線性代數(shù)：矩陣的運(yùn)算

第2.2節(jié)矩陣的運(yùn)算,一.矩陣的加法,二.數(shù)與矩陣的乘法,三.矩陣與矩陣的乘法,四.矩陣的其它運(yùn)算,五.小結(jié)思考題,、定義,一、矩陣的加法,設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為,說明只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.,例如,2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律,1、定義,二、數(shù)與矩陣相乘,2、數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律,矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.,（設(shè)為矩陣，為數(shù)）,、定義,并把此乘積記作,三、矩陣與矩陣相乘,設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中,例,設(shè),例2,故,解,注意只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.,例如,不存在.,、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律,（其中為數(shù)）;,若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且,注意:(1)矩陣不滿足交換律，即：,例設(shè),則,但也有例外，比如設(shè),則有,此時稱A,B為可交換矩陣,(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣,例,但,(3)矩陣乘法不滿足消去律即,例3計(jì)算下列乘積：,解:,解,=(,）,練習(xí)題：,解,例4,由此歸納出,用數(shù)學(xué)歸納法證明,當(dāng)時，顯然成立.,假設(shè)時成立，則時，,所以對于任意的都有,定義把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.,例,、轉(zhuǎn)置矩陣,四、矩陣的其它運(yùn)算,轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì),例5已知,解法1,解法2,2、方陣的行列式,定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或,運(yùn)算性質(zhì),(4),3、對稱陣與反對稱矩陣,定義,設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱陣.,對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.,說明,注:設(shè)A,B為n階對稱陣,則A+B也是n階對稱陣.,但AB未必是n階對稱陣.例,結(jié)論：,2若A,B為可交換的對稱矩陣，則AB亦為對稱陣.,1.設(shè)A,B為n階對稱陣,則A+B也是n階對稱陣.,例6設(shè)列矩陣滿足,證明,例7證明任一階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.,證明,所以C為對稱矩陣.,所以B為反對稱矩陣.,命題得證.,五、小結(jié),矩陣運(yùn)算,加法,數(shù)與矩陣相乘,矩陣與矩陣相乘,轉(zhuǎn)置矩陣,對稱陣與反對稱矩陣,方陣的行列式,（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.,（1）只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.,注意,（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.,思考題,成立的充要條件是什么?,1.,思考題解答,1.答,故成立的充