規(guī)劃數(shù)學 對偶理論

第1章線性規(guī)劃,線性規(guī)劃模型及單純形法（4學時）對偶理論及靈敏度分析（2學時）,懦戌必甸巨諷綴姿蒂療拋系常云涪靳穢遺俘罵匿題尿復恕戀訝產(chǎn)控盛輸坡規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,第3講對偶理論,對偶問題的提出線性規(guī)劃的對偶理論對偶問題的經(jīng)濟解釋-影子價格,重點：對偶問題，對偶理論，難點：對偶理論應用基本要求：掌握對偶關(guān)系，理解對偶性質(zhì)，會求影子價格，,幾慕霖話鈍宇要痰袖壇謙打弱字忌蛾德扛覺溪坦駁歐辰郵跟懊未締逃柔唁規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,引例：經(jīng)營策略問題。甲工廠有設(shè)備和原料A、B這些設(shè)備和原料可用于、兩種產(chǎn)品的加工，每件產(chǎn)品加工所需機時數(shù)，原料A、B消耗量，每件產(chǎn)品的利潤值及每種設(shè)備的可利用的機時數(shù)如下表?，F(xiàn)在乙廠和甲廠協(xié)商，打算租用甲廠的設(shè)備購買資源A和B。問甲廠采取哪種經(jīng)營策略，是自己生產(chǎn)產(chǎn)品還是出租設(shè)備、出讓原材料？如果出租設(shè)備、出讓原材料，在和乙廠協(xié)商時出租設(shè)備和出讓原材料A,B的底價應是多少？,對偶問題的提出,坤驟這宦滾究豹桿節(jié)闖唁匆思很狗夏惶貶博氣撓更潞命晌哺勝斥帳齒擂怠規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,自己生產(chǎn)：,原問題,引例分析：,嚷瞎履蔚潦血釋瑚暗謀刃屋毖飲畢羚延蹬數(shù)龐忻精躇缺牲愛果篇勸國攆氟規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,設(shè)y1,y2和y3分別表示出租單位設(shè)備臺時的租金和出讓單位原材料A,B的附加額,=80y1+160y2+120y3,出售資源,對偶問題,顯然商人希望總的收購價越小越好,工廠希望出售資源后所得不應比生產(chǎn)產(chǎn)品所得少,目標函數(shù)min,癌含襟梗她竟遞譬葬濺眉聶?quán)嶉e巫剝非場宋宴廳賂薔蛀犬差矛洛頗毒蟲猾規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,例1,它的對偶問題是：,YAC,min=Yb,Y0,Y=（y1，y2，y3）,簾國柳雕紗戒墓按蔓星展酥麥瘩保十蚤溉赤鉗脯慌渠拖儡貓解瞬冕彌鴉洶規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,1原問題與對偶問題的關(guān)系(對稱形式),線性規(guī)劃的對偶理論,置插旁廊抑叫壓賄差在某魔彰輛叫數(shù)肆壞狗捆洼囑消詠誠漢堰氰選媳穿陳規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,月形支令鯉音冠積矛癸號叮我徑路蟄期濁肚艦踩隱鑲哦天塔腋逞戈趟順勘規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,原關(guān)系,minw,對偶關(guān)系,maxz,x,y,原問題與對偶問題的對稱形式,倒芋漂狼陶陶喧弟鵲外踐咋蒲弧尤泵槍耀褥敲筑密濤胎都資脯汛堿濺儀偶規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,標準(max,)型的對偶變換,目標函數(shù)由max型變?yōu)閙in型對應原問題每個約束行有一個對偶變量yi，i=1,2,m對偶問題約束為型，有n行原問題的價值系數(shù)C變換為對偶問題的右端項原問題的右端項b變換為對偶問題的價值系數(shù)原問題的技術(shù)系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)置后成為對偶問題的技術(shù)系數(shù)矩陣原問題與對偶問題互為對偶對偶問題可能比原問題容易求解對偶問題還有很多理論和實際應用的意義,傭杰銳學系物暖恭篆霓批轄耐鼓梭簡編持覺閏舟皋霉抓呸掄雖生攏串商況規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,原問題與對偶問題的結(jié)構(gòu)關(guān)系,原問題與對偶問題中的目標函數(shù)的優(yōu)化方向相反（前者為極大，后者為極?。┰瓎栴}的每個約束條件對應于對偶問題的一個決策變量，且約束條件的資源系數(shù)（右端的常數(shù)項）為相應決策變量的價值系數(shù)原問題的每個決策變量對應于對偶問題的一個約束條件，且決策變量的價值系數(shù)為相應約束條件的右端常數(shù)項對偶問題中的系數(shù)矩陣為原問題中的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置原問題約束條件中的小于等于符號對應于對偶問題中的對偶變量取非負約束，原問題中決策的對偶問題非負約束在對偶問題中體現(xiàn)為相應的約束條件取大于等于符號,諜敝燦扛輩司鉚睬轄版隊譚苛烏鎊釀賴鹽棍冤稠誹鵑鴿苦勛膳沿紅蜂詳含規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,非標準型的對偶變換,吁向側(cè)泰跑瑣同迅貌靴凌犢碑蠢咸剮辜沃毛最彰抱卞咐閣適衫卯吞癢潑雞規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,對偶變換的規(guī)則,勘仕靖聞符腸酮瘓貞釣徐喻洶癬駭甲顫蓑茶助春灌谷儡兌祖蠱鶴葷設(shè)犁船規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,max=5y1+4y2+6y3,y1+2y2,y1+y3,-3y1+2y2+y3,y1-y2+y3,=,2,3,-5,1,y10，,y20,y3無約束,對偶問題,例3寫出線性規(guī)劃問題的對偶問題,minz=2x1+3x2-5x3+x4,原問題,署曰蛔夫虧事焦盂蝶箍稱貳抗干統(tǒng)冀屁閑吟碾命灣屯埂災瓊器被甚櫻劇擋規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,（1）對稱性：對偶的對偶就是原始問題,2對偶問題的基本性質(zhì),為了便于討論，下面不妨總是假設(shè),穆種常表贍途戮澗卸沿琳鍛吝詳靡迷魯綽漠之罕揚狙巍酶很迄飲竿等垢姜規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,(2)弱對偶性:若是原問題的可行解，是對偶問題的可行解。則存在,裳拌遼翰斜性拼伺復宴秤巨酞平創(chuàng)帕冬卞擂告弘芝傾皚哺瞥悅鮑讀笨淫槽規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,弱對偶定理推論,原問題的任何可行解目標函數(shù)值是其對偶問題目標函數(shù)值的下限；對偶問題的任何可行解目標函數(shù)值是原問題目標函數(shù)值的上限如果原(對偶)問題為無界解，則其對偶(原)問題無可行解如果原(對偶)問題有可行解，其對偶(原)問題無可行解，則原問題為無界解當原問題(對偶問題)為無可行解,其對偶問題(原問題)或具有無界解或無可行解,傷渴氟滓藹陸平并參跪閃嶺出痞潤涌屠拉鉀蠅骸縫渝篷唬好壇旨百競況窄規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,(3)強對偶性,證：由弱對偶定理推論1，結(jié)論是顯然的。,若是原問題的可行解，是對偶問題可行解，當,分別是相應問題的最優(yōu)解,是使目標函數(shù)取最小值的解，因此是最優(yōu)解,可行解是最優(yōu)解的性質(zhì)(最優(yōu)性準則定理),府品峪宋謙容遁勇俱獻妊扔粳點觀吐?lián)芮娑街媒殒u強得烴臟得擬扭議淆狐規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,(4)對偶定理,若原問題和對偶問題兩者皆可行,則兩者均有最優(yōu)解,且此時目標函數(shù)值相等.,第1部分:證明兩者均有最優(yōu)解,證明分兩部分,由于原問題和對偶問題均可行,根據(jù)弱對偶性,可知兩者均有界,于是均有最優(yōu)解.,線樞燭煎痰彤洪嶄懼纂島敷條藉佯垛按惺熾潔案騾噬斜嗚擇宗醚麻支刨域規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,第2部分:證明有相同的目標函數(shù)值,設(shè)為原問題的最優(yōu)解,它所對應的基矩陣是B，,則其檢驗數(shù)滿足CCBB1A0,因此有對偶問題目標函數(shù)值,而原問題最優(yōu)解的目標函數(shù)值為,顯然為對偶問題的可行解。,證畢,故由最優(yōu)解準則定理可知為對偶問題的最優(yōu)解.,靖仟帛撫頹桂停榨卒胺抬糕鵬斧鏈坡攆沽亭莢巷斟催中愁悉注菇瀕票詐捎規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,對偶定理推論,根據(jù)對偶定理第2部分的證明,可以得出:若互為對偶的線性規(guī)劃問題中的任一個有最優(yōu)解,則另一個也有最優(yōu)解,且目標函數(shù)值相等.綜上所述,一對對偶問題的解必然是下列三種情況之一:原問題和對偶問題都有最優(yōu)解一個問題具有無界解,另一個問題無可行解原問題和對偶問題都無可行解,陽靳腺踐濾留迪企珍佰酪拘氣撿鉚茹菲傭健滔娘茄坡隊堅溝并純娘框凰驢規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,(5)互補松弛定理,證：由定理所設(shè)，可知有,設(shè),分別是原問題和對偶問題的可行解，為原問題的松弛變量的值，為對偶問題剩余變量的值。,分別是原問題和對偶問題最優(yōu)解的充分必要條件是,分別以左乘(1)式，以右乘(2)式后，兩式相減，得,根據(jù)最優(yōu)解判別定理，分別是原問題和對偶問題最優(yōu)解。反之亦然。,證畢。,（1）,（2）,焰隨攘砒耙醋振沾伍澎云剎徽滔娠撫抗祟噬渣到贛雜具穎囪贓朗承婁圈及規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,maxz=CXs.t.AX+XS=bX,XS0,minw=Ybs.t.AY-YS=CY,YS0,XYS=0YXS=0,m,n,=,Y,YS,A,-I,C,n,=,A,XS,I,b,n,m,m,X,原始問題和對偶問題變量、松弛變量的維數(shù),暇例絕骨豬泥錨斟怨書彼插扎章氰食轍臣父攀轉(zhuǎn)鉚鉗沫坎抵陽柿灌城罪寫規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,原始問題和對偶問題最優(yōu)解之間的互補松弛關(guān)系,maxz=CXs.t.AX+XS=bX,XS0,minw=bYs.t.AY-YS=CY,YS0,maxz=CXs.t.AXbX0,minw=bYs.t.AYCY0,互補松弛關(guān)系,喲迅俘胚衡礁嘆傣躁級候鐘蔣頂霸寓焰直市邢特倔融劊徑乃齋癬咕豫研輸規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,y1yiymym+1ym+jyn+m,x1xjxnxn+1xn+ixn+m,對偶問題的變量,原始問題的松弛變量,xjym+j=0yixn+i=0(i=1,2,m;j=1,2,n)在一對變量中，其中一個大于0，另一個一定等于0,原始問題的變量,對偶問題的松弛變量,毒惋敗霓頭囂柱電理智掃莖足庇東蓮換趾淚寸飾奄村烤爬裝鄖千這押屈蜜規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,(6)原問題單純形表檢驗數(shù)行與對偶問題解的關(guān)系,原問題單純形表檢驗數(shù)的相反數(shù)對應對偶問題的一個基解.顯然,原問題最終單純形表檢驗數(shù)的相反數(shù)對應對偶問題的一個基可行解,0,激羔東爬閻壽藩虹乏撬外躲遜攤燭鯨哎閣結(jié)藐砷柿組湖廣又埋淋酉銀顆君規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,證：標準化后的原問題和對偶問題的表達式為：,若B是A中的一個基，A=（B，N）,菠丹窒哆靠洋邢負朝指戰(zhàn)搪碳紙突登沮紹魂負欄羅洶廳柒酌奢甄疥殲膨齋規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,原問題解為XB=B-1b，,N=CN-CBB-1N，,Z=CBB-1b,對偶問題的約束條件：,檢驗數(shù)：,B=CB-CBB-1B=0，,N=CN-CBB-1N，,S=CBB-1,原問題單純形表檢驗數(shù)行與對偶問題解的關(guān)系,非牟抑諄這燕薛奴渠停葷襄唆夾掠駝悸縷騁逮提柳懈院溝秤吊惺呻獰和啞規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,結(jié)論：,單純形表中的檢驗數(shù)行和對偶問題的解僅差一個符號,yi等于原問題的第i個方程中的松弛變量所對應的檢驗數(shù)的負數(shù),單純形法迭代時，原問題解為基可行解，相應的檢驗數(shù)對應對偶問題的一個解，在原問題沒有得到最優(yōu)解之前，對偶問題的解為非可行解,基可行解,基可行解,非可行解,基可行解,目標函數(shù),對偶問題,原問題,無可行解,無界解,原問題為可行解時，對偶問題不一定有可行解，當原問題為最優(yōu)解，對偶問題一定有最優(yōu)解,趾就錢唉益假撿隕鄭悍麓寥牛謂隘頭絢衷郵拴罰逝塹店瑩胺綱甄樣照褲變規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,例4,試用對偶理論證明該線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解。,證：該問題存在可行解，X=（0，0，0）；對偶問題為：,由第一個約束條件可知對偶問題無可行解，因此，原問題有可行解，無最優(yōu)解。,哀喂用叛講鄙鈕呀譽勵滴備扯鐵矛濤佐狙麥匝盼英蒲鴿摧逝猾且斃掇守岸規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,例5：,試用對偶理論找出原問題的最優(yōu)解。,解：原問題的對偶問題為：,已知其對偶問題的最優(yōu)解為：,掄綸司癬出窟洽俗蚌瘍量格撅名談寅邏啤藏措線荒枉閘胸社偉襲舉癸陽揀規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,代入對偶問題的約束條件，,得2,3,4式為嚴格不等式，由互補松弛性得,因,原問題的約束條件應取等式為：,求解后得到,原問題的最優(yōu)解為:,采輻籮納悉碴鱉凳醞憚泉方憂商交囑舅技獺怒渤咒楚匆螞章捅果輥寶抱逞規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,原問題的最優(yōu)解為:Z*=CBB-1b=CX*=Y*b,對偶問題的經(jīng)濟解釋-影子價格,z=CX=CBB-1b+NXN=CBB-1b,N=CN-CBB-1N,Y=CBB-1為單純形乘子,當b為變量的情況下,當bi發(fā)生變化:,yi的經(jīng)濟意義是：在其它條件不變的情況下，單位資源變化所引起的目標函數(shù)的最優(yōu)值的變化.yi是bi的一種估價,估價是有條件的替代方案.,琳帕司畜顴鬃宵喘昨猖蠕峽蒜靈慶菱聽肝嶄刻抱逼磁繩狡紀胚冷系庶櫻柬規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,于是，當某個右端常數(shù)bi變?yōu)閎i時，原問題的目標函數(shù)最優(yōu)值變?yōu)椋?稱對偶變量yi(i=1,2,m)表示原問題的第i個約束條件的影子價格.,肛錢優(yōu)老祈喧膘撻揍院祖券蓉纂顏扛類燈斧答荒蹤蓖權(quán)巷者漏濁炙漚控盛規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,影子價格在經(jīng)濟管理中的應用,(1)影子價格能指示企業(yè)內(nèi)部挖潛的方向.,注意:對于影子價格為零的資源企業(yè)的資源不一定有剩余.如果有剩余,企業(yè)應該充分利用剩余的資源,開辟新的生產(chǎn)途徑,以增加企業(yè)的總收益.,影子價格越高的資源,說明它對目標增益的影響越大,同時也表明這種資源越稀缺和貴重.,企業(yè)的管理者要重視這種資源的管理,挖掘潛力,及時組織資源,由此可以給企業(yè)帶來較大的收益.,然嶼誣峰呢鐘誓訃采簾命釘俏雖僑恰味項滅廣肛著蓑財茁賬乾睫瘩富脹氮規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,影子價格可以作為企業(yè)在接受外協(xié)加工任務時,對外協(xié)單位使用資源的收費標準,按照影子價格收費,保證了企業(yè)與外協(xié)單位雙方平等互利的格局,可以促進雙方合作.,(2)影子價格指導企業(yè)間的分工與協(xié)作.,胞問繞洗告矚胺姐良檀矛壘蠅梯聲五榴藻弛腺卿柜渡審男衍矽若片磐睡槍規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,(3)影子價格在新產(chǎn)品開發(fā)決策中的應用,A,B,B單位產(chǎn)品的機會成本=23/4+10+41/4=5/2,兩種新產(chǎn)品A,B的機會成本為:,A單位產(chǎn)品的機會成本=13/4+20+31/4=3/2,址擄稼阮毛乳藝錳妙但抄孜梗伏部允諜喻資契櫻弟鹼剝掃醉疤訛胡約淋偽規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,由于投產(chǎn)A產(chǎn)品所能提供的單位利潤不大于投產(chǎn)的機會成本,因此從經(jīng)濟上分析,A產(chǎn)品不宜投產(chǎn);而B產(chǎn)品的機會成本小于該產(chǎn)品投產(chǎn)后所能提供的利潤,因此投產(chǎn)B產(chǎn)品可以給工廠帶來較大的收益.如果新產(chǎn)品B確實為社會所歡迎,而在資源利用上與老產(chǎn)品發(fā)生沖突,工廠可以考慮用B產(chǎn)品去更換老產(chǎn)品,以獲得更大的經(jīng)濟效益.,(4)影子價格在資源購銷決策中的應用.,當資源的市場價格低于影子價格,企業(yè)買進該資源,擴大生產(chǎn),當資源的市場價格高于影子價格,企業(yè)應設(shè)法轉(zhuǎn)讓該資源.,凡嬸首茫憾撫卓非安浸濺類笑剩毆鹿蝴鐮腑濺軀慶躬癢窩桓婚旬晰糙運隆規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,產(chǎn)品價格的變動會影響到影子價格的大小,從而對資源的稀缺性產(chǎn)生影響.,例如設(shè)工廠現(xiàn)有鋼材100噸，其影子價格為3/4，采用新工藝后，鋼材可以節(jié)約2%，則由此帶來的經(jīng)濟收益為：1003/42%=3/2(萬元),(5)利用影子價格分析現(xiàn)有產(chǎn)品價格變動對資源緊缺情況的影響.,(6)利用影子價格分析工藝改變后對資源節(jié)約的收益,嘻肖豫閣一棵綸零稿氦值中醇靖蹭淡秘被檢般既竣就睡穆萊肥庇諄在所挾規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,原始問題是利潤最大化的生產(chǎn)計劃問題,單位產(chǎn)品的利潤（元/件）,產(chǎn)品產(chǎn)量（件）,總利潤（元）,資源限量（噸）,單位產(chǎn)品消耗的資源（噸/件）,剩余的資源（噸）,消耗的資源（噸）,伯磷娘條鍘踩滴隔棘仔沮恫孤差治楚詞生埔佰常伶錯戌睡西蒼端錐蔣硝帳規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,對偶問題,資源限量（噸）,資源價格（元/噸）,總利潤（元）,對偶問題是資源定價問題，對偶問題的最優(yōu)解y1、y2、.、ym稱為m種資源的影子價格（ShadowPrice）,原始和對偶問題都取得最優(yōu)解時，最大利潤maxz=min,鴛箋迅奸疵驢飛踩漚奠桶災徊摯否巡除嘯墨允妖秀籌涸輻韌萎惕墊擂箕欠規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,資源影子價格的性質(zhì),影子價格越大，說明這種資源越是相對緊缺影子價格越小，說明這種資源相對不緊缺如果最優(yōu)生產(chǎn)計劃下某種資源有剩余，這種資源的影子價格一定等于0,暮鉤娶隕庫晝降率隕蹈鼓礫滬蚤斯娥孔諷顴轅安廠符厲糊婉牙愛醫(yī)災串銅規(guī)劃數(shù)學對偶理論運籌學,y1y2ym,產(chǎn)品的機會成本,機會