全國(guó)初中(初一)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)：第05講-方程組的解法

本資料來(lái)源于七彩教育網(wǎng)全國(guó)初中（初一）數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第五講 方程組的解法二元及多元(二元以上)一次方程組的求解，主要是通過(guò)同解變形進(jìn)行消元，最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)解決所以，解方程組的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加減消元兩種，下面結(jié)合例題予以介紹例1 解方程組解 將原方程組改寫(xiě)為由方程得x=6+4y，代入化簡(jiǎn)得11y-4z=-19 由得2y+3z=4 3+4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1將y=-1代入，得z=2將y=-1代入，得x=2所以為原方程組的解說(shuō)明 本題解法中，由，消x時(shí)，采用了代入消元法；解，組成的方程組時(shí)，若用代入法消元，無(wú)論消y，還是消z，都會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)，計(jì)算較繁，而利用兩個(gè)方程中z的系數(shù)是一正一負(fù)，且系數(shù)的絕對(duì)值較小，采用加減消元法較簡(jiǎn)單解方程組消元時(shí)，是使用代入消元，還是使用加減消元，要根據(jù)方程的具體特點(diǎn)而定，靈活地采用各種方法與技巧，使解法簡(jiǎn)捷明快例2 解方程組解法1 由，消x得由，消元，得解之得將y=2代入得x=1將z=3代入得u=4所以解法2 由原方程組得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x， 即x=-15+16x，解之得x=1將x=1代入得u=4將u=4代入得z=3將z=3代入得y=2所以為原方程組的解解法3 +得x+y+z+u=10， 由-(+)得y+u=6， 由2-得4y-u=4， +得y=2以下略說(shuō)明 解法2很好地利用了本題方程組的特點(diǎn)，解法簡(jiǎn)捷、流暢例3 解方程組分析與解 注意到各方程中同一未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系，可以先得到下面四個(gè)二元方程： +得x+u=3， +得y+v=5， +得z+x=7， +得u+y=9 又+得x+y+z+u+v=15 -得z=7，把z=7代入得x=0，把x=0代入得u=3，把u=3代入得y=6，把y=6代入得v=-1所以為原方程組的解例4 解方程組解法1 2+得由得代入得為原方程組的解為原方程組的解說(shuō)明 解法1稱(chēng)為整體處理法，即從整體上進(jìn)行加減消元或代入消為換元法，也就是干脆引入一個(gè)新的輔助元來(lái)代替原方程組中的“整體元”，從而簡(jiǎn)化方程組的求解過(guò)程 例5 已知分析與解 一般想法是利用方程組求出x，y，z的值之后，代入所求的代數(shù)式計(jì)算但本題中方程組是由三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程組成的，因此無(wú)法求出x，y，z的確定有限解，但我們可以利用加減消元法將原方程組變形-消去x得3+消去y得5+3消去z得 例6 已知關(guān)于x，y的方程組分別求出當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(1)有唯一一組解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)窮多組解分析 與一元一次方程一樣，含有字母系數(shù)的一次方程組求解時(shí)也要進(jìn)行討論，一般是通過(guò)消元，歸結(jié)為一元一次方程ax=b的形式進(jìn)行討論但必須特別注意，消元時(shí)，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時(shí)，這個(gè)式子的值不能等于零解 由得2y=(1+a)-ax， 將代入得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2) (1)當(dāng)(a-2)(a+1)0，即a2且a-1時(shí)，方程有因而原方程組有唯一一組解(2)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)0時(shí)，即a=-1時(shí)，方程無(wú)解，因此原方程組無(wú)解(3)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0時(shí)，即a=2時(shí)，方程有無(wú)窮多個(gè)解，因此原方程組有無(wú)窮多組解例7 已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解解法1 根據(jù)題意，可分別令a=1，a=-2代入原方程得到一個(gè)方程組將x=3，y=-1代入原方程得(a-1)3+(a+2)(-1)+5-2a=0所以對(duì)任何a值都是原方程的解說(shuō)明 取a=1為的是使方程中(a-1)x=0，方程無(wú)x項(xiàng)，可直接求出y值；取a=-2的道理類(lèi)似解法2 可將原方程變形為a(x+y-2)-(x-2y-5)=0由于公共解與a無(wú)關(guān)，故有例8 甲、乙兩人解方程組原方程的解分析與解 因?yàn)榧字豢村e(cuò)了方程中的a，所以甲所得到的解4(-3)-b(-1)=-2 a5+54=13 解由，聯(lián)立的方程組得所以原方程組應(yīng)為練習(xí)五1解方程組2若x1，x2，x3，x4，x5滿(mǎn)足方程組試確定3x4+2x5的值3將式子3x2+2x-5寫(xiě)成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，試求4k為何值時(shí)，