2018全國3卷第21題的命題背景及解法探究

2018全國3卷第21題的命題背景及解法探究高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀不得不讀淘寶上的博約書齋店鋪：唯一正版且第二版例.（2018全國3卷第21題）已知函數(shù)（1） 若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2） 若是的極大值點(diǎn)，求【解析】（1）若，則令，則所以在單增，又因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；點(diǎn)評(píng)：如果直接求導(dǎo)，完全處理掉對(duì)數(shù)，需要二次求導(dǎo)，而高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀在第四章在4.6和4.7兩個(gè)技巧，其中之一就是對(duì)函數(shù)的處理，希望對(duì)數(shù)函數(shù)單獨(dú)存在，則一次求導(dǎo)就瞬間可破。（2）嘗試一：（極大值點(diǎn)的第二充要條件：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。），由得下證：當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)，所以在單增，在單減進(jìn)而有，從而在單減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而在單增，在單減，所以是的極大值點(diǎn)。高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀一書在第三章大學(xué)知識(shí)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用，3.1節(jié)介紹的是極值點(diǎn)的兩個(gè)充要條件，借助第二充要條件即可突破，并且以2016山東文科壓軸題為例進(jìn)行應(yīng)用。（點(diǎn)評(píng)：計(jì)算量很大，但不失為一種基本方法，激勵(lì)熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知。基于此，還可以從大學(xué)的角度給出一種解法。通過在階的帕德逼近可得，且兩個(gè)函數(shù)在處兩個(gè)函數(shù)可以無限制逼近，估計(jì)這也是考試中心構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對(duì)數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的題目。嘗試一難點(diǎn)在于的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀副主編張栩瑞一書在3.6節(jié)介紹了各種無理數(shù)的估值和函數(shù)的逼近，利用這個(gè)可以變出很好地改編高考?jí)狠S題，現(xiàn)在已經(jīng)以三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)編出了好幾個(gè)題。下面也是他基于對(duì)帕德逼近推導(dǎo)的深刻，給出了一個(gè)更優(yōu)化的解法。引理1：若與在處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則在處導(dǎo)數(shù)為.證明：，因?yàn)?，且，代入化?jiǎn)即證：引理2：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。，令，則易得，由引理1知，等價(jià)于，從而迅速求得。當(dāng)時(shí)，嘗試二：若是的極大值點(diǎn)，注意到，則存在充分接近于的，使得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。對(duì)任意的，都有，進(jìn)而有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上：（點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本問題，這是一種基本方法，即把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)恒成立，求參數(shù)的值。這在淘寶上的博約書齋店鋪的全國卷高考數(shù)學(xué)的分析及應(yīng)對(duì)已經(jīng)把轉(zhuǎn)化為基本問題視為破解壓軸題的有效策略，還有思維說、方法論（笛卡爾），非常有效，可以給出全國卷很多壓軸題新的解法。在高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀的3.2節(jié)以鄰域的觀點(diǎn)給出極值點(diǎn)的充要條件，有助于學(xué)生對(duì)極值點(diǎn)的準(zhǔn)確理解，從而避開了求導(dǎo)研究單調(diào)性，直接用羅必塔法則。高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀的3.1節(jié)系統(tǒng)地論述了極限和洛必達(dá)法則。）嘗試三：按照波利亞的解題策略，我們聯(lián)想到一個(gè)類似的題目，其思維方法是可以借鑒的。此題改編于高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀早已泄露天機(jī)，并以此題進(jìn)行原創(chuàng)，得到一個(gè)題目，在去年高考前夕發(fā)出。在百度上搜導(dǎo)數(shù)壓軸題的命題思路可以發(fā)現(xiàn)。在