基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)---林妙紅VIP

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)：數(shù)軸 155370 林妙紅 摘要：APOS理論是近年來美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.他將數(shù)學(xué)概念的建立分為四個階段：Action，Process，Object，Scheme，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.早期APOS理論只是被用在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，現(xiàn)在該理論正逐步地滲透于我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中.本文首先談了對APOS理論的認(rèn)識，然后通過數(shù)軸的教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試了一下APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：APOS理論 數(shù)學(xué)概念 教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)軸 從20世紀(jì)90年代起，APOS理論就被介紹到我國的數(shù)學(xué)教育界，它是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論，因此對這樣的理論進(jìn)行深入的研究是十分有意義的.我國的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進(jìn)行，這種教學(xué)過程雖然簡明，但卻忽視了許多數(shù)學(xué)概念具有過程對象的雙重性.近年來，相關(guān)學(xué)者的研究結(jié)果表明，將APOS理論應(yīng)用到我們的概念教學(xué)中可以彌補(bǔ)我們以前那種概念教學(xué)方式的缺點(diǎn).1 什么是APOS理論？APOS理論是20世紀(jì)80年代末至90年代初由美國的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展起來的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.杜賓斯基認(rèn)為，一個人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的.更確切地說，人們透過心智結(jié)構(gòu)（mental structure）使所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義.如果一個人對于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個概念.相反的，如果一個人無法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的.因此，教學(xué)的目的就在于如何幫助學(xué)生建立適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu).杜賓斯基等人認(rèn)為，APOS理論可以看做是對皮亞杰的“反思性抽象（reflective abstraction）”的擴(kuò)展.APOS理論的一個基本假設(shè)是：數(shù)學(xué)知識是個體在解決所感知到的數(shù)學(xué)問題的過程中獲得的，在這個過程中，個體依序建構(gòu)了心理活動（actions）、程序（processes）和對象（objects），最終組織成用以理解問題情境的圖式結(jié)構(gòu)（schemas）.根據(jù)APOS理論，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下的四個階段：活動（actions）階段.“活動”是指個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象.例如在理解函數(shù)概念時需要活動或操作，對于，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對應(yīng)：通過操作活動理解函數(shù)的意義.程序（processes）階段.當(dāng)“活動”經(jīng)過多次重復(fù)而被個體熟悉后，就可以內(nèi)化為一種稱之為“程序（processes）”的心理操作.有了這種“程序”，個體就可以想象這個“活動”，而不需要通過外部的刺激；他可以在頭腦中實(shí)施這個程序，而不需要具體操作；進(jìn)而，他還可以對這個程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與其他程序進(jìn)行組合.例如把上述例子中的操作活動綜合為一個函數(shù)過程.一般地有其他的各種函數(shù)也可以概括為一般的對應(yīng)過程. 對象（objects）階段.當(dāng)個體能夠把“程序”作為一個整體進(jìn)行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象（objects）”.接著上面的例子，然后可以把函數(shù)過程當(dāng)作一個獨(dú)立的對象來處理，比如函數(shù)的加減乘除、符合運(yùn)算等.在表達(dá)式中，函數(shù)都是作為一個整體對象出現(xiàn)的.最后是“圖式（或者說圖式結(jié)構(gòu)，schema）”.一個數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“活動”、“程序”、“對象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用以解決與這個概念相關(guān)的問題. 按照杜賓斯基的解釋，上述四個成分中，“活動”、“程序”和“對象”也可以看作是數(shù)學(xué)知識的三種狀態(tài)，而“圖式”則是由這三種知識構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)（cottrill,et al.,1996）.此外，上述四種成分的排列雖然在理論上具有一種等級結(jié)構(gòu)，也就是說，一般情況下前一成分的建構(gòu)是后一成分的基礎(chǔ)，但實(shí)際上，個體對某個數(shù)學(xué)概念的理解并不一定遵循這種線性的途徑.例如函數(shù)函數(shù)概念，學(xué)習(xí)者一開始的“活動”是把函數(shù)看作一個簡單的公式，其中含有一些可以運(yùn)算和賦值的字母變量；隨后，函數(shù)被看作是一種可以“輸入輸出”的機(jī)器（函數(shù)機(jī)），于是得到了初步的“程序”.但是當(dāng)學(xué)生遇到更為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式時，往往又回到了“活動”階段，并在“活動”的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步完善了函數(shù)“程序”.如此經(jīng)過多個循環(huán)之后，學(xué)生才最終形成明確而完整的函數(shù)“對象”.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，APOS理論的四個學(xué)習(xí)層次是合理的，反應(yīng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實(shí)的思維活動.其中的“活動階段”是學(xué)生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系.“程序階段”是學(xué)生對“活動”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，學(xué)生在頭腦中對活動進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì); “對象階段”是通過前面的抽象認(rèn)識到了概念本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中一次為對象進(jìn)行新的活動；“圖式階段”的形成是要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動進(jìn)一步完善，起初的圖式包含反應(yīng)概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心智結(jié)構(gòu).2.基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)：數(shù)軸數(shù)軸指具有原點(diǎn)、正方向、單位長度一條直線。第一階段：活動階段通過讓學(xué)生觀察生活中的溫度計(jì)，去了解刻度線的構(gòu)成，去讀數(shù)，看看不同位置的數(shù)分別表示什么含義。第二階段程序階段 通過之前的觀察，讀數(shù)體驗(yàn)，分析出數(shù)周構(gòu)成的要素，總結(jié)出數(shù)周的定義。第三階段 對象階段 如何在數(shù)軸上表示一個數(shù)，明確相反數(shù)在數(shù)軸上的位置特點(diǎn)第四階段圖式階段 如何利用借助數(shù)軸比較兩個數(shù)的大小 教 學(xué) 過 程教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動預(yù)設(shè)學(xué)生行為設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題問題1:溫度計(jì)是我們?nèi)粘Ｉ钪杏脕頊y量溫度的重要工具，你會讀溫度計(jì)嗎？請你嘗試讀出課本43頁圖中三個溫度計(jì)所表示的溫度？問題2：在一條東西向的馬路上，有一個汽車站，汽車站東3 m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站西3 m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境四人小組為單位討論并回答教師的問題創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情,發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué).通過問題1和問題2的解決, 學(xué)生感受到點(diǎn)與數(shù)之間的關(guān)系,從而由點(diǎn)表示數(shù)的感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識.二、合作交流，探索新知由上述兩問題得到什么啟發(fā)？你能用一條直線上的點(diǎn)表示有理數(shù)嗎？歸納：先畫一條水平直線，在水平直線上取一點(diǎn)表示0（叫做原點(diǎn)），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定向右的方向?yàn)檎较蜻@就是數(shù)軸.- 3 2 1 0 1 2 3在討論的基礎(chǔ)上動手操作，在操作的基礎(chǔ)上歸納出：可以表示有理數(shù)的直線必須滿足什么條件？學(xué)生在開放的環(huán)境下,大膽的發(fā)表自己的見解.有的學(xué)生提出用射線上的點(diǎn)表示有理數(shù),但有人反駁,射線是向一方延伸,而有理數(shù)是無限的,應(yīng)該采用直線.同時學(xué)生還探索出,為了區(qū)分正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù),必須在直線上先確定零點(diǎn),即原點(diǎn).同時還需要正方向以及像溫度計(jì)刻度一樣的單位長度. 三、動手練習(xí)，歸納總結(jié)問題1： +3，-4，-1.5，0分別在數(shù)軸的什么位置?問題2：指出數(shù)軸上 A, B, C, D各點(diǎn)分別表示什么數(shù)?問題3： 畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)： ， -5， 0， 5， -4，問題4： 2與-2有什么相同點(diǎn)與不相同點(diǎn)？它們在數(shù)軸上的位置有什么關(guān)系？與，5與-5呢？學(xué)生回答問題，動手訓(xùn)練通過練習(xí)，得出結(jié)論。正有理數(shù)是用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)是用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。所以任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示。問題2是數(shù)軸上已知點(diǎn)所表示的有理數(shù)，是由“形”到“數(shù)”的思維過程。問題3是給定的數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，是由“數(shù)”到“形”的思維過程。它們從兩個側(cè)面體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想。問題4是使學(xué)生通過觀察特例，總結(jié)出相反數(shù)的概念，以及互為相反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，從數(shù)和形兩個側(cè)面理解相反數(shù)。四、仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律問題1：數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，右邊點(diǎn)表示的數(shù)與左邊點(diǎn)表示的數(shù)有怎樣的大小關(guān)系？問題2：正數(shù)、負(fù)數(shù)在數(shù)軸的什么位置？判斷它們的大?。?利用結(jié)論練習(xí)：比較下列每組數(shù)的大小，并說明理由.（1）-2 和 +6； （2）0和 -1.8； 結(jié)論：數(shù)軸上兩個點(diǎn)所表示數(shù)，右邊的總比左邊的大.正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).學(xué)生觀察數(shù)軸并回答問題思考數(shù)軸的應(yīng)用價值，觀察數(shù)軸上兩個點(diǎn)所表示的數(shù)的大小情況.得出結(jié)論：數(shù)軸上兩個點(diǎn)所表示數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).通過練習(xí)，借助數(shù)軸比較數(shù)的大小。五、加強(qiáng)練習(xí)，鞏固提高1、寫出三對非零的相反數(shù)，在數(shù)軸上將它們表示出來，并比較其中三個負(fù)數(shù)的大小.