安徽省江淮名校2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）

江淮名校高二年級(jí)（上）期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試卷一、選擇題（共12小題,每小題5分,共60分）1. 如果直線與直線垂直，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以 ，故選B.2. 若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由已知中三視圖的上部分有兩個(gè)矩形，一個(gè)三角形，故該幾何體上部分是一個(gè)三棱柱，下部分是三個(gè)矩形，故該幾何體下部分是一個(gè)四棱柱考點(diǎn)：三視圖3. 直線恒過(guò)定點(diǎn)，則以為圓心，為半徑的圓的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】直線，化為，時(shí)，總有，即直線直線過(guò)定點(diǎn)，圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A的半徑是，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故選B.4. 一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為，腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根據(jù)斜二測(cè)的畫(huà)法，直觀圖等腰直角三角形 ，還原為一條直角邊長(zhǎng)為 、另一條直角邊為的直角三角形 ，由三角形面積公式可得這個(gè)平面圖形的面積是 ，故選A.5. 與兩直線和的距離相等的直線是（ ）A. B. C. D. 以上都不對(duì)【答案】A【解析】直線平行于直線到兩平行直線距離相等的直線與兩直線平行，可設(shè)直線方程為，利用兩平行線距離相等，即，解得直線方程為，故選A.6. 已知，表示兩條不同的直線，表示三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：，則；，則；，則；，則其中正確命題的序號(hào)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，則可以垂直,也可以相交不垂直，故不正確；，則與相交、平行或異面，故不正確；若，則，正確；， ，可知與 共線的向量分別是與的法向量，所以與所成二面角的平面為直角，故正確，故選C.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，屬于難題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫(huà)圖（尤其是畫(huà)長(zhǎng)方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).7. 已知兩點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】B【解析】如圖所示，直線的斜率為；直線的斜率為，當(dāng)斜率為正時(shí)，即；當(dāng)斜率為負(fù)時(shí)，即，直線的斜率的取值范圍是或，故選B.8. 如圖所示，在四棱錐中，底面，且底面為菱形，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使得平面平面，則應(yīng)補(bǔ)充的一個(gè)條件可以是（ ）A. B. C. D. 是棱的中點(diǎn)【答案】B【解析】因?yàn)樗倪呅问橇庑?，又平面，又平面，即有，故要使平面平面，只需?9. 不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有（ ）個(gè)A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)【答案】D【解析】空間中不共面的四個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成三棱錐，如圖：三棱錐,當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，即對(duì)此三棱錐進(jìn)行換底，則三棱錐有四種表示形式，此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是四個(gè)；當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，即構(gòu)成的直線是三棱錐的相對(duì)棱，因三棱錐的相對(duì)棱有三對(duì)，則此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是三個(gè)，所以滿足條件的平面共有個(gè)，故選D.10. 光線沿著直線射到直線上，經(jīng)反射后沿著直線射出，則由（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】A.11. 正方體的棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A. B. 異面直線，所成角為定值C. 平面 D. 三棱錐的體積為定值【答案】B【解析】 在正方體中，平面平面，故正確；平面平面平面平面，故正確；的面積為定值，又平面為棱錐的高，三棱錐的體積為定值，故正確；利用圖形設(shè)異面直線所成的角為，當(dāng)與重合時(shí)；當(dāng)與重合時(shí)異面直線所成角不是定值，錯(cuò)誤，故選D.12. 如圖所示，正四棱錐的底面面積為，體積為，為側(cè)棱的中點(diǎn)，則與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】連接交于點(diǎn)，連接正四棱錐的底面是正方形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，與所成的角為正四棱錐的底面積為，體積為，在中，故選C.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的性質(zhì)與體積公式、異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.二、填空題（共4小題，每題5分，滿分20分）13. 若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和，則直線的傾斜角大小為_(kāi)【答案】【解析】原點(diǎn)的坐標(biāo)為原點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，即為傾斜角），又點(diǎn)在第二象限，故答案為.14. 直線過(guò)和的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為_(kāi)【答案】或【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求直線方程以及直線截距式方程，屬于中檔題.待定系數(shù)法求直線方程的一般步驟是：（1）判斷，根據(jù)題設(shè)條件判斷出用那種形式的直線方程參數(shù)較少；（2）設(shè)方程，設(shè)出所選定的標(biāo)準(zhǔn)形式的直線方程；（3）求參數(shù)，根據(jù)條件列方程求出參數(shù)；（4）將參數(shù)代入求解；（5）考慮特殊位置的直線方程，因?yàn)槌话闶酵?，其他四種標(biāo)準(zhǔn)方程都有局限性.15. 已知圓，直線：，當(dāng)圓上僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】由圓上僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為可得圓心到直線的距離滿足，由于，即，解得，故答案為.16. 如圖，矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)成.若為線段的中點(diǎn)，則翻折過(guò)程中：是定值；點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)；存在某個(gè)位置，使得；存在某個(gè)位置，使平面其中正確的命題是_【答案】【解析】解：取CD中點(diǎn)F，連接MF,BF，則MFDA1,BFDE，平面MBF平面DA1E，MB平面DA1E，故正確.由 ，由余弦定理可得 ，所以 為定值，所以正確；B是定點(diǎn)，M是在以B為圓心，MB為半徑的球面上，故正確.假設(shè)正確，即在某個(gè)位置，使得DEA1C，又矩形ABCD中，滿足 ，從而DE平面A1EC，則DEA1E，這與DA1A1E矛盾.所以存在某個(gè)位置，使得DEA1C不正確，即不正確.綜上，正確的命題是點(diǎn)睛：有關(guān)折疊問(wèn)題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變?nèi)?、解答題 （本大題包括6小題，共70分） 17. 已知圓：.（1）若直線與圓相切且斜率為，求該直線的方程；（2）求與直線平行，且被圓截得的線段長(zhǎng)為的直線的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】試題分析：（1）設(shè)切線方程為：,根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，列方程可得的值，從而求得直線方程；（2）設(shè)所求直線方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式及勾股定理列方程求出的值，從而可得直線的方程.試題解析：（1）設(shè)所求的切線方程為：，由題意可知：圓心到切線的距離等于半徑，即，即或.切線方程為或.（2）因?yàn)樗笾本€與已知直線平行，可設(shè)所求直線方程為.由所截得的線段弦長(zhǎng)的一半為，圓的半徑為，可知圓心到所求直線的距離為，即：，或.所求直線方程為或18. 如圖的幾何體中，平面，平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）由中位線定理可得，可得平面，由線面垂直的性質(zhì)及線段長(zhǎng)度可證明而四邊形四邊形為平行四邊形為平行四邊形，從而可得出平面，從而可得結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，先證明，再證明平面，可得平面，從而平面平面.試題解析：（1）平面，平面.又為的中點(diǎn)，.四邊形為平行四邊形.而為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又.平面平面（2）取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，且，為平行四邊形，而為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，又，所以平面，所以平面，從而平面平面.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法證明線面平行后，再證明面面平行的.19. 如圖，在四棱錐中，平面，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連結(jié)，則與平面所成的角等于與平面所成的角，由平面，得到為直線和平面所成的角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值.試題解析：（1）證明：因?yàn)槠矫?，直線平面，所以，又因?yàn)椋?，而，所以平? （2）過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，則與平面所成的角等于與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，故為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角，由于，.故.由已知得，又，故，在中，可得，在中，可得.所以，直線與平面所成的角的正弦值為【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.20. 已知矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在的直線上.（1）求矩形的外接圓的方程；（2）已知直線：（），求證：直線與矩形的外接圓恒相交，并求出相交的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：由且點(diǎn)在邊所在的直線上得直線的方程，聯(lián)立直線方程得交點(diǎn)的坐標(biāo)，則題意可知矩形外接圓圓心為，半徑，可得外接圓方程；（）由可知恒過(guò)點(diǎn)，求得，可證與圓相交，求得與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)弦長(zhǎng)最短，可得，進(jìn)而得，最后可得直線方程試題解析：（1）且，點(diǎn)在邊所在的直線上，所在直線的方程是，即由得，矩形的外接圓的方程是（2）證明：直線的方程可化為，可看作是過(guò)直線和的交點(diǎn)的直線系，即恒過(guò)定點(diǎn)，由知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，設(shè)與圓的交點(diǎn)為（為到的距離），設(shè)與的夾角為，則，當(dāng)時(shí)，最大，最短此時(shí)的斜率為的斜率的負(fù)倒數(shù)，即，故的方程為，即考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓相交21. 已知在四棱錐中，底面為矩形，且，平面，糞分別是線段，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.（3）若與平面所成的角為.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)為的一個(gè)四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）時(shí)，平面；（3）【解析】試題分析：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算其中靈活建系是解題的關(guān)鍵（2）證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備試題解析：解法一：（1）平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 2分不妨令，即 4分（2）設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得： 6分設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則，要使平面，只需，即，得，從而滿足的點(diǎn)即為所求 8分（3），是平面的法向量，易得， 9分又平面，是與平面所成的角，得，平面的法向量為10分，故所求二面角的余弦值為 12分解法二：（1）證明：連接，則，又，2分又，又，4分（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，且有5分再過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面且， 平面平面7分 平面從而滿足的點(diǎn)即為所求 8分（3）平面，是與平面所成的角，且9分取的中點(diǎn)，則 ， 平面，在平面中，過(guò)作，連接，則，則即為二面角的平面角 10分，且，12分考點(diǎn)：1、直線與直線垂直的判定；2、直線與平面垂直的判定；3、二面角的余弦值22. 如圖（1），在矩形中，為的中點(diǎn)，將沿折起，使