有常數(shù)也有未知數(shù)時，通常把常數(shù)的整數(shù)指數(shù)冪化成常數(shù)作為其它冪的系數(shù)，然后進行其它運算。問題5、已知64m+12n33m=81,求正整數(shù)m、n的值。思路探索：冪的底數(shù)不一致使運算沒法進行，怎樣把它們變一致呢？把常數(shù)底數(shù)都變成質(zhì)數(shù)底數(shù)就統(tǒng)一了。簡解：64m+12n33m =24m+134m+12n33m=24m+1-n3m+1=81=34 m、n是正整數(shù) m+1=4,4m+1n=0 m=3,n=13方法思考：冪的底數(shù)是常數(shù)時，通常把它們分解質(zhì)因數(shù)，然后按公式3展開，即可化成同底數(shù)冪了。問題6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的關(guān)系。思路探索：求a、b、c的關(guān)系，關(guān)鍵看2a、2b、2c的關(guān)系，即3、6、12的關(guān)系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=22b=42a,由此可求。簡解：由題意知2c=22b=42a 2c=2b+1=2a+2 c=b+1=a+2方法